Considerons d'une maniere generale le sysieme
/ da . dv
... \te=- l T*'
du , <?i?
ou u et ^ designent deux fonctions inconnues et ou \ est cette fonction de a et (3 qui figure dans les Equations (5) et (8). Ges differentes equations expriment purement et simplement que ce systeme (A) estverifie', si Ton y remplace u et 9 soit para: et q, soit par y et /?, soit enfin par z\ et i\ . On voit done que, des que Von connattra des fo?*mes de la fonction A permettant V integration complete du systeme (A), il en resultera pour nous la connaissance d'une infinite de surfaces (S) dont on pourra determiner les lignes asymptotiques et pour lesquelles on saura resoudre le probleme de la deformation infiniment petite. Ces surfaces (S) seront determinees en prenant pour y et p d* line part, pour x et q d'autj^e part, deuxsystemes quelconques de solutions. D'autre part, pour qu'on sache resoudre ce probleme pour une surface donnee (S), il faut pouvoir integrer le systeme (A) correspondant. Tout se ramene done en derniere analyse a 1'etude et a 1'integration de tels systemes.
Or nous les avons deja consider^s [II, p. 147] et nous avons deja signale les rapports etroits qu'ils presentent avec les equations a invariants egaux. En conservant la notation adoptee au n 390, nous savons que Pelimination de u nous conduiraaPequation
et celle de v a la suivante
ou $(*) d^signe le symbole i D'apr^s cela, si Ton pose
liquation
dolt admettre les solutions parliculi&res
#/^ et
que Ton obtient en remplagant, dans 1'equation (9), P par les dif- j
terentes valeurs qu'il peut recevoir. Les trois premieres solutions *
seront connues des que 1'on connaitra la surface (S). Designons- I les par 9 i? 9 2 , 9 3 , ou, plus exactement, posons
Comme r { est uoe fonction inconnue, nous poserons
co elant la solution g^nerale de Fequation (n). Remontant de proche en proche, les formules (5) nous donneront d'abord
et de meme
^-O,* 6 ' e ^ 02 daf A M* A M* ite" 81 ^"- 8 ^-' ^ == - 62 ^ +83 ^'
et de la on deduira dz par la formule
dz =. p doc ->r q dy,
de sorte que, tout calcul fait, on aura les coordonnees #, y, 5 par les formules
DEFORMATION INFINIMENT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. !l5
et la surface correspondante (Si) sera definie par les formules
6i, 9aj 9s ^tant trois solutions particulieres, et co la solution ge*ne~ rale, d'une equation de la forme suivante (*)
870. Un jeune geometre, M. Lelieuvre, a ^te conduit par ses recherches personnelles anx elegantes formules (B) qui definissent une surface rapportee a ses lignes asymptotiques ( 2 ). Voici comment on peut les d^montrer par une me'thode simple et directe.
Designons par c, c f , d r les cosinus directeurs de la normale a la surface (S). On aura
dx
et de la on deduit, en differentiant la premiere equation par rapport a [3, la seconde par rapport a a, et retranchant,
dc dx do
Comme Tequation differentielle des lignes asymptotiques est
V do dx = o, on obtient, en ^galant a zero les coefficients de <fa 2 ? rfp dans
(*) Dans la Note deji cit^e de 1870, M. Moutard n'a pas publi^ sa methode, mais il annonce que la difficulte du probleme se ramene a I'int^gration d'une Equation de la forme (D).
( 3 ) LELIEUVRE, Sur les lignes asymptotiques et leur representation spherique (Bulletin des Sciences mathe'matiques, 1888, p. 126).
cette equation, les deux relations I dc dx
Les equations (i3) et (ID) peuvent tre remplacees par les sui- \antes
dx , f t dc" ,dc'\ dx f r dc" ,dc'
dc dc ff
dz . / dc f , dc\ dz I dc' , dc\
T- = M c 3 -- c :r j ^QK ^"^ ^Q)^ dy. \ dx da/ dp [ \ dp dp/
ou A et JJL designent deux fonctions auxiliaires. Si Ton substitue les valeurs ainsi obtenues des deriv^es de x, y, z dans la condition d'integrabilite (i4) il vient
Le determinant n'etant pas nul (<), on doit faire IJL PortanL ceite valeur de [i dans les formules (16) et posant
(17) cvfi = e l5 c'v^ = o 8 , c'V^ = 3 , -
on obtient les formules definitives
Si Pon exprime enfin que dx, dy, dz sont des differentielles
( l ) Si le determinant e"tait nul, on aurait
la surface serait developpable . Or ce resultat est inconciliable avec Phypothese que les parametres aet p des lignes asymptotiques sont des variables distinctes.
exactes, on est conduit seulement a deux relations
qui nous montrent que 6 M 9 2 , 6 3 sont des solutions particulieres d'une Equation de la forme
et completent la demonstration des formules (B).
871. Si 1'on prend ces formules comme point de depart, la solution du probleme propose s'obtient d'une maniere nette etrapide. Reprenons en efiet Pequation a verifier
dx dxi -+ dy dyi H- ds dz = o,
et remplacons-y dx, dy, dz par leurs valeurs tirees des formules (B). En egalant a zero les coefficients de da 2 , dadfi, d$- : nous aurons les trois Equations
dtx,
d8 3 dx
dx dx dx
dx dx dx d&i dy\ ^i
"5cT dx dx Les deux premieres nous permettent de poser
dx'
*i Aft
da
A, B, A 7 , B ; etant des fonctions auxiliaires, et la troisieme conduit
2g LIVRE VIII. CHAPITRE II.
a la relation
On peut done poser, en changeant la notation,
B s= B' = CD.
