EG-F

<E> désignant la fonction la plus générale, entière et du second degré par rapport aux variables y, y — xy ( ^ ).

Ordonnons la fonction $ par rapport aux puissances de y, et soit

(56) ci>==:AH-i%B/-|.G7'2,

A, B, G étant des fonctions de x et de /. L'équation (55) nous donnera

(EG — F2)i (EG-^F2)8 <;KG — F«;«

(0 En effet, en prenant les dérivées troisièmes des doux membres par rapport à y', on a

et comme les trois variables y\ y — scy' et ^i? sont indépendantes, celle équation ne peut avoir lieu que si toutes les dérivées troisièmes de <ï> sont nulles, ce qui entraîne le résultat donné dans le texte.

REPRÉSENTATION GEODESIQUB DE DEUX SURFACES. 6l

t de là on déduit

(EG^F2f3 = AG~BS F- ^ p B ^ G

Par suite la valeur de/ sera

^7; /- AG — Bîi '

t Ton pourra vérifier que cette valeur satisfait effectivement à équation du problème, qui est l'équation (5ï) où Ton remplaceait u et p par x et y.

Posons

F sera une fonction homogène et du second degré des trois valables dont elle dépend, et Ton aura, pour l'élément linéaire de i surface clxeVchéc, l'expression

W( dx, dy, y dr — x dy)

On peut interpréter comme il suit les résultats obtenus. Les lignes de longueur nulle de la surface sont définies par équation différentielle

ui est une équation de Glaii^aut et qu'on intégrera en supposant ■^constante* Dans le plan, y et jk — ^y peuvent être considérées omme les coordonnées d'une droite dont le coefficient angulaire eraity. L'équation précédente définit donc, en coordonnées tanentielles, une conique quelconque et le dénominateur AC — B^ gale à zéro donnera l'équation en coordonnées ponctuelles de la lême conique. Il suit de là que les lignes de longueur nulle de la urface correspondent, dans le plan, auK droites qui sont tangentes

cette conique.

Nous avons déjà rappelé que l'équation (53) se conserve lorsu'on effectue une transformation homographique. En s'appuyant

sur cette remarquable propriété, on peut classer très simplcmeut les résultats obtenus :

lO Si la fonction <ï> se décompose en deux facteurs, la conique se réduit à deux points, nécessairement distincts puisque l'élément linéaire ne peut être un carré parfait. Amenons, par une homographie, ces deux points à coïncider avec les deux points à l'infini sur le cercle. On aura alors ;59) <ï> = i-H/s

et la forme correspondante de l'élément linéaire sera ;6o) ds^—dx^-^dy^.

La surface obtenue sera plane ou développable.

2^ Si la fonction <ï> est indécomposable, on peut toujours la ramener par une transformation homographiquc, et môme d'une Infinité de manières, à la forme ;6i) 4> = âj2(i 4-/2) ± (jK — xy'Y,

ze qui revient à supposer que la conique est un cercle, réel ou maginaire, concentrique à l'origine. On ti^ouve alors

.. . ., aHdx^'^df^)±(xdy^ y dx )s

Ces formes de l'élément linéaire sont identiques, aux notations Drès, à celles que nous avons déjà obtenues plus haut, au n^ 599. N^ous reviendrons d'ailleurs sur ce sujet lorsque nous nous occu- Derons de la Géométrie non euclidienne et des surfaces i\ courbure constante.

608. Considérons maintenant le problème de M. Dinî et pro- 30sons-nous, d'une manière générale, de trouver deux surfaces jui puissent être représentées géodcsiquemcnt l'une sur l'autre. Soient

ds^ ^'E.du^ -^ 'l'F dad^ H- G c^p», ds\ = El du^ '^7,¥idudç'^ d d\f^

es éléments linéaires de ces deux surfaces. Si l'on pose / = /E-h2Fp'H-Gp^

on peut dire que la même équation diflférentielle définit les courbes pour lesquelles l'une ou l'autre des deux intégrales

jfdic, Jfida

est minimum. Par conséquent, d'après la proposition établie plus haut, celte équation difféi^entielle, qui est celle des lignes géodésiques de la première surface, devra admettre Tintégrale première

ôç^^i • m - ''^"'^•

En faisant le calcul, on trouve

EiGi^FÎ V E-+-îiFp'H-G(^"'i ) -^^^^su, ou, en élevant les deux membres à la puissance ^> / EG-^ pa y EiH-'^PiO^-^GiP^a

On peut mettre celte équation sous la forme

(^^3) (i7a;:i ft) \' 'S'^ "^ ^ ' ^^^ "^ ' dS^J ^ ''"''"

qui donne immédialemonl le x^ésultat suivant :

Si une siu^face peut être représentée géodésiqiiement sur une autre surface, V équation différentielle de ses lignes géodésiques doit admettre une intégrale première homogène et

du second degré par rapport à ^^ , ^ *

609. Nous sommes ainsi ramené à un problème que nous avons traité dans le Chapitre précédent; et il n'est pas difficile de reconnaître que la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante.

En effet, elle ne peut être remplie, nous l'avons vu, que dans les deux cas suivants :

i*^ L'élément linéaire est réductible à la forme de Liouville

(64) ds^:^{\}'-y){\}\du^^V\dp^y

Alors l'équation des lignes géodésiques est

JJl du^ Vf dv'i U^a a - V

et, en résolvant par rapport à la constante a, on a Tintograle première du second degré

qui est bien de la forme (63). En identifiant les premiers membres des deux équations, on obtient les relations

[(iL=^gHiVi]^E.=(U-V)UÎV.

[(£z:^^]'g. = (U-V)V|U; d'oii l'on déduit

La seconde surface aura donc pour élément linéaire

/AAx ^5 /^ i\rVlfJu^ \\dvn

ce qui s'accorde bien avec les résultats obtenus au n** 60L L'élément linéaire avec deux constantes, donné par la formule (34), correspond à la forme plus générale

;n(a + ;0 = m(U-.V)ruî(VH^/0j|-4-VÎ(U^/0

que l'on peut donner à l'intégrale du second degré (65).

2° 11 y a encore une intégrale du second degré quand l'élément linéaire est de la forme

(67) û?52 = 4(^r-i.YO^a?^/,

donnée au n° S94. L'équation des lignes géodésiques admet alors l'intégrale première

On peut l'écrire sous la forme

qui est bien du second degrc par rapport aux dérivées ^j ^'•

En appliquant la même motliodo que dans le cas précédenl, on obtiendra rélémcnt linéaire ds^ de la surface correspondante par la formule

(68) ds\ ^ 'M xY - Vi ) ^jL „. V. ^ tj ^f^.

Ce cas exceptionnel u été signalé, nous l'avons déjà dit, par M. Lie. Il échappe à la méthode de M. Dini, parce que la correspondance établie entre les deux surfaces est telle que le théorème de M. Tissot cesse d'être applicable. Nous rencontrons ici, en effet, le cas d'exception que nous avons signalé, où une des deux familles de lignes de longueur nulle de la première surface admet pour homologue une famille de lignes de longueur nulle de la seconde, La correspondance étant imaginaire, nous nous contenterons des indications précédentes.