LIVRE VIII. ~ CHAPITRE XII. GENERALISATIONS DIVERSES
CHiPITRE XII.
GENERALISATIONS BIVERSES.
Systemes d'e*quations line*aires aux de'rive'es partielles da second ordre a n variables inde*pendantes dans lesquels chaque Equation ne contient qu'une derivee seconde prise par rapport a deux variables differentes. Forme type de ces systemes, condition pour qu'ils admettent n 4- 1 integrates line"aireinent independantes. Extension a ces systemes de la me*thode de Laplace. Comment on les integre lorsque la suite de Laplace se termine dans un sens. Indication de certains systemes gene"raux dont Pint^grale peut &tre obtenue. Cas particuliers. Applications geome'triques. Systemes de coordonne"es curvilignes & lignes conjuguees. Ces systemes sont les seuls qui puissent correspondre a d'autres systdmes, les plans tangents aux surfaces coordonnees etant paralleles pour les points correspondants. Interpretation geometrique des substitutions de Laplace generalises. Cas particulier des s} r stemes triples orthogonaux. Theoreme de M. Combescure. Demonstration directe de ce the*orme. Application. Determination d'une classe de systemes triples pour lesquels toutes les lignes de courbure sont planes. En combinant Tinversion avec le thSorerne de M. Combescure, on peut faire deriver d'un systeme triple orthogonal une suite illimite'e de systemes analogues. Determination des systemes orthogonaux a lignes de courbure planes dans un seul systeme. Determination des systeraes orthogonaux a lignes de courbure spheriques dans un seul systeme.
1039. Bien qu'il n'entre pas dans notre plan de faire une etude detaille'e et complete des systemes orthogonaux, nous croyons cependant qu'il sera utile, pour bien-saisir les methodes prece"denies, de monlrer comment elles peuvent ^tre g^neralisees et etendues. Nous trouverons ainsi Toccasion de revenir sur les propositions analytiques ^Lablies au Livre IV et de montrer qu'elles peuvent tre beaucoup d^velopp^es; que les demonstrations subsistent, presque sans modification, lorsqu'on substitue a une Equation lineaire du second ordre certains systemes du me*me ordre auxquels doit satisfaire une fonction inconnue de plusieurs variables.
D^signons par p, p o p 2 , -, p^-i un systeme de n variables
independantes et envisageons le systeme des equations d 2 u du du
oii i et k peuvent prendre deux valeurs differentes quelconques dans la suite o, i, 2, . . . , n i; de sorte que le systeme com-
prend n { n ~~ l > Aquations simultane"es. Nous chercherons en pre-
mier lieu les conditions qui sont necessaires pour qu'il admette, en dehors de la solution evidente u = i, n solutions distinctes, lineairement independantes.
Pour obtenir ces conditions, nous allons former de trois manieres differentes les valeurs des de"rive"es troisiemes telles que
- rT- et nous ecrirons que ces valeurs sont e"gales. On trouve,
opt op k dpi X '
par exemple, en prenant la derived de liquation (i) par rapport a p^, I etant different de i et de A 1 , et en substituant les valeurs des derivees secondes qu'introduit cette operation,
f dctik \ du . du
~ Jr \ "A -- h a ik&ik } i -- H(aA.jr//H- atkajci) j- V dpi / dp k dpi
Perinutons dans les deux membres les indices k et /, par exemple; le premier membre ne changera pas. Comme, par hypothese, le systeme doit admettre n solutions lineairement independantes on, ce qui revient au me*me, une solution dont les derive"es premieres peuvent tre choisies arbitrairement pour un systeme quelconque de valeurs des variables independantes, les coefficients des mimes derivees du premier ordre- devront 6tre e"gaux dans les deux expressions ainsi obtenues de la de*rive troisieme. Cela nous conduit a des relations du type suivant
^ "|r = a>iaik ~ 3r VU***-- *tk*tk (i^k^ I).
fichangeons dans cette relation les indices i et I : le second membre ne change pas. On doit done avoir
dpi
GENERALISATIONS DIVERSES. 269
et, par consequent, ##, a^ sont les ddrive'es, par rapport a p/ el a p/, d'une m3rae fonction que nous designerons par IogH#; de sorte que Ton pourra poser
L'equation de condition (2) deviendra
i dHj dEt i dUi dE k H, <?p, Tip, ~*~H, ^ c?p/'
et le sy steme (i) prendra la forme suivante
<? 2 u __ i dE^ du __ i dHt du, / i^k, \
^ ' dp/dpA- H A- dp/ ^? Hf ^p A ^"~ V5, = o, 1,2, ...,n i/
Les relations (4), anxquelles doivent satisfaire les fonctions H/, sontau nombre de ~ - - Nous indiqtierons plus loin de
nombreux exemples dans lesquels ces relations en si grand nombre sonttoutesv&ifiees. Danscecasle systeme(o) admettrad'ailleurs, non seulement n solutions particulieres lineairement independantes, mais aussi une solution g^neVale contenant n fonctions arbitraires d'une seule variable ind^pendante; c'est-a-dire que, si Ton calcule de proche en proche les deViv^es des diff^rents ordres de u pour un syst&me quelconque de valeurs de p, p { , . . ., p<,
les derivees de chaque ordre relatives a une seule variable y-^j> ^j demeureront toujours arbitraires.
Pour ne pas compliquer la thorie ? nous avons laisse de cote les syst&mes de la forme
d*u du du ,
(6 ) -r r -- a ik ~ -- au ^ -- ba w = o,
dp* dpi
qui contiennent la fonction inconnue; mais, des que Ton en connaitra une solution particuliere u f , il suffira d'efiectuerla substitution
pour tre ramene a un systeme en 9 qui devra admettre la solu-
tion 9 = i et, par suite, sera de la forme (i). On pent done dire que, d&s qu'un sjsteme de la forme precedente admet n-j-i S olulions lingairement independantes,. il est r^ductible & la forme (5) et admet une solution contenant n fonctions arbitrages d'une variable.
1040. Si Ton designe, conformement a une notation deja employee an LivrelV, par //*(w) le premier membre de Pequation (5), c'est-a-dire si Ton pose
- - du __ i^ dHt du
on reconnaitra aisement que les relations auxquelles doivent satisfaire les H - s'expriment par la formula simple
D'apres la mani^re m^me dont on les a obtenues, on voit qu'i) j a, entre les symboles ft*, les relations identiques
les indices z, A-, / ^tant toujours supposes diflF^rents. Ces identites montrent d^j^. que les relations auxquelles doivent satisfaire les fonctions H ne sont pas essentiellement distinctes.
