I -H CCp
on encore
(61) (a 4- P)a?iH- i(P XriH- (a 1)^+ co = o,
ce qui donne les relations
<?co .
+. at i yi + p^ - o,
$2 (^ dx\
c?a dp UjT dp ^ (?S * '
et deux autres relations semblables faisant connaitre -r^, -? On d^duit de Ik
?2 CO x o / ^P \^ d^CO / o\/ dp \ *
et ces trois Equations, toujours compatibles, d^termineront o>. Les termes de la forme
introduits par les integrations conviennent k des surfaces qxti se d^duisent les unes des autres par une translation ou par le passage 4 la surface paralldle.
On voit quo les lignes de courbure sont d6termin6es (n 165 par les Equations diffdrentiellcs
Done, comme ii fallait s'y attendre, une des families est formee
des courbes
p = const.,
auxquelles correspondent stir (0) les lignes g^odesiques de parametre v.
1075. En resum, les formules auxquelles nous avons &1& conduits font dpendre la determination de toules les surfaces () dont Foment lin^aire est donn par la formule
(63) ds*= du\ 4- aOt + <J/(0] dv*
de 1'integration de Fequation aux derives partielles
ou de la determination des surfaces (S) dont les rayons de courbure satisfont la relation
dans laquelle/? designe la distance de Porigine au plan tangent.
Malheureusementj quelque simple qu'en soit la forme, liquation aux deriv^es partielles (64) n'est pas int^grable en g^n6raL M. Weingarten, et ensuite M. Goursat, ont cependant indiqutf quelques cas danslesquels on peut obtenir son integrate g&nSrale.
Supposons, par exemple ? que la fonction fy ff soit lindaire, et posons
m d^signant une constante quelconque. Liquation (64) deviendra
et, si Ton effectue la substitution
elle se r^duira a liquation d'Euler
NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 3ay
que nous savons inl^grer, soit par des formulas finies lorsque in est enticr, soit par des integrates d&Bnies dans tons les aulres cas (LivrelV, Chap. Ill et IV).
Alors la relation (65), quisert de definition a la surface (), sera
Si Ton mene le plan perpendiculaire a la normale d'nne surface a egale distance des deux centres de courbure, il enveloppe une autre surface a laquelle nous donnerons ici le nom de developpee nwyenne de la premiere (*). Comme la distance de Forigine a ce plan est
on voit quc 1'equation (69) exprime que la dveloppde moyenne de la surface (S) est une surface homothttique & (S) ( 2 ).
(') Au n 91$ nous avons dej& donne le nom de developpee moyenne & la surface decrite par le milieu du segment forme* par les centres de courbure principaux. Nous mcttrons & profit ccttc occasion pour rappelcr ici que Ribaucour a introduit avec surces deux surfaces differcntes dans la thdorie des congruences rcctiligncs : Tune, la surface moyenne, decrite par le milieu du segment focal; I'autiv, renvehppt'G moyenne, enveloppe du plan perpendiculaire sur le milieu du segment focal. Quand la congruence rectilignecst engendrde par les normales d'une surface (il), on a ainsi deux surfaces distinctes rattach(5cs a ( S). On pourrait, si on les rencimtrait dans unc ra^mo <5tudc, les designer respectivement sous les noins de developpee moyenne ponctuelle ct de developpee moyenne tangentielle.
() Les surfaces joui.ssant dc cctte propriety avaicnt e'te' deja consid(Sr<Ses par Ribaucour ct par M. Appell dans le cas particulier ou m = o et ou, par suite, la cl<&vdopp&) moyenne c r(iduit <\ un point. Elles avaicnt (Std ^tudie"cs pour toutes les valours cits m par M. Goursat. Lc lecteur pourra consulter les M6moires suivants :
A,. UmAtmouH, Mdmoirc sur la theorie ge'nerale des surfaces courbes, Chapitre VI (Journal de Matkematiques pures et appliqwes, t, VII, 4" stoic; 1891, pr<SHcnt<i <m 187(1 in T Academic des Sciences).
i*. AnKti M Surfaces telles que V origin* se projette sur chaque normale au milieu des centres de courbure principaux (American Journal of Mathematics, t. X p, 175; 1888).
E, OOUHBAT, Surfaces telles que la somme des rayons de courbure pnncipaux est proportionndle a la distance d'un point fixe au plan tangent. (M6me Hccucil ct memc tome, p. 187).
Mais, il est juste dc le reconnattre, c^est a un jeune gdomdtre italien, M. ETTOUR UAKOKX, <iuc revtent le incite d'avoir, le premier, signal qu'a chaque surface homothetiquc & sa ddvcloppe-e moyenne on peut faire correspondre une surface
Examinons les cas particuliers les plus interessants. Pour m = o ou m = i, les surfaces (0) sont les d<veloppees des surfaces minima; cela resulte de la forme mme de leur element lineaire (n 751). La surface (S) est celle dont la developpee moyenne se reduit a un point. L'equation (68) s'int&gre alors sans difficulte et nous donne
Pour ;tt= 2, on a
Ce cas int^ressant avait et ^tudi^ depuis longtemps par M. Weingarten dans un Memoire cit6 plus loin [p. 335] et ins&6 aux Nachrichten de Goettingue. Les surfaces (S) se reduisent aux surfaces minima; elles sont, par suite, identiques a leur ddvelopp6e moyenne.
