CHAPITRE XIII

Ce Ghapitre est consacre a 1'exposition dcs rc*sultats nouveaux que Ton doit a M. WeingarLen dans la recherche des surfaces applicables sur une surface donne'e. La methode de M. Weingarten exige que Ton connaisse de"ja au moins une surface reelle ou imaginaire adtnettant 1'ele'ment line'aire donne". Elle fait de*pendre la determination de toutes les surfaces () admettant cet element line'aire de celle d'autres surfaces (S), satisfaisant a une certaine Equation aux de*rivees partielles, qui etablit une relation entre les rayons de courbure principaux, les distances d'un point fixe au plan tangent et au point de contact. Gas particulier ou les caracte*ristiqucs de cette equation aux de*rivees partielles sont les lignes de longueur nulle de la representation sphe"rique d e (s). L'e*lement lineaire est alors deTmi par la formule simple

et 1'equation a inte*grer prend la forme simple

Indication des diffe"rentes formes de t|/(o) pour lesquellcs Tintegration est possible. Demonstration de difterents resultats dus a MM. Wcingarten, Baroni, Goursat. Les cas les plus interessants font connaitre toutes les surfaces applicables sur le paraboloide du second degre" dont une gene*ratrice rectiligne est tangenteau cercle de 1'infini. Reduction de I'e'le'ment lin^aire de ces surfaces a la forme de Liouville qui permet Tintegration des lignes gcod^siques.

1066. Nous pouvons maintenant rattacher aux propositions des Chapitres precedents une methode singuliere par laquelle M. Weingarten a obtenu de nouveaux succes dans la recherche des surfaces applicables sur une surface donne"e (*). L'eminent

( l ) J. WEINGARTEN, Sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donne'e. Extrait d 'une lettre d M. Darboux ( Comptes rendus, t. GXII, p. 607 et 706; mars 1891).

On pourra consulter aussi une Note de M. GOURSAT, inse're'e au mme Recueil, p. 707, et un Me"moire plus e*tendu du m^me auteur Sur un theoreme de M. Weingarten et sur la theorie de surfaces applicables f public* en 1891, au tome V des Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse.

ge"ometre ne nous a pas fait connaitre quels sont les principes qui lui ont servi de guide. Nous espe"rons que Pexposition suivanLe expliquera dans une certaine mesure pourqnoi, applique*e a certains cas speciaux, elle devait reussir.

Nous avons vu que les caracte"ristiques de 1'equation aux derivees partielles des surfaces applicables sur une surface donnee sont les lignes asymptoliques de ces surfaces. Par suite, toutesles fois qu'il sera possible, sinon de determiner ces lignes asympiotiques, tout au moins d'en indiquer certaines proprie"tes particulieres, le probleme pourra tre formuU d'une maniere nouvelle et conduire ainsi a quelque re*sultat nouveau. La consideration du systeme conjugal commun a deux surfaces applicables Tune sur 1'aulre va nous permettre d'appliquer cette remarque generale.

Nous commencerons par supposer que nous ayons une solution parliculiere du probleme, c'est-a-dire que nous connaissions une surface admettant un element lme*aire donne. Si x^ y { , z { sont les coordonnees d'un point de cette surface (0,), Pelement lineaire sera determine par 1'equation

(i) d$* = dx\ H- dy\ + ds\.

Posons

w pourra 6tre consid'^r^e comme une fonction de u el de P, dont nous e*crirons la diffe"rentielle sous la forme classique

(3 ) dw = p du + q dv ;

et l^l^ment line*aire consid^ prendra la forme

(4) ck a = du?+- zdvdw = dut->ripdiidv->riqdv' i ,

qui est pr^cis^ment celle qui sert de point de depart a M, Weingarten.

La maniere m^me dont nous y sommes conduits montre qu on pourra la reproduire, une fois obtenue, avec six constantes arbitraires, en effectuant sur x^ y<> z { une substitution line"aire orthogonale quelconque. II est vrai que la relation entre u, v : w contient des imaginaires lorsque la surface (6 4 ) est reelle; mais ici encore, on pourra utiliser ces solutions signalers au n 704,

et pour lesquelles deux des coordonnees x^y { , z { sont des fonclions rdelles, la troisime etant une imaginaire pure. Si c'ests,, par exemple, qui est purement imaginaire, on reconnait immediatement sur les formules (2) que w sera une fonction reelle des variables r^elles u et 9. Les substitutions orthogonales auxquelles on a le droit de soumettre # f , y\, ^\ pourront alors revetir une forme reelle quand on y remplacera ces coordonnees par leurs expressions en u, v, w.

