E=UUU--V), G = VÎ(U~V

Ui désignant une nouvelle fonction de u et V< une nouvelle fonction de ^,

La question est maintenant résolue. Les éléments linéaii^es des deux surfaces sont donnés par les formules suivantes :

(30) ds^= (U-V)(Uî^w2 H-Vî<^p2),

ils ont l'un et l'autre la forme de Liouville.

Au reste, en appliquant la formule (a8) (n^ 883), on reconnaît aisément que les lignes géodésiques de l'une et l'autre surface sont représentées par l'équation

J i/U — a J Ja

N.dv

(») On néglige ici l'hypothèse V = U = const., qui conduirait à deux surfaces homothétiques.

REPRÉSENTATION GEODESIQUE DE DEUX SURFACES. 5ï

]etle équation ne change pas, en eflfet, quand on y remplace U, , V, Vo a, a par — g, —, — ^, —, ~, dsja^ ce qui reit à passer de (S) à (S<).

»02. Telle est la solution que l'on doit à M. Dini. Elle donne ï nouvelle et remarquable propriété des surfaces dont l'élément iaire est réductible à la forme de Liou ville, lais il importe d'observer, en outre, qu'à chacune de ces surîs on peut faire correspondi'e géodésiquement non pas une le surface, mais une infinité de telles surfaces. En effet, Fêléat linéaire de (S) peut aussi s'écrire

ds'^^ [77i(U H- A) - m(V + /0]|"~^ dv> H- ^ d9^ .

^a forme primitive est conservée. Mais U, V, U| , V, sont remués respectivement par 7W.(U + /i), mÇV + h)^ -~=, -— r- En ctuantce changement dans l'élément linéaire de (S^), on aura

'*!" ;n3 VV-h/i U 4- A/ VU -4- A Vh-A/'

ette expression varie avec les constantes h et m» On pourrait à igueur faire abstraction de m dont la variation remplacerait ijue surface par une surface homothétique; mais il n'en est î de même pour/i. A chaque nouvelle valeur de A correspondra Slément linéaire distinct.

33. M. Dini a montré comment on peut déduire de la solution ïédente les résultats obtenus en premier lieu par M. Beltrami. r ne pas étendre outre mesure cette exposition, nous nous .enterons de la remarque suivante.

onsidérons la transformation homographique la plus générale î le plan. Il résulte du théorème de M. Tissot que, dans cette sformation comme dans toutes les autres, il existera un système ogonal qui se transformera en un système orthogonal. Et, de , les résultats que nous venons d'établir permettent d'affirmer l'élément linéaire du plan rapporté à ce système sera néces-

5a LIVRE VI. — CHAPITRE III.

sairement de la forme

Or, d'après une proposition établie par M. Liouville (*) et que le lecteur retrouvera aisément en appliquant les méthodes du n^ 413, les seuls systèmes orthogonaux pour lesquels rélcment linéaire du plan prenne la forme précédente sont ceux qui sont formés de deux familles de coniques homofocales et de leurs variétés. De là résulte une propriété de la transformation homographique établie en premier Heu par M. Richclot (2) : Vans toute transformation de ce genre, il existe un système orthogonal, et un seul, qui demeuî^e orthogonal après la transformation, et ce système est formé de deux familles de coniques homofocales. Au reste, cette proposition peut être démontrée de la manière la plus simple par la Géométrie. Soient, en effet, (S) et {S^) deux figures homographiques dans deux plans différents. Soient A etB les points de (S) qui correspondent aux points à l'infini sur le cercle, l^ et J^, de (Si). Soient de m^me A< et B< les points de (S< ) qui correspondent aux points I et J de (S). Les coniques (K) de (S) qui ont les points A et B pour foyers sont inscrites dans le quadrilatère dont les sommets opposés sont A, B et I, J. Elles auront donc pour homologues dans (S<) des coniques inscrites dans le quadrilatère dont les sommets opposés sont I< , J^ et A< , B| , c'està-dire les coniques (K^) dont les foyers sont A< et B<. D'ailleurs, d'après le théorème de M. Tissot, les deux familles de courbes que nous venons de définir dans chaque figure sont les seules qui con-. servent leur orthogonalité après la transformation.

