X- h B 01 w = , 0pi 0pj
obtenue en echangeant les indices o et i. Si Ton pose
^ u __ dv __
^ 7/ dp " ' dpi " ;
dot d 3 dy
(88) ^=A ^=B i = Cu
dpi dpi dpi '
ces deux relations deviendront
(89) [^ AXi = pio si, j^AiX = p i s-
En differentiant les deux membres par rapport a o 2 etremplacant toujours les deriv^es de X, X < par leurs valeurs, on en deduit les deux suivantes
SO v AX a = p so , ^ A 1 X 2 = p 21 .
Continuons encore et diffe'rentions la premiere de ces relations par rapport a p { . II viendra
on, en remplagant AX, par sa valeur (89),
Si les coefficients de X 2 , Y 2 , Z 2 n'etaient pas 6gaux dans deux inembres, Fequation prece*dente exprimerait que, f chaqne ligne de courbure spherique, la tangente est paralle un plan determine'; c'est-a-dire que cette ligne se reduit a cercle. C'est une hypothese que nous pouvons ecarter, et il par suite, permis d'e*crire les trois relations
auxquelles on devra joindre les suivantes
dB,
A, r = SJD,
que Ton en deduit en permutant p et p d .
Pour obtenir toutes les relations qui nous seront ne'cessai nous n'avons plus qu'a ajouter les deux equations (89), apres adifference la premiere par rapport a p, et la seconde par rapj a. p, ce qui, en tenant compte de la formule (56) et des relati (91), (92), nous donnera
on encore
(93) Ax---.
1062. Toutes les relations (89) a (98) auxquelles nous av ete conduits se rapportent a la representation spherique des s tmes orthogonaux cherches. En Jes combinant et les differ tiant, on en de'duirait d'autres ; on pourrait meme snpposer qu'e conduisent a de nouvelles relations entre les A et les e. Leur tegration est loin de paraitre facile; mais il est inutile de Pent prendre. II nous suffit de savoir qu'il existe des systemes thogonaux a lignes de courbure sphe"riques dans un systeme que nous avons entierement elimine des relations finales les fo tions a, [3, y, w, v, de sorte que, lorsqu'on aura un systeme de leurs pour les huit fonctions de p et de p i? A, A i} ..., e, s i7 tou les fonctions a, p, y, u et 9 qui satisferont aux Equations (87), (I
GENERALISATIONS DIVERSES. 3o3
conviendront a des systemes orthogonaux admettant uae famille de lignes de courbure spheriques. Gomme les conditions d'inte'grabilite sont remplies pour les equations (88) en vertu des relations (87) et (91), on voit que les fonctions u et 9 se determineront par rinte*gration des deux equations (87); puis les eoordonne"es a, (i, y du centre de la sphere contenant la ligne de courbure spherique seront donne*es paries quadratures suivantes
= / A v dp -h A!
= / G v dp
Ainsi :
Toutes les fois qu'il existe un systeme orthogonal a lignes de courbure spheriques. dans unsystdme, il y a une infinite de systemes analogues dependant de deux fonctions arbitraires d'une variable et admettant la meme representation spherique que le systeme propose.
1063. Nous allonscompletercette proposition en montrant que, parmi ces systemes associes au premier, il en existe pour lesquels les spheres qui contiennent les lignes de courbure passent par un point fixe et qui, par suite, peuvent 6tre considered comme les inverses de ceux que nous avons determines plus haut(n971).
Pour cela, il faut montrer que Ton peut satisfaire a la fois aux equations (87), (g4) et a la relation
par laquelle on exprime que la sphere contenant la ligne de courbure passe par Torigine des coordonne'es.
Si Ton difference liquation pr^c^dente par rapport a p et a p, , on obtient les deux relations
3o4 LIVRE VIII. CHAPITRE XII.
Mais si Ton diflfeentie la premiere de ces equations par rapport a p n ou la seconde par rapport a p, on n'obtient pas d'equation nouvelle, en vertu de la formula (g3). Gela suffit a montrer qu'il y aura des solutions communes aux Equations (87), (g5) et (96). Au reste, voici comment on pourra les obtenir. La differentiation des Equations (96) donnera les deux Equations
En eliminant a, [3, y entre les cinq equations (g5), (96), (97), on aura deux Equations du second ordre en u et p, qui, jointes aux prec^dentes (87), formeront un systeme complet.