1067. Soient maintenant #, y, z les coordonnees rectangulaires d'un point de la surface () qu'il s'agit d'obtenir et qui est applicable sur la surface (<). Si Ton fait rouler la surface (9 f ) sur la surface (0), une droite isotrope invariablement lide a (^ coupera le plan de contact de (9) et de (<) suivant un point dont le lieu gomtrique sera une de ces surfaces (S') pour lesquelles les lignes de courbure correspondent au systeme conjugu^ commun & () et a (9|). Prenons la droite isotrope particuliere (d) qui, rapport^e aux axes invariablement 3i<$s a (@ 1 ), est represent^ par les Equations

(5) #! = (), fi+iSiSsO,

c'est-a-dire par les suivantes

et proposons-nous de determiner les coordonnees X x , Y ; ? TJ du point ou elle coupe le plan de contact de () et de (<) Pour cela nous appliquerons la m^thode donn<5e au n 968; les coordonn^es cherch^es sont dvidemment de la forme suivante :

du (7)

A et B etant des coefficients ind^pendants du choix des axes. Par consequent, les surfaces (}, (<) etant applicables Pune sur 1'autre, on pourra appliquer ces formules aux axes Q\x\,

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3ll

auxquels estrapportee la surface (0,), sans changer la valeur de A et de B. On aura done

Les Equations de la droite isotrope (d) nous donnent

et Ton a d'ailleurs, en vertu de la definition de u et de 9,

il viendra done

de sorte que les coordonn^es du point de (S') seront d^terminees par les formules

., dx dx

" "" du dp '

r, __ dy dy

. dz dz

dw dp

II est trfes ais6 de determiner les cosinus directeurs C, C', G f de la normale a (S 7 ). Si Ton diflferentie^n eflfet, les formules prec^dentes, on trouve

Comme on doit avoir

dx*->r dy^^r dz* = du* -f- ip du dv -f- 2 q <

il viendra

/dx\* fdy\* fds\* U) +() +(du) =1 ' ^ c)a? d>7 dy dz dz ___

?w dv du

du dv

etl'on d^duira de lit, eu <$gard a liquation (3), les deux relations identiques

dx ,dx n dx ,dx

qui, rapprochees des formnles (10), nous permeltenl de prendre pour les cosinus directeurs de la normale a la surface (S 7 ) les valeurs suivantes :

Ces valeurs de C, C 7 , C /; subsisteraient sans modification si Ton substituait a la surface (S 7 ) la surface plus generate (I> r/ )> d^finie par les formules

.dx

ou w , ^ d^signent deux constantes quelconques. Au reste, la surface (S v ) estde m^me definition que (S 7 ); elle est d^crite par le point ou la droite isotrope (d f/ ) parall^le a (d) et d^finie par les Equations

coupe le plan de contact de (0) et de (6 4 ). Tous ces resultats sont en parfait accord avec ceux qui ont 6t6 d^montr^s au Chapitre VI de ce Livre. Toutes les surfaces (S 7/ ) ont, aux points cor-

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLI CABLES. 3i3

respondants, leurs plans tangents parallSles; car, pour chacune d'elles, ce plan tangent est le plan projetant la droite isotrope correspondante. Eiles ont de plus mme representation spherique de leurs lignes de courbure (n 947); et ces lignes de courbure correspondent aux courbes du systme conjugue commun a (&) eta(0-

Introduisons ici la definition suivante : etant donnees plusieurs surfaces qui se correspondent point par point, designons sous le nom de resultante de ces surfaces celle qu'on obtient en ajoutant geometriquement les rayons vecteurs qui joignent un point fixe de 1'espace aux points correspondants des surfaces donnees. II est clair que la surface (S") la plus generate sera la resultante de la surface (S') et de deux autres surfaces homothetiques aux suivantes (S ) et (S), qui sont respectivement denies par les equa-

tions

f R\ \ r - dx Y~ *? 7 dz

v ; dv dv dv

Toutes ces surfaces se correspondent par plans tangents paralleles; la surface (S ) est une sphere; quanta la surface (S), elle a mme representation spherique de ses lignoe de courbure que les diffrentes surfaces (S v ); et, par consequent, ses lignes de courbure correspondent au systeme conjugu^ qui est commun

