X* = RR
R et R'designant les rayons de courbure principaux.
L'element lineaire rfc- de la representation sph^rique et celui ds de la surface sont determines par les deux formules
zfdxdfi,
dont la comparaison met en evidence le theoreme d'Enneper [II, p. 3gg]. Pour chacune des lignes asymptotiques, la torsion
~ a la meme valeur dgale a
874. Altachons-nous plus particulierement a la representation i
spherique. |
Nous etablirons d'abord une relation differentielle entre e, /, g \
qui montre que la representation spherique des lignes asym- !
ptotiques nepeut elre choisie arbitrairement. ficrivons en effet f
que 8 f , 9 2 , 9 3 ou c v/X, c'\/\ c' f yA sont des solutions particulieres | de Tequation (D), nous aurons des relations telles que la suivanle
ou, en developpant,
DEFORMATION 1NFINIMENT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. 3l
Multiplions cette Equation par c et ajou tons-la aux equations nenues en y remplacant c par c', c' 1 ', nous aurons une relation
LU fera connaitre k en fonction de \ et dont nous ne ferons pas sage pour le moment. Mais, si Ton multiplie liquation (3o) soil
sir -^ soit par-r|:> et qu'on Tajoute ensuite aux deux equations
jmblables obtenues en remplagant c par c 1 et c", il viendra les eux relations
de -d\ d\
'ou Ton tire
(MogX J d$ dz dlogX J dz "
' da ~~ eg / 2 ' d$ ~ eg-
II faut done que Ton ait
,de dff\ / .dff de
t il est evident que cette relation ( < ) n'est pas verifiee quand la reresentation spherique a ete choisie arbitrairement. Par exemple i/est nul, c'est-a-diresi les lignes asymptotiques sont supposees ectangulaires, elle prend la forme
t montre que le systeme orthogonal qui sert de representation pherique aux lignes asymptotiques doit 6tre isotherme. C'est une connue des surfaces minima [I, p. 3o3].
(*) Cette relation diff^rentielle a &6 donnSe pour la premiere foispar M. DOJI aas un Memoirs qui est intitul^ : Sopra alcune formole generali della teoria lelle superficie, e loro applicazioni (Annali di Matematica, s^rie II, t. IV ; .. i83) et a de"ja ete cite [III, p. 879].
87o. Reciproquement, lorsque la condition (34) est v^rifiee, les courbes spheriques de parametres a et (3 sont la representation spherique des lignes asymptotiques d'une serie de surfaces, toutes homotheliques a Tune quelconque d'entre elles. Pour le montrer, nous nous appuierons sur la remarque suivante.
Lorsqu'on connait tin element lineaire de la sphere de rayon i defini par la formule
dz* = e <**+ 2/da d$ -h g dp,
les coordonnees c, c\ c" du point de parametres a et [3 satisfont toujours a une equation lineaire de la forme suivante
car cette equation contient trois fonctions arbitraires A', A J , l r dont OQ pent disposer de telle maniere qu'elle admette trois solutions quelconques donnees a 1'avance, et, en particulier, c, C A , c". Cela pose, je dis qu'on peut toujours exprimer A', k 1 , 1' en fonctiou de Felement lineaire, c 7 est~a-dire de e,/, g et de leurs d^rivees. En effet, si nous operons comme nous 1'avons fait plus haul, si
nous multiplions Fequation (35) successivement par , ~, -^ et
si nous ajoutons chaque fois les Equations semblables obtenues en y remplacant ^ par c : c', d 1 ', il viendra les trois relations
i de (36)
qui etablissent le r^sultat annonce.
Or, si la condition (34) est verifi^e, i] existera une fonction \ verifiant les equations (33) ou les Equations equivalentes (82); par suite, les deux demises Equations (36) nous donneront
de sorte que liquation aui d<riv(Ses partielles (35) aura ses inva-
DEFORMATION 1NFINIMENT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. 33
ints egaux et pourra prendre la forme
Des lors, lesforrmiles(B ; ) seront integrates et nous donneront e surface admettant pour ses lignes asjmptotiques la represenjon spherique donnee. Comme \ n'est determine qu'a un facir constant pres, on pourra remplacer cetle surface par Tune elconque des surfaces homothetiques.
fl resulte de cette analyse que, dans le cas ou I'on a pris mme variables les parametres des Lignes asymptotiques, et ms ce cas settlement, L' equation aux derivees partielles de la rme (35) a laquelle satisfont les cosinus directeurs de la *rmale a ses invariants egaux.