1076. Consid&rons, d'une mani^re plus g^n^rale, la fonction t|/ d^finie par la formule
ou A designe une constante quelconque. Liquation (64) ^ int^grer prendra la forme
Et il est clair que si m(i m} n'est pas nul, on pent, par la substitution tres simple j
la ramener a liquation (67). D'ailleurs Phypothfese m(\ m) = o,
admettant un Element lin&ure donn^; de sorte que I'int^gration complete de liquation (69) pour une valeur donne'e de m fait connaltre par cela m&ne toutes les surfaces qui admettent un m&ne ^Ument Iin6aire. Voir le Me'moire intitule" : Superficie S in cui la somma del raggi principali di curvatura e properzionale alia distanza di un punto fisso dal piano tangente; inse're' par M. Baroni, en 1890, au tome XXVIII du Giornale di Matematiche, p. 849.
nous donne
L'lment lin^aire de
convient (n 693) aux surfaces que nous avons reconnues etre applicables sur le paraboloi'de de revolution. Les surfaces (S) correspondantes admettent comme d6velopp6e moyenne une sphere. Pour le cas general de la formule (71), la developpee moyenne serait homothetique & une surface par alible a (S).
Gomme on peut toujours remplacer (S) par une surface parallle, notre nouvelle hypothese ne donne done rien d'essentiellement nouveau. Au reste, par un changement de notations, on peut toujours faire disparaitre la constante A dans 1' expression de l'lment lin^aire, toutes les fois que le produit m(i m) est different de z^ro.
1077. Pour trouver, s'il en existe, d'autres cas dans lesquels liquation aux d^rivees partielles puisse ^tre int^gr^e, appliquons les methodes r^guli^res et commengons par chercher si eile peut admeltre, par exemple, une integrate premiere. Soil
cette integrale premiere. Si on la diflferenlie par rapport & a, par exemple, on aura
p 1 et q f designant les d^riv^es premieres de v. En diferenliant par rapport a p, on aura de mme
Si Tune ou L'autre des deux Equations pr6c^dentes n'est pas vrifi6e identiquement, on pourra determiner les trois d^riv^es secondes ou les deux derivees premieres de p; et, par suite, les scales solutions qui pourront tre communes Pequation (78) et ^
laproposee contiendront tout au plus des constantes arbitrages. Supposons done que Tune des Equations (74), (75), la seconde par exemple, soit verifiee identiquement. II faudra que Ton ait
dF
Liquation (78) pourra done s'crire
/>'= *(*,*>?) et liquation (7$) deviendra ,<?<!> d&
ce qui donne
^(P) devra done se reduire a une constante, et Ton retrouve une des hypotheses de*ja examinees.
1078. Voila tout ce que donnerait la me'thode de Monge. Essajons celle que j'ai propos^e et qui consiste a chereher des Equations aux derivees partielles de tons ordres ayant en commun avec la propos^e la solution la plus e'tendue possible. Nous nous bornerons a examiner le cas ou ces Equations ,sont du second ordre. On reconnaitra aisement qu'elles doivent ^tre de la forme suivante
ou de celle qu'on obtient en changeant a en p. Pour determiner F, il faut diff^rentier par rapport a p, ce qui donnera
et exprimer que cette Equation a lieu identiquement. Le developpement du calcul nous donne
NOUVELLES CLASSES DE SURFACES APPLICABLES. 33l
Comme F ne contient pas p, on peut donner a a, (3, p f des valeurs constantes et Ton aura une relation lineaire entre tj/ /7 et <J/ 7 . ficartant le cas ddja examin ou t}/ 7 serait constante, nous ecrirons
< (78) fy'"= -$"-+- h',
et il restera a egaler les coefficients de tj/, ainsi que les termes qui ne contiennent pas cette fonction, dans les deux membres de Pquation (77). On aura ainsi
dp' ~~ a P
Pour que ces Equations soient compatibles, il faut que 1'on ait h = 2. II vient alors
Liquation (76) prend done la forme
On pourra de m^me poser
Quant it liquation aux d^riv^es parlielles, comme ond^duit de liquation (78), ou Ton a remplac^ h par 2, la valeur suivante de
elle deviendra
et ii ne restera plus qu' trouver la solution commune aux trois Equations (79), (80) et(8i).
Ce calcul n'offrirait aucune difficult^. Mais il vaut mieux, une fois liquation obtenue, op^rer comme il suit.
Effectuons la substitution (82) P = aLog(i-haj3)-f-w.
L'equation (81) prend la forme
dont Liouville a donne 1'int^grale (n 726) (' ). On a
* SA'B' (W) e " - (n-AB)*'
A designant une fonction arbitraire de a et B une fonction arbitraire de [3. On trouvera done pour 9 la valeur d^finie par liquation suivante :
Quant a IMl&nent lineaire de (0), il sera donn6 par la formule
(o 1^ a!-f-aap ~e a
Par une substitution de la forme
on peut obtenir 1'expression plus simple (88) ds*<.