Ce raisonnement s'étend de lui-môme à la transformation homographique dans l'.espace. Considérons, en effet, dans l'espace deux figures homographiques, et soient A et B les deux coniques qui correspondent au cercle G de Tinfinî, considéré successivement comme appartenant à chacune des figures. Il est évident que la développable (A, C) circonscrite à A et à G correspondra à la dé-

(») LiouviLLB (J,), Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer (Journal de Liouçillet t. XI, p. 36o; 18^6).

.(») RicHELOT, Ueber die einfachste Corrélation in zwei râumlichen Cfebieten {Journal de Crelle^ t. LXX, p. 187; x868).

REPRÉSENTATION GÉODÉSIQUE DE DEVt SURFACES. 53

eloppable (C, B), circonscrite à C et à B. Par suite, au système es surfaces du second degré ayant A pour focale correspondra le ystème des surfaces de même ordre ayant B pour focale. Il est du este facile de prouver que le système triple orthogonal ainsi orme est le seul qui demeure orthogonal après la transformation, în effet, si l'on se propose de déterminer trois directions passant ►ar un point et telles que les trois directions correspondantes soient ectangulaires, cela revient à trouver un trièdre conjugué à deux ônes de même sommet, et le problème n'a qu'une solution (^ ).

604. Les méthodes que nous avons suivies et qui sont celles de iIM. Beltrami et Dini présentent en elles-mêmes un grand intérêt. yest ce qui nous a déterminé à les reproduire. Mais on peut raiter aussi les questions précédentes en se plaçant à un point de nue plus général, qui permet une étude plus approfondie et plus ïomplète des résultats que nous avons trouvés. C'est ce que nous Jlons montrer rapidement.

On sait que tous les problèmes du calcul des variations dans esquels il s'agit de trouver le maximum ou le minimum d'une inégrale simple

35) Jf(u,ç,v')dic

ionduisentà une équation dijfférentielle du second ordre à laquelle loit satisfaire la fonction v et qui est

Oi> du \dv' J "" )u, en développant,

Réciproquement, donnons-nous a priori une équatioa dîfférenielle quelconque du second ordre

38) /==cp(2^, P, p'),

(*) Darboux (G.)j Note sur un Mémoire de M, Dini {Bulletin des Sciences mathématiques j t. T, p. 383; 1870).

et proposons-nous de rechercher si elle donne la solution d'un prohlème de calcul des variations, c'est-à-dire s'il existe des intégrales de la forme (35) pour lesquelles l'équation difFércntielle (87) soit identique à l'équation donnée (38). Pour qu'il en soit ainsi, il sera nécessaire et suffisant que la valeur de v" tirée de l'équation (38) et portée dans l'équation (87) donne naissance à une relation qui soit vérifiée pour toutes les valeurs de u^ ç>, r'. On trouve ainsi la condition

(39) m'^^ôÂ/'-^oT^c'^T.^'''^

qui est une équation aux dérivées partielles du second ordi^e à laquelle doit satisfaire la fonction f(u^ 9^ ç') des trois variables u^ ç, p'. Comme cette équation admet toujours des solutions, on peut énoncer le résultat suivant :

Étant donnée une équation différentielle quelconque du second ordre, elle peut être assimilée d^une injinité de ma-nières différentes aux équations du même ardre qui sa pré-^ sentent dans la rechcT^che du maximum ou du minimum dUme intégrale simple de la forme (35). Jùi d* au très termes, il existe une inanité de fonctions /{u^ r, p') tellrs que leur intégrale, prise entre deux points quelconques de Vune des courbes intégrales de Véquation considérée, soit maximum ou mini-mum.

605. La détermination de la fonction / dépend de rintégration de l'équation aux dérivées partielles (89). Cotte intégration est beaucoup facilitée par les remarques suivantes.

Diflférentions l'équation (Sg) par rapport à /; nous aurons

et cette équation nouvelle, qui est du troisième ordre, se réduit au premier si l'on prend comme inconnue auxiliaire la quantité

On obtient ainsi pour M l'équation linéaire

Cette équation définit ce que Jacobi, généralisant une théorie d'Euler, a appelé le multiplicateur du système d'équations différentielles ordinaires ( ^ )

du dv ^ di>^

Nous aurions pu d'ailleurs déduire notre théorie des résultats que nous devons sur ce sujet k l'illustre géomètre; mais il nous a semblé préférable de développer tous les raisonnements sans rien emprunter à la théorie du multiplicateur.