a(0)eta(@0-

On peut encore rattacher d'une autre maniere la surface (S) aux

surfaces (S"). Si Ton suppose que, dans les formules (i4), ^o grandisse indeSfiniment, la droite isotrope correspondante (d n ] s'eloigne ind(5finimcnt dans le plan

rattache a la surface mobile. La surface (S") s'eloigne aussiindefiniment; mais la surface homo the tique decrite par le point dont les coordonnees sont

xr// -yir nit

VQ ^o ^o

3l4 LIVRE VIII. CHAPITRE XIII.

demeure a distance finie et se reduit a la surface (S) ddfinie plus haut.

1068. Cette surface (S) est pr<cisement celle qui sert de base aux recherches de M. Weingarten. L'eminent gomtre 1'introduit directement paries formules (16); et Tidentit^ (12), deja demontr^e,

die " <Jv

Sdx di l

montre alors que les cosinus directeurs de la normale a la surface sont bien les quantit^s C 3 C', G r ddfinies par les formules (i3). Nous allons chercher directement les Jjgnes de courbure et les rayons de courbure principaux de la surface (S). Mais auparavant nous remarquerons que, lorsque (S) sera connue, la surface (0) sera d^finie par les formules suivantes :

c'du +

et nous signalerons les identit^s

d'ou il r^sulte que p sera la distance de Vorigine auplan tangent de (S) et zq le carre de la distance de la mme ongine au point de contact de ce plan tangent.

1069. Cela pose, cherchons les lignes de courbure et les rayons de courbure principaux de la surface (S). Les Equations d'Olinde Rodrigues

nous donnent ici la suivanle

NOTJVELLES CLASSES DE SURFACES APPHCABLES. 3l5

etles denx Equations analogues en yel z. Or, si Ton conserve les notations du Livre VII, Chapitre III, le systeme (36) [III, p. 201]

devient ici

dx dx

dudv "" H " H H 9 - ^

t dx dx

dv*

D, D', D" <tanl les determinants ddj d^finis et r, s, t les derivees secondes de w, considre"e comme fonction de &, 9. Si, dans liquation (19), on remplace les derivees secondes de x par leurs valeurs (20) et si Ton ^gale a z6ro le coefficient de c ainsi que celui

(J e p^r- > on trouvera les deux Equations

dv r du n

D' du H- D ;/ dv -t- p(D rfw + D' fr) = o, s du "+- t dv -+- p ( r du H- s dv ) = o,

qui determineront a la fois p et -- L'equation differentielle

(21) (D ; ^M -h D' ; c?p ) (r C?M H- ^ dv) (D <^w H- D' do)($ du -*rtdv)= o,

qui r^sulte de P Elimination de p, de'finira les lignes de courbure et liquation

fera connaitre les rayons de courbure principaux.

Le premier membre de liquation (21) est videmment la forme qnadratique harmonique aux deux suivantes :

D du* -t-<

isdudv

qui, 6gal^es a zro, determinent respectivement les lignes asymptotiques des deux surfaces (0) et (e,). On v^rifie ainsi que les lignes de courbure de (S) correspondent bien au systeme concommun a (0) et a (&<). Quant a Tequation (22), eUe pent

3i6 LIVRE VIII. CHAPITRE XIII.

etre remplac^e par les deux suivantes :

(a3) rp'p'-H s(p'-hp")-H = o,

(a4) D pYH-n'(p'-t-p ff )+n"=o,

ou p' et p" designent les deux rayons de courbure principaux, el dont nous aurons a faire usage plus loin. On en deduit, en particulier, que 1'on aura identiquement

eomme on le voit en utilisant le systme (20). II nous reste maintenant a indiquer les consequence.

1070. Nous remarquerons d'abord qu'on pent, en quelque sorte, supprimer la relation entre (0) et (S), en d^finissant directement cette derniere surface.