Ge cas nouveau a 6t6 signal^ par M. Weingarten. L'^minent g^ometre a indiqu6 qu'on peut alors ramener l'lment lineaire & la forme saivante :
(89) ds*=(a-
Cela nous conduit presenter les remarques suivantes, par lesquelles nous terminerons ce Ghapitre,
() Les demonstrations de Liouville se trouvent, soit dans la Note IV de la cinqui&ne Edition de V Application de V Analyse a la Geometric par MONGE, soit au Journal de Mathematiques pures etappliquees (i" s6rie, t. XVIII, p. 71; i853).
1079. La forme g^nerale
(go) flfe*==dwjH-[aai+a<l/((>)]rfp
est ^videmment un cas limite de celle qui convient aux surfaces regimes. Et, en eflet, il est possible de trouver toute une classe de surfaces regimes imaginaires admettant cet 6lment lin^aire.
Si Ton se reporte aux calculs du n 728, on trouvera que toutes ces surfaces regimes sont engendr^es par la droite
y = azUi+b*, z =
les fonctions a <? a 2 , a 3 , b^ 6 2 > 63 6tant definies par les relations (2) [III, p. 2g4]j qui deviennent ici
La premiere de ces relations montre que les surfaces r6glees cherch^es admettent un plan directeur isotrope. Comme on peut supposer que ce plan soit parall&le au suivant
y + iz = o,
on trouvera ais^ment que, si a d^signe une fonction de v et a' sa d^riv^e, on peut ^crire les Equations qui d^terminent la surface sous la forme
r dv >S==2 J ~J :
~ Ui ~ J 3
Inversement, toutes les surfaces r^glees qui admettent un plan directeur isotrope ont leur 6l6ment lin^aire r6ductible a la forme (90).
D'apres cela, cherchons loutes les surfaces du second degre qui rentrent dans la classe prcdente. Une seule est r^elle, c'est le paraboloide de revolution. Nous Tavons d^j^ examin^, et nous
334 LIVRE VlJt. CHAPITRE XIII,
avons meme donn (n 727) la forme de <j/(p) qui correspond a son eminent linaire. Mais il y a d'autres paraboloi'des qui remplissent les conditions que nous venons d'indiquer : ce sont ceux qui admettent une ge*neratrice rectiligne tangente an cercle de rinfini.
Conside*rons d'abord celni qui louche le plan de Pinfini, en un point non situe sur le cercle de Finfini. Son Equation pourra toujours se ramener a la forme
(92) (y + ix)y= kar.
En substituant les valeurs (91) de #, y, z dans les formules pre*cedentes, on verra aisement que 1'on peut prendre
* = /*', = ^, [-,do = v\/k -> J a 2
et Fon trouvera
( 9 3) ^'(p)==-^PV/A-~2A"e ^ A ",
C'est, aux notations pres, Pexpression de <|/(e) qui correspond au cas nouveau signal^ par M. Weingarten.
On peut done e*noncer le resultat que nous lui devons en disant qu'il nous a appris a connaitre toutes les surfaces applicables sur ce paraboloi'de particulier dont une ge*nratrice rectiligne est tangente au cercle de 1'infini, le point de contact de cette gene*ratrice et du cercle etant distinct du point de contact du paraboloi'de et du plan de rinfini.
Considerons maintenance paraboloi'de dont une generatrice est tangente au cercle de 1'infini, le point de contact de cette gnratrice e*tant aussi celui ou le paraboloide touche le plan de 1'infini. Liquation de la surface pourra tre ramenee a la forme
(94) af(y 4- it) = k(y ix).
Appliquant la m^me m^thode que pr^c^demment, on trouvera
C'est le cas qui a servi de point de d6part a toutes les nou-
velles recherches de M. Weingarten et qui a (Ste" signale plus haul (n 1075). M. Weingarten Tavait obtenu des 1887 (' ) et a semble bien que la methode que nous avons expos6e dans ce Chapitre, et qu'il a ensuite appliqu^e auxcas les plus g^neraux, a son point de depart et son origine dans celle qu'il avait d'abord employee pour cette forme plus particuliere de P6lment lin^aire.
1080. Dans les deux hypotheses que nous venons d'examiner, M. Weingarten, sans chercher si les elements lineaires pouvaient convenir a des surfaces du second degr, a reconnu qu'ils sont, Tun et Pautre, rdductibles a la forme de Liouville, ce qui perniet Integration des lignes g<5odesiques. Ge point paraitra maintenant evident au lecteur puisqu'il suffit, pour obtenir cette forme de 1'^lement lineaire, de rapporter une surface du second degre' a ses lignes de courbure. Mais il ne sera pas inutile d'effectuer cette transformation de 1'^ment lineaire et de retrouver effectivement les expressions donn^es parM. Weingarten. Nous nous contenterons seulement d'indiquer la marche du calcul, que r^tablira ais^nient tout lecteur un peu vers6 dans la connaissance de la Geometrie analytique.
Soit
liquation d'une surface du second degr^. D^signons par H le hessien