1064. II est ainsi etabli que tout systeme orthogonal a lignes de courbure spheriques a m6me representation sph^rique qu'un systeme analogue, pour lequel les spheres contenant les lignes de courbure passent par un point fixe, et qu'il pourra, par suite, tre obtenu par Implication de notre methode gen^rale de derivation aux syst^mes orthogonaux, d^ terminus plus haut, pour lesquels les lignes de courbure sont planes dans un systeme. Nous terminerons ce Chapitre en developpant cette application. Et, a cet effet, nous nous appuierons sur la remarque suivante :
Soit (S' 4 ) le systeme cherch, d^fmi par les fonctions x\> y\, s\ de p, p p 2 ; soit (S ; ) Pun quelconque de ceux qui admettent meme representation spherique, d^fini de m&me par les expressions des coordonn<es a?' , y'^ JS' Q . (S\) sera d^termind par les trois Equations
ou Q' est une solution convenablement choisie des trois Equations auxquelles satisfont a'^y'^ 5 f . Comme on a, par hypothec,
a ? P> Y> ^ ^tant des fonctions qui ne dependent pas de p a , la diffiS-
GENERALISATIONS DIVERSES. 3 5
'entiation par rapport a p 2 nous donnera
Sf r d%\
HI, ce qui est la mme chose,
Liquation (98), ecrite pour i = p 2 , prendra done la forme sui-
1'ou Ton deduit, en integrant,
5 ne dependant pas non plus de p 2 . R^ciproquement, la condition sr^cedente, qui est necessaire, est aussi suffisante, comme on le ^econnait facilement en reprenant en sens inverse la suite du raisonnement.
1065. Ce point tant d^montr^, choisissons pour le systeme ^S ; ) Finverse de celui que nous avous d^sign6 par (S ) et qui est lefini par les formules (82), (83). En posant alors
)n aura
On'pourra prendre pour Q 7 le quotient
y etant la solution par laquelle on passe de (S ) au systeme de nme representation spherique (S { ) d&Sni par les formules (78) ;t (80); de sorte que Ton aura (n 1057)
/<?AQ 'V d ?t *& j 2-jfer3S*" 1 %
3o6 LIVRE VIII. ~ CHAPITRE XII.
Q tant la fonction definie par la formule (78) et le symbole A se rapportant au systme cyclique (C ) (n 1060) d'ou sont d&luitsa la fois (S ) et (S 4 ). Liquation (100) qu'il s'agit de verifier prend done la forme
(io4) Q* = a#o-+- PjKo-H Y*o-H fro-
En la diflferentiant par rapport a p 2 et utilisant les Equations telles que les suivantes
dmontres plus haul d'une maniere g^n^rale, on trouve, apres la suppression du facteur -r-^ la condition
Reciproquement, si cette Equation est verifiee, on en d^duira, en remontant la suite du raisonnement, 1'^quation un peu plus g^n6rale que la pr&^dente (io4)
oiivi ne depend pas de p 2 . Mais, comme le systeme (S ) a ses lignes de courbure planes, il y aura entre ^ ? JKo? ^o une relation lin^aire ne dependant pas de p 2 , qni permettra loujours de ramener la relation precddente ^ la forme (io4); de sorte qne Ton peut regarder les equations (io4) et (io5) comme absolumenl equivalentes.
Or Fequation (io5) peut evidemment etre remplac^e par la suivante
(106) Q = aX -H p Y -H yZ -h 2^0 H- o,
S ^tant ind^pendant de p 2 comme a, p, y, ....
D'autre part, si 1'on remplace Q, Q , par leurs valeurs, donn^es plushaut (n1060), et X, Y, Z par leurs valeurs donn^es au n 482, la relation a verifier, divisde par 6, se ramene & la forme
GENERALISATIONS DIVERSES. 807
suivante
(107) /(ps)-aS/ (p,) = Mpi+Np,4-P,
ou M, N, P ne dependent pas de p a .
Pour que cette equation ait lieu identiquement, il faudra, comme on le reconnait par la differentiation, que se reduise a une constante. Les formules (io3) et(io4) montrent me*me que cette constante disparaitra dans les derivees de Q', qui interviennent seules pour la definition du sjsteme cherche. On peut done supposer
et il faudra alors que la fonction /(PJ) se re*duise a un polynome du second degr^ en p 2 . En ^galant ensuite zero les coefficients des puissances de p 2 , on trouvera trois Equations quietabliront les relations n^cessaires entre les fonctions arbitrages a,
Comme il fallait s'y attendre, la solution prec^dente exige Tin-
tegration des deux equations aux derivees partielles (77), integration qui etait deja requise pour la determination des syslemes a lignes de courbure planes et qui equivaut a la determination des surfaces admettant m^me representation sph^rique que la surface (A.).
3o8 LIVRE VIII. CHAPITRE XIII.