Elles permettent encore de donner une forme plus precise a un ^nonce precedent et de d^montrer que, sous les conditions habituelles de continuity pour Jes coefficients, le syst&me des Equations aux deriv^es partielles simultan^es (5) admet une solution u satisfaisant aux conditions initiales suivantes :
Soient p, pj, . . ., pJ -4 un S3 r st^me de valeurs des variables independantes. Choisissons n fonctions /(?),/<(? i ), , fn-\ (p/i-0 assujetties ^ 1'unique condition de se reduire a une m^me con stante quand on remplace dans chacune d'elles la variable p/ par sa valeur initiale pj. II existera une solution du syst&me (5), et
GENERALISATIONS DIVERSES- 271
line seule, se reduisant a/ z (p z -) lorsque toutes les variables o* autres que p/ se reduiront a leurs valeurs initiates pj.
Cette proposition est une simple consequence decelle que nous avons e*tablie au Livre IV, Chap. IV, relativement a une seule equation. Pour plus de nettete*, bornons-nous au cas de trois variables independantes p, p i? p 2 . La solution cherchee u doit se reduire
a /(p) pour ?! = ??, ps = ?J, a/i(?i) pour p = p o f p 2 = p|>.
a/i(pO pour p = ?,
Elle sera done pleinement determinee, pour p< = p, par la ndition de satisfaire a Fequation
et de se require a/(p) ou a /a(p2) suivant que p 2 ou p prennent les valeurs pS ou p. Soit u r la fonction, ainsi obtenue, de p et dep 2 .
Pour le meme motif, la fonction u sera determined, pour p = p, par la condition de satisfaire a Tequation
et de se require & f\ (pi) ou a/ 2 (p 2 ) suivant que p 2 ou p^ prennent les valeurs initiales pj ou pj. Soit if la fonction ainsi obtenue de p, et de p 2 .
Cela pose, en vertu m^me de la proposition que nous venons d'invoquer, la fonction cherchee u sera completement d^terminee par la condition de satisfaire a liquation
(a) /oi(w) = o>
pour toutes les valeurs de p, p<, p 2 , de se reduire a u r , pour p 4 = pJ 7 et a if pour p = p. II ne reste plus qu'a demontrer que la fonction ainsi obtenue satisfait, pour toutes les valeurs des variables independantes, aux deux autres Equations
qui composent, dans ce cas, le systeme (5).
Si Ton tient compte de liquation (a), les identity's (9) nous
donnent ici les relations r dEi
qui ontlieu pour toutes les valeurs des variables indpcndanies. Ces relations peuvent tre envisages comme des Equations aux drives partielles da premier ordre auxquelles doivent satisfeire les deux fonctions inconnues/ 20 (w), /;><(#) ^ n ^li^inant, j)ar exemple,/2 (i), on sera conduit & une Equation de la forme
Recherchons les conditions initiales auxquelles doit salisfaire /ia(w). On a d'abord, u se reduisant alors a w v ,
/ 12 (?^) = o pour p = p,
D'autrepart, si Ton fait, dans les identity (i), p, = ? J, comme on a alors / 03 (M) = o, il vient
et, de la, on deSduit
Mais comme /a(w) est nul par hypoth^se pour p = p ? rjucllcs que soient les autres variables, il faudra que Ton ait
pour p
et, par consequent, H, n'itant pas nul en vertu des conditions de continuity,
<Kpi) = o.
On voit que la fonction f { ,( u ] devra 6tre nulle soit pour P = P sou pour ?1 = ? et, comme elle doit en outre verifier 1 Equation (c), elle sera n^cessairement nulle pour toutes les va-
leurs de p, Po p a .
GENERALISATIONS D1VERSES.
Le raisonnemenl fait pour/, 2 (&) se repete videmment pour a(w) ct Ton voit qxie la fonction it satisfait aussi a liquation
cc qui achcvc la demonstration.
1041. Nous ajouterons la i^emarque suivante relative aux relations eulrc les II/. Introduisons les quantites fa definies par la. formulc
Les relations (4) ou (8) s'cxprimeront uniquement an moyen dcs fa el prendront la forme simple
de sorte quc, si I'on pose il viendra
P/ cl I'on aura, par suite,
Cos relations permeUent d'huroduirc une fonction V telle que Ton ait
On pout exprimor tous les J3/A en fonction de V, former des Equations aux d<5riv6es purlielles auxquellcs V devra satisfaire; mais nous laisserons do cfittS tout ee qui concerne cette fonction.
1042, Supposons que Ton ait obtenu d'une manidre quelconque un systftmc de la forme (5), pour lequel tomes les conditions d'inU%rabiHt<5 aoienl vdrifiees, et proposons-nous de rechercher comment on peut 1'inUgrcr.
D, - IV* l8
Nous allons montrer qu'ici encore on peut employer avec succes la substitution de Laplace (n 330).
Considerons, en effet, liquation particuliere
Si elle lait seule et si Ton voulait lui appliquer la substitution de Laplace, il faudrait, par exemple, substituer a u la fonction p, definie par 1'equation
du
Si Ton pose alors
H* dE t El PlogUt H*
on aura OS)
et v satisfera a liquation
/ R\ d*v dL? c dv i dLt dv
On verra de m^me que si 1'on introduit les quantit<5s LV dc~ finies par les relations
la fonction p satisfera, pour toutes les valeurs distinclcs de f el de A-', au syst&me
(r 9 ) d * v J ^ fe , . T ^* ^^
dpi'dpk' Lti' dpjc' d?t' l>k' dpy d$k'*
tout semblable au proposd.
GENERALISATIONS DIVERSES. 3?5
Comme on a t - - equations, conime chacune fournit deux
substitutions, on voit que chaque systeme de la forme (5) admettra, en g6ne*ral, n(n i) systemes derives, n(n i) systemes contigus. De ceux-ci, on pourra en deduire d'autres et continuer, soil indefiniment, soit an moins jusqu'a ce que Fune des Equations qui composent le systeme ait un de ses deux invariants egal a zero.
