DB

Si les coefficients de a^ &/, fe^, ??z/ dans cette Equation n'etaient pas nuls, liquation (4i) de la sphere tangente apparaitrait comme une combinaison linaire des equations

ce qui est en contradiction avec la remarque faite au debut de ce numero, ces trois Equations definissant deux points determines du cercle (C). II faut done que la relation (46) se reduise a une identity et que Ton ait, en particulier,

On verra de mme que 1'on a aussi

de sorte que les deux equations (45) peuvent se ramener a la forme plus simple

ficrivons maintenant que les deux valeurs de ~K d^duites de ces Equations sont ^gales. II viendra

Pour les raisons ddja indiquees, on doit avoir

d\ (?Xi ?A . . dB .

2 5o LIVRE VIII. CHAPITRE XI.

Ces equations nous donnent, en introduisanl une fonctic auxiliaire A,

i dh

Nous aurons done et les Equations (47) nous fourniront la valeur suivante de ?m

Comme on peut evidemment multiplier tous les mi par une fon lion quelconque A, nous pourrons prendre, pour i = i , 2, 3, 4,

nii= r//(a) ^a +y */ ?(P) ^P-

Liquation alaquelle satisfont (n 477) les six coordonnees de sphere sera done

de sorte que la sixieme coordonnee m Q sera, elle aussi, somme d 3 une f auction de a et d'une fonction de p.

1035. Re*ciproquement, considerons la surface enveloppe d'u sphere pour laquelle les six coordonne'es sont donnees par la fo mule (48) in t = A z --4-Bi-,

ou A/, B- dependent respectivement de a et de p. Pour obtenir surface il faudra joindre a liquation

ses deux de'rive'es

par rapport a a et a (3. Prises isol&nent, les deux Equations prc<dentes definissent deux courbes spheriques de la surface. La sphere qui contient la premiere, par exemple, coupe la surface sous un angle OL^ defini par la formule (n 136)

Or si Pon diflerentie, par rapport a a ? la relation identique

qui doit n6cessairement exister (n 156) entre les six coordonn^es de la sphere, il vient

',(A,-t-B,)= o, de sorte que Ton a

L J angle o> 4 ^tant une fonction de a, on voit que la sphere definie par la premiere Equation (5o) coupe la surface sous un angle qui est partout le mme$ et, par suite, les courbes de parametre a sont des lignes de courbure spheriques de la surface. La demonstration est toute semblable pour les lignes de parametre p.

En rsum6, nous obtenons la proposition suivante :

Pour definir les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou spheriques, on diterminera de la maniere la plus g&n&rale six fonctions A/ de a et six fonctions B t - de $ ve-

rifianl identiquement la relation

puts onprendra Venveloppe de la sphere variable

Les deux nappes de cette enveloppe seront deux des surfaces cherchees.

C'est la proposition dej &nonce au n 483.

1036. Appliquons-la a la determination effective des surfaces cherchees : il faudra d'abord r6soudre Tcquatiorx fonctionnclle (;>s>,)* Cette resolution se simplifie beaucoup si J'on emploic toutcs los substitutions Iin6aires orthogonalcs, qui transformer^ en ellem^me la forme quadratique

Dans la geometric des spheres elles jouent le mSme rdlc qnc le changement de coordonnees dans la geometric du plan. En uti~ lisantles resultats obtenus au Livre II, Chap. VI, on rcconnaitra aisement qu'onles obtient toutes en combinant des ddplaccments, des inversions, des dilatations (augmentation d'une quanlitr constante pour le rayon de toute sphere). Nous admettrons cc i'<Ssultat.

Si nous diflferentions liquation a resoudre par rapport a a et a (J, elle devient

JEtudions d'abord cette derni^re equation.

Comme tons les B^- ne son t pas nuls, en donnant & j3 une valour

fixe quelconqnc, on obtiendra an moins tine relation lineaire, A coefficients constants, entre les AJ. Supposons d'abord qu'il n'existe qu'une pareille relation, savoir

Si 1'on a

on pent, par unc substitution ortlxogonale, ramener la relation a la forme

('V>) A' fl =o,

ot si Ton a

on la ramine de meme a la forme suivante

Dans le premier cas, pour que liquation (54) soit verifiee, il faul que 1'on ait

<;t Pt'equation (5a) devient alors

Le premier mcmbre ne pouvant ddpcnclrc que de a et le second dependant iwccssairement de p, il y a impossibility. Le raisonnemeat s*appliquera de mtime si Ton subsliluc la relation (56) a la prte^dente (55). 11 n'y a done, en ayant dgard a ce que l^change de a etde (3 rcviout & un changemeni de notations, qu'a exaxmner deux hypotheses ; i ou bien il y a deux relations lindaires entro les d^rivies A^ par exemple^ et (juatre entre les ddriv^es BJ; 2 ou hicn il y a irois relations Iin6aires entre les unes et les autres*

Une discussion facile vnonlrc que des relations lin^aires, en noiubre quelconq,ue 3 entre les A^ par exemple, peuvent toujours,,

par une substitution orthogonale, tre ramene*es a verifier le deux conditions suivantes :

i Ghaque relation sera de la forme

A^ = o ou A'/j H- i A = o ;

2 De plus, la mme derivee A^ ne figure que dans une sen] relation.

Les cas ou quelques-unes des relations contiennent deux der

vees se deduisent des autres par le passage a la limite.

1037. D'apres cela, s'il y a deux relations seulement enti les AJ, on pourra, en se bornant au cas general, les prendre sot la forme

II faudra que Ton ail

par suite, B 1? B 2 , B 3? B 6 , A 5 , A 4 seront des constantes que To pourra prendre e"gales a zero; de sorte que 1'equation a \*6rifi( prendra la forme

et chacun de ses membres devra se r<5duire a une constante. pourra prendre par exemple

B 4 =cosp, B 5 =sin[3,

Si Ton choisit un systeme de spheres coordonnees comprena: les trois plans principaux, la sphere de coordonnees mi sera di finie, en coordonnees cart^siennes x, y, s, par 1'equation suivan

g- JR.

de sorte qu'ici la surface cherch^e deviendra Penveloppe de

URFACES A. LIGNES DE COURBURE SPHERIQUES. 265

sphere

En joignant a Fequation precedente les deux derivees

on reconnait que cette surface se reduit a un cone, d'ailleurs quelconque.

1038. Envisageons maintenant le cas ou il y a trois relations entre les AJ; et, nous bornant toujours au cas le plus general, prenons-les sous la forme

il viendra *

On pourra encore supposer nulles A 4 , A 5 , A 6 , B l; B 2 , B 3 , et Ton aura

II sera ne*cessaire et suffisant que les deux membres se r6duisent a une m^me constante.

La surface e*lant Fenveloppe de la sphere de"finie par liquation

il faudra joindre a cette equation les deux d^rivees (60)

On voit que les lignes de premiere courbure sont dans les plans tangents d'nn c6ne et que les lignes de seconde courbure sont sur les spheres ayanl pour centre le sommet de ce cdne. On reconnait

a66 LIVRE VIII. CHAP. XI. SURFACES A LlGNES DE COURBXJRE SPHERIQUES.

la surface de Monge, dont toutes Us normales sont tangents a u?i cone.

En resume, on peut enoncer le th^oreme suivant :

Les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou spheriques se deduisent, par des inversions et des dilatations, soit d'un cone, soit de la surface dont toutes les normales sont tangentes a un cone, ou kien elles derivent par degenerescence des surfaces ainsi obtenues.