CHAPITRE IV

INTÉGTIVLKS HOMOGÈNES DE DK(;iU': SllïMUUKlU KT INTÉGR Vj.ES l/uiNE FORME DÎlTEKNÏlNÉE.

Division des intégrales en classes d'après le nombre de leurs f,iclcurs linéaires distincts. — Équations aux dérivées partielles pur lt»sqnellcs on exprime qu'il y a une intégrale d'une forme déterminée. — Application au <'as où IVlémenl linéaire est exprimé au moyen des coordonnées s>inétri(iue.s. — Équations générales. — Première application; intégrale fraetionnaire dont les deuK termes sont linéaires par rapport h p Qlk q\ la valeur correspondante <Ie X est l'intégrale générale de l'équation E (-» f j; les solutions liomo{;;ènes <le cette équation fournissent l'élément linéaire de cerlaines surfaees spirales (|uc Ton peut déterminer par des quadratures. — Intégrale à deux faeteurs dÎNlinels; première méthode. — Un cas particulier de l'intépîrale i'i trois facteurs. - ïntéf^ralc à deux facteurs distincts; réduction du prol>Ièm(i ù l'intégration d'une équation linéaire qui admet un nombre illinâté de st)lutious hou)o};ènes.

610. Après avoir fait une éludo approTondio thi eus où lo problème des lignes géodésiqucs admet d<^s înt,<'^ralos dti premier el du second degré, nous allons indiquer les résultats obtenus par Bour et les géomètres qui Pont suivi en ce (jui concerne les intégrales de degré supérieur. Dans le Mémoire que notis avons cité plus haut, Bour avait considéiYî les intégrales entières el les avait classées d'après letir degré. M. Bonnet, dans <h*s reeluireluis restées inédites, a considéré, le premier, des intégTaI(»s fraclîonnaires (*).

(») L'éminent géomètre a exposé ces reeherehes dans uu Cours fait â la Sorbonne vers 1878. Considérant, en premier lieu, le cas où il «existe une intégrale fractionnaire dont les deux termes sont du premier ik^^H par rapport ^t /; et A 7» il a montré que, dans ce cas, on peut déterminer la valeur la plus f;éncrale de X (l'élément linéaire étant défiai par la formule <is^ r::^ /^\ (Lr dy ) et qu'il existe même certaines valeurs particulières de X pour ïesquelh^s on ]>eut <»htenîr des surfaces admettant cet élément linéaire. Nous démontrerons plus loin <h*s résultats par une méthode nouvelle, M. 0. Bonnet a dit aussi qn(^ltiut;s mots du c«» ofi il existe une intépfralc du troisième dcf^ré adrruHtunt un facteur double.

Enfin, dans une série de Communications insérées en 1877 ^^ tome LXXXV des Comptes rendus^ M. Maurice Lévy a mis en évidence ce fait intéressant qu'au lieu de classer les intégrales homogènes o{p^ </, u^ ç) d'après leur degré par rapport à/? et à r/, il vaut mieux les classer d'après le nombre des facteurs linéaires distincts dans lesquels on peut les décomposer; c'esl-ù-dire que, si l'on pose

il conviendra de réunir dans une même recherche toutes les intégrales pour lesquelles le nombre n des facteurs est le même, les exposants constants a/ pouvant d'ailleurs changer quand on passe d'une des intégrales à une autre de la même classe. Comme il est permis de donner à ces exposants des valeurs négatives, la recherche ainsi entendue comprendra les intégrales fractionnaires aussi bien que les intégrales entières; et, de plus, si les intégrales sont entières, leur degré pourra ])rendre des valeurs quelconques sans que le nombre de leurs facteurs linéaires distincts soit changé.

6H. Nous commencerons en indiquant une forme remarquable que Ton peut donner aux intégrales cherchées. Nous avons vu (n** 590) qu'elles doivent vérifier identiquement l'équation

Or si l'on pose, pour abréger,

,:» ,=on

et un calcul facile permet de mettre Tequalion de condition sous la forme

Tous les termes du second membre contiennent en évidence le

facteur zf^ excepté le suivant \

i\m paraît contenir le facteur :;/ seulement à la ])uissanc<ï a/ — i, II faudra donc, pour que réquation soit voriQéc, que rexprcssion (A, :r/), qui est du second degré par rapport 'a p et à ry, soit divisible par le l'acteur zi et, par suite, que Ton ait

(A, ^/) = 0, lorsque p et (j satisferont à Téquatiou

Cette condition s'interprète aisément : elle indi((uc que Tou f

peut trouver une tonclion 0/, solution commune des deux (upiations !