11 y a de nombreuscs relations entre toutes les substitutions ainsi obtenucs : nous nous contenterons de signaler la proprie*te" suivante :
Si l'onde*signepar S^ la substitution deTmie parlaformule (i3), PefTet de deux substitutions S/#, S/'^appliqu6es successivement ne change pas lorsqu'on echange, soit les deux premiers, soit les deux seconds indices.
1043. Examinons ce qui arrive lorsqu'une des substitutions S&dcvient impossible, c'est-a-dire lorsque Tequation d'indices i et du systeme (5) a 1'un dc ses invariants nuls. Pour plus de simplicit(5, nous nous borncrons au cas de trois variables p, pi, p 2j qui so prcscntcra scul dans les applications.
Consid(irons liquation
c) 2 w i dl\i du r )H 2 du
(ao) fnw - ' d j- " in ??; 3 P ; " n; TJ?T g^ - '
ct supposons que son invariant
soit mil. Gela sc tratluira par la relation
(ai)
On a deja
Si done nous substituons H < & la place de u dans les identit6s (gJoCiFonrempiaccra paro, i, 2 les indices difiF6rents z, A-, /,
il viendra
On de'duit done de la, soit (22) /oi
soit
Envisageons d'abord la premiere hypothese : H< est alors unc solution des trois equations qui composent le systeme; si Pen effectue la substitution
on aura un systeme tout semblable au propose*, mais dans leqncl, H 2 et H 3 etant remplaces par de nouvellcs fonctions, H^ serai t fait egal ^L Tunit6. Introduisons done, pour ne pas changer de notations, cette hypothese directement dans le sysleme propose*. La premiere et la troisieme Equation s'inte'greront & vue et nous
donneront
du du
S 1 et T< e*tant des fonctions qui ne dependent pas dc p t . Portanl successivement les valeurs de -p? -r- dans la seconde nous trouverons
(?p - H 2 dp 2 1? dp 2 ~ H e)p *'
II est clair que ces Equations ne peuvent fournir des valours de Si et de T t inde'pendantes de p^ que si Ton a
A^ et B< ne dependant nullement de p< . Alors S { et T , se neront par le systeme
GENERALISATIONS DIVERSES. 277
qui ne contient que deux variables independantes. Puis on aura
u = / (HTl
1044. Examinons maintenant la seconde hypothese, celle ou
Ton a
i dill = ^ <m
Hi dp 2 """ H dp 2 ?
ce qui donne
Ro ne dependant pas dc p 2 . Si nous faisons la substitution
a = HIP, nos Lrois (Squalions deviendront
Mais les identiuJs (9) nous donnent ici la relation, dja ecrite plus haut,
d'oii 1'on d<5duit, en integrant,
S a etant dc m6me definition que R 2 , c'est-a-dire ne contenant pas p s . Les deux premieres Equations en 9 admettent l'int(grale g6n6rale
oil a* depend exclusivement de p 2 . En integrant, on deduit de la
/P-otH. , , TT
9 = / -TT P2+ U 'i>
</a Ul
^g LIVRE VIII. CHAPITRE XII.
Uo etant indpendant de p 2 comme S 2 et T 2 , et a d^signant une constante quelconq.ue. Comme on a
/ 01 (H 2 ) = o, 1'equation
admet la solution definie par la formule
et comme, apres la division par H i3 ses coefficients sont ramen^s a ne plus contenir p 2 , elle admet aussi Uintegrale
/ pi iH
Jo. H I
Done la solution g^nerale du syst&tne propos^ sera d&Bnie par la formule
U 2 etant d^termin^e par la condition de verifier liquation
ou R 2 et S 2 sont deux fonctions connues de p et de pi .
1045. La th^orie complete des sysl&mes d'^quations aux d6rives partielles precedents nous entrainerait trop loin. Nous nous contenterons de signaler rapidement le cas ou la solution g6n&rale se presente sous la forme la plus simple et la plus mile pour les applications.
Pour plus de netted, et comme la m^thode est la mme dans tousles cas, nous supposerons le nombre des variables <$gal a 3.
Supposons qu'on ait obtenu par un moyen quelconque un syst^me d'equations aux d6riv6es partielles
pour lequel les conditions d'int6grabilit< soient satisfaites et dont
GENERALISATIONS DIVERSES. 279
on ait determine 1'intdgrale gnrale u. Considerons une expression de la forme suivante
du . d'nu
du <?B " d " < dPu
dont nous determinerons les coefficients parla condition que Z s'annule quand on y remplace l'intgrale g^nerale u par des integrates particuliereSj lineairementind&pendantes, du systeme propose, en nombre gal
Nous aurons 1'equivalent des expressions (/?z, n) consider^es au Chapitre VIII du Livre IV. La demonstration donnee au n 399 montrera ici que Z est Tint^grale d'un systeme tout pareil au propose (27).
II y a la, on le ^oit, un moyen tr^s general de faire driver de tout systeme que Ton sait integrer une suite illimitee d'autres systemes dont Tint^gration se rattache a celle du premier.
Supposons, par exemple, que le systeme propose soit constitue
par les trois Equations
En choisissant Funit< parmi les solutions particulieres qui doivent annuler Z, on sera conduit & introduire le determinant stiivant :
R R 7 ... R (/n) RI RI "i "s 2
ou r/, s h . . . , wt sont des fonctions donntes de la variable ?i tandis que Ton d^signe par R ; R 4 , R 2 des fonctions arbitral de la variable de m^me indice. Ce determinant A sera I'mligrale g^n^rale d'un sysleme analogue au systeme (27). On peutd'ailleurs le d^montrer directement en r<*p<tant le raisonnement du n 340.
Les equations aux derivees partielles auxquelles satisfait A ad* mettent les solutions particulieres
obtenues en donnant a 1'une des fonctions arbitraires R, R R 2 la valeur i , et aux deux autres la valeur ze'ro. On pourra done, par exemple, par la substitution
obtenir pour U un systeme d'equations aux derivees partielles ne contenant plus la fonction U.
104?6. Parmi les cas particuliers les plus inte'ressants, on pent signaler les suivants :
L'expression
f<* \. " *\1 Rg
U "" (P Pi)(p Pa) "*" (pi^p)(pi~p2) "^ (pa p)(p2-pi)'
oil Rj depend de la seule variable p z -, est Tintegrale generate du sjsteme
/ON / N d*u du du . . , .