M. Kcenigs a donne une forme plus geometrique encore a cet once ().
c, a', c' f , o sont les coordonnees homogenes du point ou la >rmale coupe le plan de Tinfmi. On pent done dire que let> aces sur Le plan de I 3 infini des surfaces reglees engendrees ir les normales a la surface en tous les points des differentes %nes asymptotiques forment iui reseau plan (necessairement njugue comme tous les rtseaux plans) a invariants egaux. Car 1'equation poncLuelle [I, p. 122] relative a ce reseau congue est precisement 1'equaLion (35). En transformant par poires reciproques, relativement a une sphere quelconque, et rearquant que les lignes asjmptoliques se conservent dans cette ans format! on, on voil que :
Les perspectives des lignes asymptotiques sur le plan de V inni forment un reseau a invariants egaux.
876. La definition des lignes asymptotiques etant projective, la ^oposition particuliere que nous venons d'etablir entraine imediatement la suivante, comme Pa remarque M. Koenigs :
( 1 ) G. KOSNIGS, Sur les reseaux plans a invariants egaux et les lignes 'ymptotiques ( Comptes rendus des seances de I'Academie des Sciences, CXIV, p. 55; 1892).
875. Re'ciproquement, lorsque la condition (34) est verifie'c, les courbes spheriques de parametres a et (3 soul la representation spherique des lignes asymptotiques d'une se'rie de surfaces, toutes homothetiques a Tune quelconque d'entre elles. Pour le montrer, nous nous appuierons sar la remarque suivante.
Lorsqu'on connait un Element line'aire de la sphere de rayon i defini par la formule
les coordonnees c, c', <f du point de parametres a et [3 satisfont toujours a une equation lineaire de la forme suivante
car cette equation contient trois fonctions arbitraircs A', X J , /' dont on peut disposer de telle maniere qu'elle admette trois solutions quelconques donnees a Tavance, et, en particular, c, c 1 ', c ir . Cela pose, je dis qu'on peut toujours exprimer A', //, L l on fonciiou del'element line'aire, c'est-a-dire de e,/, ^ et de leuvs dcrivees. En efiet, si nous operons comme nous 1'avons fait plus haul, si
nous multiplions Fequation (35) successivemcnt par ^, ^, ^ ct
si nous ajoutons chaque fois les Equations semblablcs oblcnues en y rempla^ant % pare, c', c" ', il viendra les trois relations
qui etablissent le r^sultat annonc^.
Or, si la condition (34) est v^rifi^e, i] existera unc fonction 1 verifianlles Equations (33) ou les Equations ^quivalentcs (3a); par suite, les deux dernieres equations (36) nous donneronl
de sorte que Equation aux derives partielles (35) aura ses inva-
DEFORMATION 1NPIN1MENT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. 33
riant s egaux et pourra prendre la forme
Des lors, les form ules(B') seront integrables et nous donneront nne surface admettant ponr ses lignes asymptotiques la representation spherique donnee. Comme X n'est determine qu'a un factenr constant pres, on pourra remplacer cetle surface par Tune quelconque des surfaces homothetiques.
[1 resulte de cette analyse que, dans le cas oil Con a pris comme variables les parametres des lignes asymptotiques, et dans ce cas settlement, 1'equation aux derwees partielles de la. forme (35) a laquelle satisfont les cosinus directeurs de la nor male a ses invariants egaux.
M. Koenigs a donne* une forme plus geometrique encore a cet enonce ( i ).
Cj d ', c v , o sont Jes coordonnees homogenes du point oil la normale coupe le plan de Tinfini. On pent done dire que les traces sur le plan de Vinjini des surfaces re glees engendrees par les normales a, la surface en tons les points des differente^ lignes asymptotiques forment un reseau plan (necessaire?nent conjugue comme tons les reseaux plans] a invariants egaux.
Car 1'equation poncLuelle [1, p. 122] relative a ce reseau conjugue est precise* menl 1'equation (35). En transformant par polaires reciproques, relativement a une sphere quelconque, et remarquant que les lignes asymptotiques se conservent dans cette transformation, on voit que :
Les perspectives des lignes asymptotiques sur le plan de V in- Jini forment un reseau a invariants egaux.
876. La definition des lignes asymptotiques etant projective, la proposition particuliere que nous venons d'etablir entraine immediatement la suivante, comme 1'a remarque M. Koenigs :
(*) G. KOSNIOS, Sur les reseaux plans d invariants egaux et les lignes asymptotiques ( Comptes rendus des seances de I'Acade'mie des Sciences, t. GXIV, p. 55; 1892).
y LIVRE VIII. CHAPITRE II.
Les perspectives ou les project Ions des lignes asymptotiques wan plan quelconque forment un reseau a invariants egaux,
Nous aliens verifier cette proposition en de"montranL que 1'equalion aux derivees partielles (22) [p. 18] a laqnelle conduit noire premiere solution a ses invariants egaux. Cette equation, a laqueUe satisfont les coordonnees x, y d'un point de la surface (S), est bien celle qui caracterise le reseau forme" par la projection des lignes asymptotiques de la surface (S) sur le plan des xy.