Af) =2 consl., - ™ cr/ -r~.

Ou (A'

En mu[ti[)lianl cctlc fonction par un facteur constant convenable, on peut toujours supposer qu'elle est soluiion de l'une des

cfjuatio us

AO = i ou AO =: o, ;

cl, si Ton désigne ses dérivées par pi et y^, on aura

Rcmplueanl m par cette valeur dans l'expression de 'jj, ou reconnaît qu'on peut donner auK intégrales cbcrcbées la furnu; suivante

1 5 ) '^ -rz /'( m (^ ) J^ ( pqi — qpiï^^,

OÙ pi^ (fi désignent les dérivées d'une fonction Û/, solution particulière de l'une des équations

(6} A()/ = i ou Af)/;r=o.

Cette expression, que nous adopterons dans la suite, s!nq)ll(ie beaucoup les calculs. Il résulte de la formule {\) que, dans tou^

les cas, l'c'cfuatioii de condition

se ramène alors à une équation homogène et du premier degré par rapport à/> et à q. En égalant à zéro les coefficients de p et de q^ OQ aura donc seulement deux équations de condition. Si l'on ajoute à ces deux équations les n relations (6), on aura exprimé loutes les conditions du pi-oblème et écrit toutes les conditions qui doivent être vérifiées par les fonctions/, 8/ et les coefficients K, F, G de Télément linéaire.

612. Pour développer les calculs, supposons que Ton ait choisi des coordonnées symétriques. L'élément linéaire aura pour expression

( 8 ) ch^- = 4 X dx dy ;

r<'quation à intégrer deviendra

(()) pq=''^i

et cp prendra la forme suivante

(10) 9 =/(.r, y)p''q^{pq\ - ^IPiY'^ ' ' • iP'J/c - qp/.')"''- Les équations (6) deviendront ici

(11) piqi =pzqii — ...^PA'qk- >^- L'équation (7) deviendra, de môme,

/-; L'^^ ^^Z''''pgi-rjpA ^ q[ Oy ^ Z'''' pqi-- qpf \ ''^[p''^2dpqi-^qpi\ i)x Iq ^pqi-qPil ^f

liflcctuons les réductions en tenant compte des équations (11) vi (le leiu^s dérivées; nous trouverons

En égalant à zéro les coefficients de p et de q, on est conduit

^f» LIVRE Vr. - CHAPITRE IV.

aux: deux, équations

r)lo<?./'^^ ùloç^A

ox ' ox

que l'on peut intégrer immédiatement et remplacer par les suivuntes

où X et Y désignent des fonctions arbitraires dépendant respectivement de X et de y; et il ne reste plus qu'à trouver les solutions les plus générales du système des équations (ii) et (12). On a ainsi A' -4- 2 équations contenant /r-|-2 fonctions inconnues : /, ). et les A' fonctions 8/.

Posons

[ s = /m -^ , . .-T- m/c -^ OL — j3,

{ s = «Il -4-. . . -T- 711/, -h^^ — a.

Nous allons montrer que l'on peut, en choisissant convenablement les coordonnées symétriques, réduire à l'unité la fonction X si la somme 5 n'est pas nulle, et la fonction Y s'il en est de même de la somme s'.

Supposons, en effet, que l'on change la coordonnée x et qu'on la remplace par une fonction de x

(ï4) ri = cp(:r).

Il faudra remplacer a par "k'f^x), p par />cp'(jc), pi ç^lt pio'{x), et, par suite, /par/[îp'(^)]-'f-?, afin que l'expression de cp définie par la formule (lo) ne soit pas changée. La première des équations (la) ne sera pas altérée, mais la seconde sera remplacée par une équation toute semblable où figurerait dans le second membre, à la place de X, la nouvelle fonction

Toutes les fois que s ne sera pas nul, il est clair que Ton pourra crtoïsir pour Xi une fonction de x telle que la nouvelle valeur X^

je X se réduise à runité. On démontrera de même que, si s' n'est pas nul, on peut réduire Y à Tunité.

Si la somme s est nulle, la fonction X demeure toujours la uême; mais le changement de variable permet, si elle n'est pas constante, de la réduire à telle forme que l'on voudra, par exemple

i ^ ou à -• Nous aurons à faire usage de cette remarque au nu~

néro suivant.

Nous ne poursuivrons pas davantage Tétude de la méthode générale, et nous nous attacherons de préférence aux exemples Darticuliers suivants, dans lesquels on peut achever les intégrations.