Si Von diflerentie ces Equations m i fois par rapport It p, m { i fois par rapport a p< , m 2 i fois par rapport a p 2j on verra que
est Tintegrale generate du systeme
/0 o\ / \ d^v dv dv , . ,
(33) ( * t -^wfi= mk 6?r mi Wk < i ' A: = o ' i ' a >'
dont nous allons dire quelques mots, en attribuantmaintenant des valeurs quelconques aux coefficients m^
D'abord le systeme admet, pour toutes les valeurs de A ? la solu-
GENERALISATIONS DIVERSES. 281
tion particuliere
(34) p=(p + fc)- w (pi+A)-*(pi+A)->,
et, sous ce point de vue, il se rattache au suivant
ou rt depend de la seule variable p/, et auquel se ramenent tous ceux pour lesquels il existe une infinite de solutions particulieres formdes du produit de trois fonctions qui dependent, chacune, d'une seule des variables p, p 1? p 2 . Ces solutions particuli^res ont d'ailleurs pour expression generate
(36) u = eJ r + h J r ^ k J r -- +A ,
la constante h pouvant recevoir des valeurs quelconques.
En second lieu, les substitutions definies plus haut (n 1042) transforment le systeme (33) en un systeme analogue, ouFun des coefficients est augment^ et un autre diminue d'une unite. Cette remarque facilite beaucoup 1'int^gration.
Enfin ici encore on peut demontrer, en g^n^ralisantla remarque de M. Appell (n 349), que si
u = /(pj PI> Pa)
est une solution quelconque du systeme, on pourra en deduire la solution plus gnrale
a, &, c, d designant des constantes quelconques.
1047. Nous n'insisterons pas davantage sur la tyorie analytique; les applications geomdtriques que nous allons ^tudier nous fourniront d'ailleurs les moyens d'obtenir tin grand nombre de systemes integrables de la forme que nous ^tudions ici.
D'apr^s le th^or&me de Dupin, qui constitue certainement la propriete g^om^trique la plus importante des syst&mes triples
2 g2 LIVRE VIII. CHAPITRE XII.
orthogonaux, deux surfaces quelconques appartenant a deux families diff^rentes d'un systme orthogonal se coupent suivant une ligne de courbure commune; de sorte que les courbes suivant lesquelles chaque surface est couple par celles qui appartiennent a d'autres families y forment un r^seau conjugu^. Proposons-nous^ d'une maniere generale, de trouver tous les systemes de coordonnees curvilignes pour lesquels les lignes d'intersection des surfaces appartenant a des families diff^rentes tracent sur chaque surface un rseau conjugue. Si nous designons encore par p, p,, p 2 les parametres des trois families de surfaces qui composent le systeme cherche, les coordonn^es cartsiennes #, y, z d'un point de Fespace, considdrees comme fonctions de p ? p n p 2j devront tre des solutions particulieres d'un systeme de la forme suivante
du du /,/: = 0,1,2 \
et cette condition, qui est necessaire, sera d'ailleurs suffisante.
Or, pour qu'un systeme de la forme pr^cedente puisse admettre trois solutions #, y, z lin^airement independantes, il faut ndcessairement qu'il soit reductible a la forme deja indiqu^e
ou les fonctions H,H { , Ho v<5rifieron ties conditions d'integrabilit^ (4) on (8).
Ces systemes particuliersj formes de surfaces se coupant suivant des lignes conjuguees, ont des propri^tes geom^triques qui les distinguent de tous les autres systemes de coordonnees curvilignes et dont nous allons dire quelques mots.
Etant donn^ un systeme de coordonnees curvilignes, defini par trois families de surfaces, cherchons s'il en existe un autre, telque les surfaces coordonnees se correspondent mutuellement dans les deux systemes et qu'elles aient, de plus, leurs plans tangents parall^les aux points correspondants. En d'aulres termes, a?, y, z 6tant les fonctions de p, p<, p 2 qui definissent le premier syst&me de coordonn^es curvilignes, cherchons si Ton pent determiner
GENERALISATIONS DIVERSES. 283
trois fonctions X, \ { , X 2 telles que les expressions
. dec y . dx ,
soient des differentieiles exactes ofo^, dj 4 , <&<. S'il en est ainsi, Xny\i **, considers comme fonctions de p, p,, p 2 , definiront bien un systeme de coordonnees curvilignes jouissant de la propri^t^ indiqu^e. Or les conditions d'intdgrabilite des Equations prcdentes montrent immediatement que x y^ z doivent etre des solutions particulieres d'un systeme d'equations aux deriv^es partielles de la forme (87), ce qui permet d'^noncer la proposition suivante :
Pour que deux systemes de coordonnees curvilignes puissent se correspondre de telle inaniere que chaque surface du premier systeme corresponde d une surface du second et qu'aux points correspondents les plans tangents aux trois surfaces homologues aient la meme direction dans les deux systemes, il est necessaire que les surfaces de chaque systeme se coupent mutuellement suivant des families de lignes formant sur chacune d'elles un r6seau conjugue ( { ).
1048. Du reste cette condition, qui est necessaire, est aussi suf- Jlsante. On le reconnatt aise*ment en effectuant la transformation" suivante. Etant donnee une solution quelconque u du systeme (38), introduisons les trois quantit^s U z - definies par la formule
( J ) Cette proposition r^sulte aussi de considerations geome'triques tres simples. Soient, en effet, M, M' les points correspondants dans les deux systemes. Si Ton attribue & p une valeur de*termine*e, ces points d^crivent deux surfaces dont les plans tangents sont paralleles. Sur ces surfaces, les courbes de parametres p, et p s ont leurs tangentes paralleles j done elles forment un systeme conjugue*.
le systeme (38) pourra tre remplac^ par les six equations suivantes
$Pk
les fa* tant les quantites deja introduites et definies par la formule
T dll k < 4 ') P^HI^'
On a vu qu'elles satisfont aux Equations comprises dans la formule unique (n), que Ton retrouverait ici en crivant les conditions d'int^grabilit^ du systeme (4o).
D'apr&s cela, aux coordonnees &, y, z, solutions particulieres du syst&me (38), correspondent, par les formules (3g), des quantites X;, Y,-, "Li telles que 1'on ait
dx = HX dp + HjXj dpi -f- H 2 X 2 dp 2j dy = HY dp H- Hj Y^ dpi -+- H 2 Y 2 dp 2) djs = HZ dp -H HI Zj dpi n~ H 2 Z 2 dp 2 .