En effetj dans liquation (a3) et dans les valeurs de r, 5, t, exprimons u et p en fonction des variables p et q qui ont par rapport a (S) une signification geom^trique d<termin^e, indiquee a la fin du n 1068. Nous aurons ainsi une relation entre les rayons de courbure de (S), les distances de 1'origine au plan tangent et au point de contact, c'est-a-dire une equation aux der ivies partielles du second ordre & laquelle devra satisfaire (S). Voici un moyen &6gant de faire le calcul. Posons

(a6) op = up 4- vq w,

et exprimons <p en fonction de p et q. Comme on a, en diflferentiantj

d<% = w- dp 4- P dq , on pourra poser

De plus, les Equations

dp = r du -+- s dv, dq = $ du + t dv,

qui d^finissent les d^riv^es secondes, nous donnent

j 7 dcp t dp s dq , , ^9 r dq s dp

du = d-f- = - - -i, dv = d^ = - r ^op rt 5 2 dq rt $*

NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3i;

et, par suite,

dpdq r ,

C'est la transformation bien connue de Legendre, qui revient a remplacer la surface (0,) par sa polaire re'ciproque relativement au parabolo'ide de"fini par liquation (*)

Apres cette transformation, liquation (a3) a laquelle satisfait (S) prend la forme

et les formules dejBnissant la surface (0) deviennent

Quant a I'element lineaire de (0), il s'expriinera comme il suit : (3a) ds*-.

1071. Nous allons maintenant demontrer la reciproque : si la surface (2) satisfait a liquation aux derivees parlielles (3o), les formules (3i) d^terminent une surface (0) admetlant Pelement lineaire donne*.

Comme la formule (32), equivalente a celle (4) qui a servi de point de depart, resulte immediatement des equations (3i) en

() En effet, d'apres les formules (a) qui relient w, p, w aux coordonnees rectangulaires & it y tt JS t9 on voit que ces variables u, v, w constituent, elles aussi, un systeme de coordonnees rectilignes, de sorte que la transformation indique"e dans le texte e*quivaut a prendre la polaire reciproque dela surface (O t ), admettant I'&gment lineaire donn6, relativement au paraboloi'de d^fini en coordonnees rectangulaires par liquation

3i8 LIVRE VIII. CHAP1TUE XIII.

admettant qu'elles soient Stabiles, tout se reduit & dSmontrer que les expressions telles que la suivante

(33) C4j- Xrf g

sont des diSerentielles exactes.

Or, aux Equations d'OlindeRodrigues, qui d&finissent les lignes de courbure

on peut adjoindre la suivante (34) dq

que Ton obtient en les ajoutantapres les avoir multiplies respectivement par X, Y, Z. Si done on a pris p et q pour variables inddpendantes, on aura, pour chaque ligne de courbure,

et, en remplagant ^ par savaleur d^duite de liquation (34),

v J dp *\dp dq I r dq

de sorie que 1'on peul poser

, //N dC dC dX

et de li 1'on deduit (37)

Ces relations, auxquelles il faut joindreles formules analogues en Y et C', Z et C', constituent une des propri6t6s du systfeme de coordonn^es curvilignes /?, q.

Cela pose*, ^crivons la condition d'int^grabilit^ de la differen-

lielle (33); il viendra

dq \ dp* dp dq ) dp\ dp dq dq- J

ou, en redxiisant,

dC d*% ^ /dX __ dC^\ d*<? <?X jy dq dp* \dq dp J dp dq dp dq* ~"

II suffit de tenir compte des relations (36) pour voir apparaitre le

premier membre de 1'equation (3o) multiplie par -p- Notre rciproque est done compl&tement d(5montr^e.

1072. Nous avons ainsi ralis une transformation radicale de Fequation anx d^riv^es partielles qu'il s'agissait d'int^grer, et notre remarque du debut nous montre que, pourvu que Ton connaisse une surface particuli&re admettant un 6l<ment lin^aire donn^, la determination complete des surfaces admettant ce meme dldment lineaire pourra toujours se ramener a 1'integration d'une (5qualion de la forme (3o). Commeonaici, d'apr&s la formule (21) [111, p. M6J

(38) DD D' = ^ rf,

liquation a laquelle satisferait la coordonn^e x relative a la surface (8) serait, en remplagant D, D', D /; par leurs valeurs tirees du syst6me (20) et faisant quelques reductions,

dx doc

11 revicndra au m^me d'intdgrer cette Equation, ou celle (3o) que nous avons formic plus haut et qui determine (2).

Nous savons (n 703) que liquation pr^cedente admet pour caracuSristiques les lignes asymptotiquesdela surface (0) d^finies par liquation diffdrentielle

(4o ) D du,* -+ 2 D' du dv -f- D r/ dv* = o.