Ecrivons maintenances conditions d'integTabilit< pour ^ { : nous aurons, par exemple,
ou ? en developpant et remplacant -r-rjg par sa valeur deduite de Inequation (19),
(^ .2k&)bi -r^Trf -t- A') + -J- ( A ~ ) = o. V^S da / <?a \dp / Op V da/
Comme Fequation doit subsister quand on y remplace $i par B 2 et 6 3 , il faut qu'elle ait lieu identiquement; ce qui donne
5p"~" ^ ' ou encore
Remplacant A, A', B, B' par leurs valeurs dans les formules (20), on retrouve bien les formules (G) de notre premiere solution.
872. Cette solution carte, nous 1'avons deja remarque ? le cas oii la surface (S) serait developpable ; mais, comme on sait rsoudre le probleme de la deformation finie pour toute surface developpable, on saura, par cela mime, r^soudre aussi celui de la deformation infiniment petite.
Pour le plan, par exemple, qu'on peut supposer repr^sent^ par Tequation
on aura
, a, b etant des constantes et z^ pourra etre choisi arbitraireient. Nous reviendrons plus loin sur ce cas particulier.
873. Revenons aux formulas (B) ou 9,, 9 2 , 9 3 sont lies aux coinus direcleurs c, c' : c u de la normale par les relations (17), d'ou on deduit immediatement
22) x = e}-t-ei + ej.
En substituant c, c', c 11 a 9 l5 9 2 , 9 3 on peut encore ecrire les quations (B) sous la forme
/ . / , do" dc'\ . . / . do" ,; dc' \ 7n
dx \ ( c' - -- c" ) <fa X ( c' -^- c"-7r ^3, i \ da da / \ <?? d ? /
I 7 *. f .. dc dc"\ , ~ / do dc"\ ,
}ui, d'ailleurs, se deduit immediatement des formules (16) ouTon j emplacera JJL par \. La comparaison des formules prece'dentes ivec celles que nous avons donnees d'apres Gauss au Livre VII, Hhapitre III III, p. 242 et suiv.], permet de faire une etude ipprofondie de la surface rapportee a ses lignes asjmptotiques. Si Ton pose
ON dc * ndcdc n /dc\*
Dn verra ais^ment que Ton a
- ov O /^\ 2 ^5
23) =Xe '
et Ton pourra appliquer toutes les formules du Livre VII, Chapitre III, en y remplacant u et 9 par a et p, puis faisant les substitutions suivanles
A designant le determinant
a la relation
On peut done poser, en changeant la notation, B= B' = to.
ficrivons maintenant les conditions d'integrabilite pour x\ , y {9 Zi : nous aurons, par exemple,
ou, en developpant et remplacant ^-~ par sa valeur de"duite de liquation (19),
Comme Peqaation doit subsister quand on y remplace 0, par 5 2 et 6 3 , il faut qu'elle ait lien identiquement; ce qui donne
ou encore
Remplacant A, A', B, B'par leurs valeurs dans les formules (20), on retrouve bien les formules (C) de notre premiere solution.
872. Cette solution e"carle, nous 1'avons de"ja remarqu^, le cas ou la surface (S) serait d<veloppable ; mais, comme on sait resoudre le probleme de la deformation finie pour toute surface d^veloppable, on saura, par cela m^me, r^soudre aussi celui de la deformation infmiment petite.
Pour le plan, par exemple, qu'on peut supposer represent^ par requation
on aura
= hy + a,
DEFORMATION INFINIMENT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. 2y
, a, b etant des constantes et z { pourra tre choisi arbitrairejent. Nous reviendrons plus loin sur ce cas particulier.
873. Revenons aux formules (B) ou 8j, 9 2 > 63 sont lies aux coinus directeurs c, c f , c ff de la normale par les relations (17), d'ou 'on deduit immediatement
En substituant c, c', c" a 8 I} 9 aj 83 on peut encore ecrire les jquations (B) sous la forme
, , , , , ,dc
jui, d'ailleurs, se deduit immddiatement des fovmules (16) oul'on [emplacera |Ji par X. La comparaison des formules precedentes a.vec celles que nous avons donnees d'apres Gauss au Livre ^ 7 II, Chapitre III III, p. 242 et suiv.], permet de faire une etude approfondie de la surface rapportee a ses lignes asymptotiques. Si Ton pose
on verra ais^ment que Ton a
/ox, CI /^\ 2 > (23) =Xe '
et Ton pourra appliqtier toutes les formules du Livre VII, Gliapitre III, en y remplacant u et 9 par a et (3, puis faisant les substitutions suivanles
A d^signant le determinant
3o LIVRE VHI. CHAPITRE II.
dont le carre a pour valeur
On trouvera, par exemple, que liquation different]' elle des lignes de courbure prend ici la forme
(26) eda*
et que 1'equation aux ravons de courbure principatix devienL
Et de lit resulte la signification geometrique de \ : on a