Or, si 1'on peut, en changeant les valeurs des fonctions H, H< , H a , conserver les mmes valeurs aux fonctions (3^, qui i5gurent seales dans le systeme (4), il est clair que, dans les formules pr6c&dentes, on pourra conserver les neuf quantites X/, Y/, Z/ avec d'autres expressions de H, H <? H 2 , ce qui donnera de nouvelles fonctions x*,y* > z', definies par des formules telles que les suivantes
?'= H'X dp + H 2 Xi ^ PI -H H' 2 X 2 K'= H f Y dp H- Il' a Y t dpt-H H' 2 Y 2 i' = H'Z dp H- H' 2 Zi d Pl H- H' 2 Z 2
et qui determineront evidemment un nouveau systeme de coordonn^es curvilignes satisfaisant a la condition demand^e.
Tout se reduit done a faire voir qu'il y a une infinite de syst^rnes de valeurs des Hj satisfaisant aux Equations (40> ^ ^ on coris i~ derera les ^^ comme des fonctions donn^es et connues. Or on reconnait tres ais^ment que ce syst&me admet des integrates contenant trois fonctions arbitraires d'une variable. Aureste, on peut etablir ce resultat en le ramenant, d'une infinite de mani&res, a
GENERALISATIONS DIVERSES. 285
la forme e'tudie'e dans ce Chapitre. Car si Ton designe par U, U i? U 2 un systeme quelconque de solutions des equations (4o), on reconnaitra aise'ment que Ton a le droit, enintroduisant une fonction auxiliaire 9, de poser
el alors la fonction 9 a laquelle se trouve ainsi ramene"e la determination des Hz devra satisfaire aux trois equations
dpidpk UA- dp t dp k U f dp& dp J
pour lesqueiles les conditions d'integrabilit seront ve*rifiees. En resume, on pent e*noncer la proposition suivante :
Toutes les fois que Von aura des fonctions fa satisfaisant aux Equations (i i), V integration des systemes (4o) et (4i), si elle est possible, donnera, avec douse fonctions arbitraires d'une variable, des systemes de coordonnees curvilignes a lignes conjuguees.
Si trois families de surfaces se coupent suivant des lignes conjuguees, il existe d'autres systemes de coordonnees curvilignes, dependant de trois fonctions arbitraires d'une seule variable, correspondant point par point, surface par surface, au systeme propose et tels qu'aux points correspondants les plans tangents aux surfaces correspondantes soientparalleles.
1049. On peut signaler encore d'autres propriety's ge"ometriques se rapportant aux systemes a lignes conjuguees. Associons au systeme propos6 celui qui est definipar les fonctions x\ satisfaisant aux trois Equations
dx dy dz dfy
/ ,~ x dx dy ds d
dpi dpi ^i ^pi
dx dy dz __ <)6
ou 9 est une solution quelconque des equations (38). Si 1'on tient compte de ces Equations, on verra ais^mentqueTonpeutdeduire,
par la differentiation des formules prcdentes, toutesles relations comprises dans la formule suivante
(47) ^^c^^W^Wi^^* ( * V/0 '
Ges relations expriment^videmmentqu'aux points correspondams des deux systmes les plans tangents aux surfaces coordonn^es forment deiix triedres supplementaires. Comme, en faisant varier lafonctionS, on obtientune infinite de systemes (x^y^ ^) pour lesquels les plans tangents sont toujours parall&les en vertumme de la propriety precedente, on voit que, dans chacan de ces nouveaux systemes (# ( , y\, i), les surfaces coordonn^es se coupent aussi suivant des lignes conjuguees.
Chacune des Equations (46) represente le plan tangent a Tune des trois surfaces coordonnes, comme on s'en assure ais^menten cherchant Penveloppe de ce plan.
1080. On peut demontrer que les systemes ddfmis par les Equations (46) sont les plus gnraux parmi ceux qui correspondent au systeme propose de la maniere indiqu^e; c'est-a-dire de telle manure que toutes les Equations (47) soient v^rifiees. En effet, s'il en est ainsi, les plans tangents aux surfaces qui cornposent le systeme cherch seront evidemment definis par trois Equations telles que les suivantes
Si Ton diffdrentie la premiere Equation par rapport a p n on sera conduit, en tenant compte des Equations (38) et (48), a Tidentit^
dl i d
qui, jointe aux identites analogues, nous donne
^ = ^1, ^X^^vg ^Xi^^
<^pi dp 3 dp% "" dp ' c?p 2 "" ^
GENERALISATIONS DIVERSES. 287
On peut done prendre pour X, X,, X 2 ies derivees d'une mSme fonction 6; et cette fonction devra satisfaire aux equations (38). On retrouve done bien Ies formules (46).
1051. Ces nouveaux sjs limes donnent naissance a une equation identique de la forme suivante :
(4 9 ) dafi o# H- (tyt 07 -f- ds L 8* = A do 8p n- B d ?i 8 Pl -*- G d&
Le plan defini par Pequation (5o)
oil X, Y, Z d^signent des coordonn^es courantes, donne lieu aux propri^tes suivantes.
Suivant qu'on y fait varier p, etp 2 , oup etp 2 , ou encore p et p,, il enveloppe trois surfaces differentes el a, par suite, trois points de contact distincts. Pour chacun de ces points de contact, on connait deux tangentes conjuguees de la surface correspondante : ce sont Ies droites qui le joignent aux deux autres points de contact. Les trois cot^s du triangle forme par Ies points de contact sont dans Ies plans tangents aux trois surfaces coordonnees du systeme (#< 3 jn, s\). Si, done, on prendlep6Ie duplan precedent relativement a une quadriqne quelconque, on obtient un nouveau systeme de coordonnees curvilignes a lignes conjugu6es.
1052. Ajoutons que Ies systemes a lignes conjuguees permettent d'interpreter tres simplement Ies six substitutions denies au n 1042. Si Ton considere au point M(#, y,s) la tangente a la courbe d'intersection de deux surfaces coordonndes, par exemple de celles de parametres p < et p 2 , cette droite engendre trois congruences differentes suivant que Ton fait varier p< et p 2 , ou p et p 2 , ou p^ et p.