Or, si Ton se reporte aux expressions de x et dey donne'es par les formules (B), on reconnait immediatement que Ton a
62 daj ^ da \6| dp i dy
Par consequent, x et y seront des solutions particuliores de Teuation en 9'
Tequation en 9
dont les invariants sont egaux; car son ddveloppcmenl lui donne la forme
Cette equation n'est autre que celle qu'il s'agissail dc former au n866; et ainsi se trouve mis en evidence le lien cnire noire premiere et notre seconde solution.
877. La remarque que nous venons de faire nous amonc a compiler une proposition gebme'trique tres de*gante, signalee par M. Kcenigs et relative aux re"seaux plans conjugucs dont les invariants sont egaux. Nous allons mettre en evidence une proprio'te caracteristique des re"seaux conjugues traces sur une surface quelconque, et auxqaels correspond une Equation lindaire doni les deux invariants sont e'gaux.
Soit
DEFORMATION INFINIMENT PETITE. BEUXIEME SOLUTION. 35
liquation ponctuelle relative a un systeme conjugue", trace sur ne surface (S), c'est-a-dire 1'equation a laquelle satisfont les coordonne"es #, y, z d'un point quelconque M de cette surface, considere'es comme fonctions des variables u et 9. Les tangentes aux courbes de param6tre u engendrent une congruence qui admet (S) pour une des nappes de sa surface focale. Le point M< de Tautre nappe sera, comme on sait, defini par les formules
, , . i doc i dy i dz
(40) *, = -,--, y^y^-J-, ai=a ,+ __.
Si 1'on consid^re de me'me la congruence engendre'e par les tangentes aux courbes de parametre p, le second point focal M 2 de la tangente en M a la courbe qui passe en ce meme point sera, de meme, defini par les formules
i dx i dy i dz
de sorte que 1'on peut exprimer a et b par des formules telles que les suivantes
. . i dx i dx
v ' x^ xdv x. 2 % du
D'autre part, en different! ant la premiere equation (4o) et tenant compte de ce que x est solution particuliere de liquation (3g), on trouvera
d&i ___ h dx
h designant le premier invariant de Fequation (Sg). On a done, en eliminant a entre les equations (4 s ) et (43),
dx dxi
Comme il est permis d^crire des equations analogues en y et j on est conduit a Pexpression
d.ri dx dyi dy dz^ dz
du dv du dv du, dv (45) h
"(a? #i) 2 -H(r .Ti) 2 -K* *i) 2
qui est moins simple, mais devient independante du choix desaxes. On pent Finterpreter geometriquement. Mais, pour eviter toute difficulte quant aux signes, nous raisonnerons de la manitre suhante.
878. Lorsque u varie, le point M 4 decrit une courbe tangente a 31M| et dont le plan osculaLeur est, comme on sail, le plan tangent en M a la surface, c'est-a-dire le plan MM, M 2 . Soient, pour le point M,, A, A', A'; B, B', B"; C, C', C" les cosinus directeurs de la tangente a cette courbe, de sa normale principale et de la norraale au plan osculateur. Cette derniere normale ^tant paral lele a la normale a la surface, nous pourrons prendre, en conser- ^ant toutes les notations du Chapitre III, Livre VII [III, p. 242 et suiv.j,
On aura evidemment
(47) A = -!=*?, A^^,^ A'=JL2f.
V/G^ /G^ SG dv
De la on deduira B, B ; , B" par les formulas connues
qui nous donnent, par la substitution,
D^ignons par * ( 1'arc de la courbe decrite par le point M ( . Una, dapresl'equalion(43),
aux courbe.
!0 ] nous donnent
DEFORMATION INF1NIMENT PETITE. DEUXIEME SOLUTION. 87
etant le rajon de courbure de la courbe. On a done dA B k /7T
on, en rernplagant A et B par leurs valeurs (47)5 (48) et tenant sonipte de Tequation (3g),
JL /__ a b \ = Jl i/G
Egalant les coefficients de j- dans les deux membres, on trouve
a Gk
<* ;/cT
Or, si MMi designe en grandeur et en signe la distance MM,,
on a
En remplacant A et ^! x par leurs valeurs (47) et (4o)> on trouve
m = MMj, a
ce qui permet d'^crire 1'equation (5i) sous la forme enti^rement geom^trique
Pour la conrbe d^crite par le point M 2 , on trouverait de meme
TJ
de"signant le second invariant de Pequation (89).
Ces expressions des deux invariants nous permettent de resoudre la question propos^e. Pour qu'ils deviennent egaux, il faut que 1'on ait
que