Ces caract<ristiques sont aussi celles qui conviennent a Fequation (3o). On pourrait, eomme Fa fait M. Goursat dans le M<5moire cite plus haut, etablir ce r6sultat par un raisonnement a priori. Nous nous conlenterons de remarquer que les caracte"ristiques de liquation ge'ne'rale aux drive*es partielles

(41) Hp'p'H- K(p'-h p r ) + L = o,

ou, p', p" designant toujours les rayons de courbure principaux, les fonctions H, K, L ne contiennent que les coordonnees X, Y ? Z du point et les cosinus directeurs C, G', G^ de la normale a la surface, sont determinees par liquation diflf^rentielle

(42) H C dC dX. - K C dG* = o.

Cette equation, a laquelle conduit t'application r^guliere des thodes generates, deviendra ici

ou, en tenant compte des formules (28),

Or calculons les trois formes quadratiques

relatives a la surface (S), et qui dfinissenl : pour cette surface, les lignes asymptotiques, les lignes de longueur nulle et les lignes de longueur nulle de la representation spli^rique; c'est-a-dire trois syst^mes de courbes divisant harmoniquement les lignes de courbure de (). Un calcul facile, ou Ton aura a employer les formules (20) et a tenir compte de Tidentite (38), nous donnera

$4) < dd& = (Kdu*+*V'dudv + Wdv*)^

[S d ^ =ip( D ^ 2+2D '^ w ^^ D *^*Kip(^^^

Ces relations permettent, en premier lieu, d'<tablir le fait'annonce et de mettre en Evidence l'identit des deux systemes de caract<$ristiques dgfinis par les Equations (4o) el (43). Elles montrent aussi queles trois families de lignes prec^dentes son! en involution avec les lignes asymptotiques des surfaces (0) et (6<). II fallait s'y attendre, puisqu'eJles divisent toutes harmoniquement le rseau form par les lignes de courbure de (S), qui correspond au rseau conjugue commwn a (0) et a (<).

1073. On peat faire des applications diverses des resultats precedents. Nous presenterons d'abordla remarque g^ndrale suivante.

Supposons qu'on veuille determiner toutes les surfaces admettant un element lin^aire donne. La connaissance d'une solution particuliere (Oj) nous permettra de ramener le probleme a Tinte$gration d'une Equation de la forme (3o). Cette integration etant effectu^e, on connattra un nombre illimit^ de surfaces (&\} admettant l'<!jlement lin^aire donne; et a chacune d'elles correspondra une forme detcrmin^e de liquation (3o). Done, lorsqu'on sait inlcSgrer une equation de cette forme, il en existe un nombro illimtto d'autrcs de m&me forme, mais ou la fonction <p aura une determination dilFcrente, que 1'on saura inttigrer. Rappelons mfime pour plus cle nottetd la signification g6oni(5trique de la fonction tp. Nous avons vu quo liquation

repr^sentc, si I'on y regarde les variables /?, ^, w coxnme des coordonndes cart^sicnncs, relives aux coordonn^cs rectangulaires par les formulcs (2), la polaire r<5ciproquc de 1'une des surfaces admettant Fclcmcnt lineaire donn, prise relativement au paraboloYde repr<iscnt5 par TiSquation (ag) donnde plus haul.

Pour examiner main tenant quelques applications particuliercs, envisageons d'abord l'l<5ment lin^aire de la sphere

En prenant ici

# 1= u = cosO, i? = y i + izi = sin ety, 2 vt> = JKI i&i = sin e-^, D. IV. a i

Tequalion

nous donnera la relation d'ou Ton pourra deduire

L'equation (3o) devient ici

Elle exprime que la sphere ayant pour diametre la droite qui joint les deux centres decourbure principaux de (S) doit passer a Forigine des coordonnees. II n'y a laqu'un fait curieux, liquation prcdente ^tant plus compliquee que celle des surfaces a courbure constante.

1074i. Pour obtenir d'autres applications, nous remarquerons une consequence interessante des Equations (44) relatives aus trois families de lignes tracees sur (S). llfaudra une seule condition pour que les lignes qui composent Vune de ces t?*ois families deviennent les caracteristiques de V equation aux derivees partielles (3o) a laquelle doit satisfaire la surface (S).

Si Ton veut, par exemple, que ces caracteristiques soient les lignes de longueur nulle de la representation sphrique ? il faudra supposer