Ces trois congruences ne donnent sur la droite que trois points focaux. Par exemple, si 1'on fait varier p et p 2 , c'est-a-dire si la droite se deplace en restant tangente a la surface (p<), Ies points focaux sont le point M et un autre point M 2 . Si la droite demeure tangente a la surface (p 2 ), Ies points focaux sont M et un autre point Mi ; mais alors, si le point de contact de la droite decrit la surface (p), Ies points focaux sont Mj et M 2 . Les formules par
lesquelles on passe de M aux points M i? M 2 correspondent pr<*cisement a deuxdes substitutions du n 1042. D'ailleurs, la relation etablie ainsi entre M et M i} ou entre M et M 2 , fait deriver du systeme propose un autre systeme a lignes conjugue'es correspondant, point par point, surface par surface, au systeme donne".
1053. On pourrait ici e*tudier, en suivant les me"thodes analytiques du Livre IV, et plus pariiculierement du Ghapitre VIII, les relations que pre"sentent tous les systemes d'equations aux derivees partielles analogues au systeme (5) et relatifs aux difl^rents systemes de coordonn^es curvilignes qui sont raltaches les uns aux autres par les propositions ge"ometriques precdentes.
Nous reserverons cette discussion pour le cas, plus important et plus simple, ou les systemes deviennent orthogonaux.
Ici les deux series de systemes de*rive"s considered aux n os lOi-7, 1049 se ramenent a une seule et Ton peut evidemment (Snoncer la proposition suivante :
Etant donne un systeme triple orthogonal) pour obtenir tout autre systeme triple admettant la meme representation sphe- 'rique, c'est-a-dire tel que les surfaces coordonnees se correspondent une & une dans les deux systemes et qu'aux points correspondants les plans tangents aux surfaces homologues soient parall&les, il faudra former le systeme des trois equations liniaires de la forme (38) auxquelles satisfont les coordonn&es x, y, z considerees comme fo notions de p, p< 7 p 2 . Si ft designe la solution la plus gtnerale de ce systeme, les equations
dx dy dz d&
dx dy dz
definiront le systeme cherche.
Le systeme primitif correspond au cas ou Ton prend pour fit la
GENERALISATIONS DIVERSES. 289
solution
qui, nous Pavons vu (n os 147, 148), veriEe, dans ce cas et dans ce cas seulement, les trois Equations (38).
10S4. On peut encore 6tablir comme il suit la proposition cedente.
Reprenons les quantity deja introduites
ou u d^signe, conformment a la notation de Lam3, une quelconque des coordonn^es oc, y ? z. Les neuf quantites ainsi definies sont ^videmment les cosinus directeurs des normales aux surfaces qui composentle syst&me orthogonal; par exemple,X/, Y/, Z/d^finissent la direction de la normale a la surface de parametre p 2 \ Par suite, dans le cas special que nous envisageons, il faut introduire la relation nouvelle
(53) U 2 -hU?-4-U| = i,
enlre les trois cosinus, ce qui va nous conduire a de nouvelles relations diflferentielles, venant s'ajouter aux suivantes
d6ja etablies plus haul (n 1048). Si Ton difference, en effet, la relation (53) en tenant compte de celles que nous venons de rappeler, on sera conduit a une relation du type suivant
Ces nouvelles relations donnent naissance elles-mmes a de nouvelles conditions d'int^grabilit^ ; et, en 6galant les deux valeurs d e r q ue 1'on peut d^duire des formules (54) et (55), on est conduit a trois relations dififerentielles
2go LIVRE VIII. GHAPITRE XII.
qui viennent s'ajouter aux suivantes
deja demontres plus haul.
Gela pos, on peut reprendre la demonstration da n 1048, conservant tous les U/, on calcule de nouvelles quantites H/ s; faisant aux equations
ypi
on obliendra de nouveaux systemes triples orthogonaux ameme representation spherique qne le syst&me proposd (*).
1085. Revenons a notre premiere demonstration. On peu deduire tres simplement les formules propres a d^Gnir le nou> systme orthogonal. Si Ton introduit, en effet, les notation: Lamd d&ja employees (n 672) pour des invariants analogues Ton pose
les relations entre les neuf cosinns X/ ? Y/, Z/ nous permetten r^soudre tres simplement les equations (5i) et nous donnent
(*) C'est M. E. Combescure qui, dans un Mdmoire Sur les determinants j tionnels et les coordontie'es curvilignes, present^ en 1864 & I'Acad^mie Sciences et inse>d en 1867 au tome IV (i pc serie) des Annales de I'ficole male superieure, a faitle premier ia remarque que 1'on peut toujours assoc un systeme triple orthogonal d'autres systemes ayant, aux points correspond leurs plans tangents paralleles. On pourra consulter le VIII de ce Memoi aussi une Note de Fauteur, insMe en 1868 au tome LXVII, p. not, des Com rendus.
GENERALISATIONS DIVERSES. 2QI
D'autre part, les relations evidentes
nous conduisent a la suivante
En tenant compte de Tune des equations (01), on obtient la formule
dAQ
1 ; dp/ 2 dp z - c?il
dp/ Si done on pose
(64 ) dx\ -4- dy\ + ^f = H' ^2 + H^ rf ? j + H',* d?\ ,
on aura
dAQ
de sorte que le second systeme sera aussi completeraent connu que le premier.
1056. Pour indiquer au moins une appli cation , supposons le systeme primitif determine par les formules
P " pi
qui deTmissent une inversion. Les trois families de surfaces coordonn^es sont formees de spheres qui passent par Porigine etsont tangentes a 1'un des plans coordonn^s.
Le systeme (38) prend ici la forme
a g 2 LIVRE VIII. CHAPITRB XII.
Son integrate ge'ne'rale est evidente; eile esL de'termine'e liquation
ou R/ depend de la seule variable p/. Les formules (60) no donnent alors
R - pR'-t- RI- pi R; + Rat p,R;
R - p R r +Ri
On aura de me*me
/A x w R-pR'
Les surfaces coordonne"es du nouveau systcme ont toutes leu lignes de cotirbure planes. Elles appartiennent a la classe defir paries equations (12) du n 104.
1057. Revenons au cas ge'ne'ral. Nous avons deja remarque' qi les equations (38) auxqnelles doit satisfaire la fonction Q doive admettre la solution particuliere ^ 2 -f-jK-+ G 2 . D'apres cela, suffit de r^p^ter le raisonnement fait au n 146 pour reconnait que, si Ton effectue la substitution
les trois nouvelles equations en QI seront celles auxquelles sati feront les coordonne*es od , y 1 ', z 1 relatives au systeme orthogor qui se deduit du premier par une inversion dont le p61e t 1'origine des coordonnees. En rapprochant ce rdsultat de tout qui precede, on peut conclure la proposition suivante :
Lorsqu'on salt determiner tous les syst&mes triples adme tant la m$me representation sph&rique qu'un systeme orth gonal donne, on sait resoudre le meme probl&me pour to les syst&mes orthogonaux qui en derivent par inversion; cela sans aucune integration.
