DEUXIEME SOLUTION : LES FORMULES DE M. LELIEUVRE
Introduction directe des lignes asymptotiques. Reduction du probleme a Pintegration d'une equation aux derivees partielles a invariants egaux ; ce qui montre qu'on pourra obtenir une suite illimitee de surfaces dont on connaitra les lignes asymptotiques et pour lesquelles on saura resoudre le probleme de la deformation infiniment petite. Formules de M. Lelieuvre. Leur demonstration directe. Comment on peut en deduire, par une methode rapide, la solution du probleme de la deformation infiniment petite. Applications de ces formules. Proprie"te de la representation spherique des lignes asymptotiques qui montre que cctte representation spherique ne saurait etre choisie arbitrairement. Theoreme de M. Koenigs : les perspectives des lignes asymptotiques sur un plan quelconque determinent un reseau plan (necessairement conjugue comme tous les reseaux plans) a invariants ponctuels egaux. Interpretation geometrique de i'e*galite des invariants pour 1'^quation lineaire ponctuelle ou tangentielle relative a un re"seau conjugue trace sur une surface quelconque. Element lineaire d'une surface rapportee a ses lignes asymptotiques. Demonstration nouvelle du the'oreme d'Enneper relatif a la torsion des lignes asymptotiques. Application aux surfaces a courbure constante. Quand on sait resoudre le probleme de la deformation infiniment petite pour une telle surface, on sait le faire aussi pour toutes celles qui en derivent par la transformation de M. Bianchi. Formules analogues a celles de M. Lelieuvre quand les variables ont et choisies d'une maniere quelconque. La solution generate du probleme de la deformation infiniment petite ecrite avec des variables queiconques.
867. La seconde melhode que nous allons exposer, pour resoudre le probleme de la deformation infiniment petite, c'esta-dire pour trouver les fonctions les plus generales, x { , y { , z^ , qui verifient Fequation aux difFerentielles totales
( i ) dx dxi -+ dy dyi -4- dz dz = o,
repose sur Femploi presqueimm^diat du syst^me de coordonnees forme avec les deux families de lignes asymptotiques. Conservant les notations habituelles relatives a la surface donne"e (S) lieu du point (x 9 y, js), designons par/?, ^, ;-, 5, t les derivees premieres
ct secondes de s considered comme fonclion de x, y et remplacons dz par sa valeur p doc + q dy. L'equation (i) deviendra
i - i r-pdz l ')-*- dy(dyi->r<
On peut done poser
r { designant une inconnue auxiliaire. L'equation (i) est done remplacee par le groupe des Irois suivantes
H vient, en ecrivant la condition d'int^grabilit^, d
dz
Pour etudier 1'integration de ce systeme, nous choisirons !
comme variables independantes les paramelres des lignes asym- ! ptotiques de la surface (S). Comme ces lignes sonl definies par
1'equation differ en tielle i
dp dx -r- dq dy = o, \
\ on voit que, si Ton designe leurs parametres par a et [3, Tequation '
precedente devra contenir le seul terme en da rfj3 ; et 1'on aura, par
suite,
djz dx dq dy dp d^ dq dy
On peut done poser, en introduisant deux inconnues anxi- r
liaires \ et [x, i
dx dq dx dq I
OOL vOC vlj i?B
^ X ^ ^ ^2 * Mais, comme on a
et en developpant,
dp dx __dp dx ^ dq dy dq dy ___
U) d$ dz !h. dp^Jiji M~fa d$ ~"'
Remplacons, dans cette relation, les derivees de x et dey par leurs valeurs de"duites des equations (3); nous trouverons
Done, comme on a implicitement ecarte Thjpothese ou (S) serait developpable, il vient
et les formules (3) peuvent etre remplacees par les suivantes
I dx ~dq dx __ ^dq
qui jouent un r6le fondamental dans la theorie des lignes asymptotiques.
R6ciproquement, toutes les fois que les equations (5) seront verifies, il en sera de meme de la condition d'integrabilite (4), 1'expression p dx 4- q dy sera une difierentielle exacted; etla surface (S) lieu du point (#, y, z) admettra a et p pour parametres de ses lignes asymptotiques; car, en vertu des equations (5), on aura identiquement
Onverifierad'ailleurs aisement que, si /*, 5, t designent, comme nous Tavons suppose, les derivees secondes de s consider^e comme fonction de x, y, on a
52 rt' car les premieres Equations (5) peuvent s'ecrire
doc.
et donnent, par Pelimination du quotient des derivees ^? -j^, la re-
lation
868. Ces formules relatives aux lignes asymptotiques etant etablies, revenons au probleme propos et supposons qu'on ait pris pour variables independantes les parametres a et [3. On aura le systeme (5) et il restera a intgrer les deux Equations
dy r i-l
En crivantles conditions d'int^grabilitd, on obtient les deux conditions
dr^ dx dq dz dri due dq dzi
dri y dp o&\ ^ r i dy dp dzi __
qui sont a la fois necessaires et suffisantes et qui feront connaitre r { et z\ .
Si 1'on y remplace les derivees de x et de y par leurs valeurs tirees des equations (5), on a
dq (dz l ,
fa \ "^ ~~
dq(dz i
dri\ dp
ou, plus simplement,
dot, dot.
Ainsi, tout se ramene a Immigration generals de ce systeme, integration qui fera connaitre z { et r { ; aprs quoi x { ety { se deduiront des formules (2) par de simples quadratures. Telle est la marehe g^nerale et tres simple de la solution.