Pour obtenir l'intégrale générale de l'équation linéaire (4^^), il faudra intégrer le système d'équations différentielles ordinaires

du r/p di>' —dM Si nous prenons d'abord les équations

(44) CA> =r: ç' du, di>' = o dtlj

obtenues en égalant les trois premiers rapports, elles ne contiennent pas M et, par suite, peuvent être intégrées séparément. D'ailleurs l'élimination de v' conduit à l'équation

du^

qui n'est autre que la proposée. Donc les Intégrales du système (44) sont les deux intégrales premières

de l'équation proposée.

Supposons qu'on ait obtenu ces intégrales. En égalant le pre-

(') Vorlesungen Uber Dynamikf Dixième Leçon.

56 LIVBE VI. — CHAPITRE lU.

mier et le dernier des rapports (43), on aura

^ ^ du = o.

On peut, en tirant ç, p' des équations (43), exprimer ~£ en fonction de u. L'équation précédente prend alors la forme

Une quadrature nous donnera une relation telle que

Mcr^w, a, p) = Y,

Y désignant une nouvelle constante. Si Ton remplace a et ^ par leurs valeurs (45), on aura la troisième intégrale du système (43) sous la forme

Par suite, la solution M la plus générale de ré({uatîon (4vi) wsera déterminée par la formule

(47) M^,iu,P,u'):=^^{^,^,),

où ^désigne une fonction entièrement arbilraire» Il rt'sulte de là que le quotient de deux valeurs particulières de M sera nécessairement une intégrale première de V équation proposée.

La valeur de M une fois obtenue, on déterminera celle de /au moyen de l'équation

qui s'intègre par une double quadrature. Désignons par/o une solution particulière quelconque de cette équation : la solution la plus générale sera

f — fii-\- \(U, V)i>' -^ IJI,{U, v),

1 elik désignant deux fonctions arbitraires de // et de ç>. Mais, il importe de le remarquer, cette valeur de /, qui satisfait à l'équation (4o) dont elle est la solution la plus générale, ne vérifiera pas nécessairement la véritable équation du problème, c'est-à-dire l'équation (Sg). On peut affirmer seulement que la valeur précé-

REPRÉSENTATION GÉODÉSIQUE DE DEUX SURFACES. 5y

dente de /, substituée dans l'équation (Sg), rendra son premier membre égal à une fonction de ii et de p, puisque la dérivée de ce premier membre par rapport à ^' est nulle en vertu de l'équation (4o).

Effectuons cette substitution; en désignant par Po la fonction de II et de ç> qui résulte de la substitution de /o? nous trouverons

l'équation

T. <)X dix

Ou 0^

Telle est l'unique relation que dcvrontvérîGcr les fonctions)^, jjl. Soit Xq, [jlo un système de valeurs de X, ]x satisfaisant à cette équation, système que Ton pourra obtenir, par exemple, en se donnant arbitrairement \ et déterminant ]Xq par une quadi^aturc. Les valeurs les plus générales de X, [x seront données par les formules

9 désignant une fonction quelconque de n et de p. On aura donc l'expression suivante

(48) /==/,4-XoP'-i-ixo-f« -t^'-h^^»

pour la solution la plus générale de l'équation (39). La présence de la différentielle exacte

(W Ou.

s'explique sans diflicuUé. On sait, o,n effet, ([uc cette différentielle n'a aucun rôle a jouer et que l'on obtient la même équation différentielle du second ordre en cherchant le minimum ou le maximum de l'une ou l'autre des intégrales

En résumé, on peut énoncer les résultats suivants :

Toutes les fois que Von pourra intégrer une équation différentielle du second ordre, on saura déterminer par de

58 LIVRE VI. — GHAPITBE ïtl.

simples quadratures toutes les intégrales

Jf{u,i>,^')

du,

telles que le problème de calcul des variations qui leur correspond conduise à l'équation différentielle proposée. Si l'on a obtenu par un procédé quelconque deux fonctions

/,/4 correspondantes à une même équation différentielle, j~^,

^^ seront des solutions de l'équation linéaire en M {/v>.)] et, par suite, le quotient

sera une intégrale première de V équation différentielle proposée (*).

Nous allons maintenant indiquer quelques applications.