GENERALISATIONS DIVERSES. ?.g3
Plus exactement, dt, chaque solution du premier probleme correspond une solution du second et vice versa.
Ce rEsultat, quipeut tre considere comme la generalisation des propositions que nous avons donnEes dans les Ghapitres precEdents, relativement a la representation sphErique des surfaces, va nous permettre d'Etendre beaucoup les applications de la methode.
ConsidErons, en effet, un systeme orthogonal (S), dEfini par les fonctions #, y^ z, et supposons qu'on sache intEgrer les Equations (38) relatives a ce systeme. Si Q< dEsigne une solution quelconque de ce systeme, les formules
dx
definiront des fonctions x^ y^ z { qui feront connaitre un nouveau systeme orthogonal (S<) derive du premier. Or, il est evident g^ome'triquement que les systmes orthogonaux ayant mme representation spherique que (Si) ont aussi meme representation spherique que (S). Done, on saura re*soudre les Equations (38) relatives au systeme (S<) comme on sait les rEsoudre pour le systeme (S). C'est d'ailleurs ce que confirme la remarque analytique suivante.
D'apres les formules (60) et (63) on a, par exemple,
et les formules analogues pour y { et pour z { . Or x, y, s sont des solutions particulieres du syst&me (38) relatif a (S); et x { , y { , z* sont des solutions du systeme analogue relatif a (S<). On est done conduit a conclure que si Q est une solution quelconque des Equations relatives au systeme (S), il existera une fonction Q' dEfinie par la formule
/<?AQi SSI 1 ' dp;
et, de plus, cette fonction Q' sera la solution la plus gdn feral systeme (38) relatif a ( Si ). Aucun calcul n'est necessaire pou rifiercelte conclusion. II suffil, en effcl, de remarquer qu< conditions d'integrabilite de Q', les equations du second c auxquelles elle doit salisfaire, (Slant verifies quand on rempls par X) y ou z, doivent F6lre identiquement, sous la seule r6s que & satisfasse aux memes equations (38) que ces solutions ticulires #, y, s.
Ces points 6tant admis, on reconnait immediatement la p< bilit<, des qu'on sait integrer le systeme (38) relatif a un sysi orthogonal (S), d'obtenir une suite illimiteede systemes tn orthogonaux contenant un nombre de plus en plus gran* fonctions arbitrages. II suffira de passer de (S) a un systeme admettant la ni^me representation spherique, puis de prei Tinverse (S' t ) de (S 4 ) et de recommencer sur (S() les m^ operations que sur (S). Ges operations introduirontseulement quadratures analogues a celle qui est d(5fmie par la formulc ( quadratures qui s'effcctuent d'aillcurs completement quan< systeme initial est completement integrable.
10S8. Pour compiler et faciliter les applications de la thode, nous indiquerons comment on passe d'un systeme on gonal(S) a un systeme inverse (S') par rapport a Torigine coordonn^es.
Soit, pour abr^ger,
(70) cr = # 2 H-/ 2 -f- z~.
Si est une solution du systime (38) relatif a (S), - sera la
lution correspondanle du meme systeme rclalif a (S ; ). D'a part, si 1'on d^signe par A' le A relatif a (S') on a, comme on i en prenant le module de Tinversion <Sgal i l'unit<S,
Done les formules qui d^finissent les fonctions x\ , y\ , z\ r tives au systeme (S'J deriv^ de (S') par Tcmploi de la solutioj
GENERALISATIONS D1VERSES.
formules qui se deduisent des Equations (60), seront
[ x , = ff2ii /# } Q\
En appliquanl les regies donndes au n 679 relativement au symbole operatoire A et tenant compte des formules donn6esplus haul, on trouvera
#<? JK<? -^ etant les coordonnees ddfinies par les formules (60) et relatives au systeme (S<) derive de (S) par Temploi de la solution Q.
1089. Supposons, par exemple, que le systeme (S) soit celui qui correspond aux coordonn^es polaires ayant pour origine le point (A, k, 1) et qui est defini par les formules
/ x = A -h p sin pi cosp 2 , ' y s= /c -i- p sin pi sinp 2 ,
5 = /H-pCOSpi.
Les Equations en x, y, z admettront la solution generate ( 7 4) Q = R -H Rip H- R 2 p sinpi,
ou R/ depend de la seule variable p/; etles formules (6o) } (72) feront alors connaitre, avec les trois fonctions arbitrages R, R o R 2 , nn systeme orthogonal admettant meme representation spherique que le systeme inverse de (S), c'est-a-dire compose de trois families de surfaces a lignes de courbure planes dans les deux systemes. Elles appartiennent cette fois a la classe de celles qui
2g6 LIVRE VIII. CHAPITRE XII.
sont les plus ge'nerales et qui ont e*te* determinees par les Equations (u) du n 104.
On pourra poursuivre 1 'application de lame'thode et introduce autant de fonctions arbitraires qu'on le voudra, sans aucuu signe d'integration.
1060. Pour obtenir des applications tres generales, nous choisirons la se>ie admettant comme systeme initial (S) celui qui a etc* deja determine plus haut (n 971) et pour lequel les lignes d'intersection des surfaces de parametres p et p< ? par exemple, sont des courbes planes (K). On peut d'ailleurs le retrouver, comme nous Favons indique' (note da n 972), par la methode suivante :
Si nous construisons les cercles osculateurs (C) aux differentes lignes (K), au point ou elles sont coupees par une surface de"termme*e de parametre p 2 , tous les cercles (C) forment un systeme cyclique, d'apres la proposition de Ribaucour (n 972). Nous avons done deux systemes orthogonaux : (S) et le systeme cyclique. Fajsons correspondre a chaque courbe (K) le cercle (G) de son plan; il est clair que les surfaces de parametres p et pj se correspondront dans les deux systemes. Mais si, de plus, on associe a chaque point M de (K) le point M< de (C) ou la tangente est parallele ^ celle de (K), les surfaces de parametres p et p i se correspondront par plans tangents paralleles dans les deux systemes orthogonaux; et ? comme ce sont leurs lignes de courbure qui forment le systeme conjugue* commun, on voit que les surfaces de parametre p 2 se correspondront aussi dans les deux systemes orthogonaux : par suite, ces deux systemes auront la meme representation spherique dans le sens precis de*fini pins haut. On obtiendra done les systemes (S) en cherchant tous ceux qui admettent m6me representation spherique que le systeme cyclique le plus ge'ne'ral.
