Soit d'abord l'équation du second ordre

Les intégrales du système (43) sei^ont icî

p'=a, (^ — wp'==:fj, M = y.

Par suite, l'intégrale générale de Féquation linéaire en M sera donnée par la formule

(50) U^ê{ç%\?'^uv'),

et la fonction /la plus générale définie par l'équation (4 1) aura ici pour expression

(*) Il résulte même des propositions de Jacobî que, dans ce cas, on pourra obtenir par une quadrature l'intégration complète de Féquation différentielle proposée. Mais la proposition énoncée dans le texte, et qui résulte immédiatement des remarques précédentes, suffît pour l'objet actuel de nos recherches.

L'équation (Sg) à laquelle /doit satisfaire devient

Si l'on y substitue la valeur précédente de /, on trouve, après quelques réductions, la condition

du ôi> "^ '

qui permet d'égaler X et (jl aux dérivées partielles d'une même fonction 9, On a ainsi la valeur définitive de J sous la forme

(52) /=- r (c^'-a).f(a,P-~wa)d^a-H~p'-+-^.

Jy â^ du

607. Arrivons maintenant à l'objet que nous avons en vue, et proposons-nous d'abord le problème de M. Bclti^ami : Trouver toutes les surfaces qui peuvent être représentées géodésiquement sur le plan.

Soient .r ol y les coordonnées rectilignes d'un point du plan. L'équation différentielle des droites sera

et cette équation subsisterait si Von faisait une transformation homographique quelconque.

Les variables .r ct;^ peuvent encore être considérées comme les coordonnées curvilignes du point de la surface cherchée qui correspond au point du plan. Soit alors

ds^ = E doG^-^ ^^ dsG dy '•\-' Ù dy^

l'expression de l'élément linéaire de la surface. D'après la question proposée, il faudra que l'intégrale

f^\i^%¥y->r(^y^dx

soit rendue minimum par les courbes intégrales de l'équation différentielle

et, par suite, que la fonction

^Gf^

satisfasse

à l'équation

Or on

â\f EG-

"^^'^ (EH-îilV

il faudra

donc que la fonction