Or nous avons donne* au LivrelV, Ch. XV, toutes les formules ne*cessaires, relatives au systeme cyclique (C ) forme de cercles normaux a une surface quelconque (A). Conservons toutes les notations adoptees : #, y, z d(signant les coordonne"es d'un point de la surface (A) (n 481); c, c ; , d 1 les cosinus directeurs de la normale a la surface en ce point; X, Y, Z les coordonndes du
GENERALISATIONS DIVERSES. 297
point du cercle (C) dans le systeme cyclique; 1 et JJL deux fonctions de p et p 4 vdrifiant le systeme (54) [II, p. 33g], on aura, d'apres les Equations (66) [II, p. 342]
1 s-is[*-"4~
de sorte que, pour former les Equations aux drives partielles de la forme (38) dont X, Y, Z sont des solutions particulieres, il suffira d'employer ces deux formules et d'en eliminer x et c, en tenant compte uniquement de ce fait que x et c sont des solutions particulieres du systeme (54) [II, p. 33g], solutions qui ne d6pendent pas de p a . On deduit de la qu'il est inutile de former ces equations aux derivees partielles et que Ton aura immediatement leur intgrale g^n^rale en cherchant la fonction Q qui satisfait aux deux Equations du premier ordre
<te i d0 , d? \ dQ i (W d ?i \
T-~ == TT T~ I & AO-HA r l |> -r = I Q AO-T-A r | 7
<?p dp I ^t J dpi 6 <?P! jjj
L <>p J L d Pl J
ou X , [JL O sont les fonctions les plus g^n^rales de p et de pi satisfaisant aux Equations (54), que nous reproduisons ici,
= 0, -T -- h AI -T = 0.
Par exemple, en adoptant les solutions suivantes
on trouverait que Ton petit prendre pour Q la valeur
Nous ferons usage de cette remarque.
L'integration des deux Equations simultanees (76) se fait a vue;
elle nous donne
do.
dpi ,
Apres quelques transformations simples et en tenant compte de la formule (65) [II, p. 34a], on peut ecrire
en posant, pour abr^ger, ( 79 ) 4K
dK dK
|r 7?* -Hag*'.
dp dpi
Les formules qxii determinent alors le systeme cherch6 sont les suivantes
Ce systeme (S< ), defini par les fonctions #, , y { , 5 4 , est le plus gtedral de ceux qui correspondent par plans tangents parallles au systeme cyclique donn^ (C ). Mais ? si Ton veut se borner a obtenir le syst&me le plus general a lignes de courbure planes dans un syst&me, il rdsulte du raisonnement qui a ^t6 notre point de depart qu'au lieu de garder le systeme (S<), on peut se conr tenter de determiner le systeme parliculier (S ) pour lequel les lignes de courbure planes (K) sont dans les plans des cercles (C) correspondants.
Or on obtient ici le plan de chaque ligne (K) en retranchant membre amembre les deux premieres Equations (80); car cette
GENERALISATIONS DIVERSE?. 2QQ
operation elimine p 2 . On trouve ainsi 1'equation
dc dc\ c^o djx
^ pl 1- JL.- JgL
- .- ^ c^ I dp ^ >
et il n'y a plus qu'a exprimer que cette Equation defmit le plan du cercle (G), c'esl-a-dire qu'elle est v^rijSee quand on y remplace x\,y\, z\ par x, y^ z. On trouve ainsi la condition
qui nous donnerait, d'une mani&re g^nerale,
C el Cj d^signant deux constantes quelconques. En se reportant, par example, aVexpression deQqui precede la formule (78), on reconnaitra qu'on peut reduire ces constantes a zero sans diminuer la g^neralit^, et prendre simplement
(81) (JL == rt^
Dans ce cas, Fint^grale qui figure dans Fexpression de Q disparatt et Fon peut prendre
Les formules (80) nous donnent done, pour le syst&me (S ( ), les Equations suivantes :
ou tout est connu et ou Ton a remplace", pour plus de nettele" dans la suite du raisonnement, x\, y\, z\ par# , y , Z Q .
On aurait pu aussi garder les formules ge*nerales (80), en sup. posant que la surface (A) se reduise a une sphere.
1061 . Si Ton veut appliquer la me" thode de recurrence indiquee plus haut au systeme (S ) que nous venons de determiner, il faudra prendre d'abord Finverse de ce systeme, ce qui donnera un systeme (S' ) pour lequel les lignes d'intersection des surfaces de parametres p, p< seront spheriques: mais les spheres contenam ces lignes passeront par un point fixe. On determinera ensuite tous les systemes ayant me*me representation spherique que (S' ). Nous aliens etablir d'abord que, parmi ces nouveaux systemes, se trouvent tous ceux pour lesquels les surfaces appartenant a deux families de'terminees se coupent suivant des courbes spheriques. En d'aulres termes, sur les trois families de courbes d'intersection du systeme orthogonal, une seule sera assujettie a ^Ire spherique.
Pour etablir ce resultat, nous remarquerons qu'on exprime la proprie'te' cherch6e en ecrivant que les coordonne'es x, y^ 5 du sysleme orthogonal verifient une Equation de la forme suivante :
ou a, p, y, r sont des fonctions des seules variables p et p,. Pour abre*ger, nous ecrirons aussi, sans les d<^duire de la pre'cedente, les Equations
ou u et v sont encore des fonctions de p et de p< assujetties a verifier la relation
la premiere est ^vidente, les deux autres expriment que les sur-
GENERALISATIONS DIVERSES. 3 I
faces de parametres p 4 et p coupent la sphere contenant la ligne
de courbure commune sous des angles dont les cosinus - et - ne
r r dependent pas de p 2 .
Diflerentions la seconde formule (85) par rapport a o. On trouve, en tenant compte des formules (54), la relation
SY dot Q du
dp dp
a laquelle on pent joindre la suivante
S v da dv
