Supposons d'abord que l'on prenne
l6) A- = '1, se = 3 = O, 77li — — /?i2 = I .
3n aura
L'intégrale o est fractionnaire et linéaire. C'est le cas considéré )ar M. O, Bonnet. Les équations (12) deviennent alors
îlles donnent, par suite,
À =/)iry,,
Si les fonctions X et Y se réduisent Tune et l'autre à des coulantes, on reconnaîtra aisément que la surface est développable. £cartons ce cas exceptionnel; il n'y aura à examiner que les deux lypothèses suivantes :
i" Une seule des fonctions, X par exemple, se réduit à une ionstante, l'autre dépendant réellement de j'. Ce fait exceptionnel le peut se présenter que pour des surfaces imaginaires. Un calcul jue nous omettons conduit aux surfaces, déjà considérées au
n'' 59 i, dont rélément linéaire est réductible à la forme
L'intégrale linéaire et fractionnaire correspondante à cette forme n'est autre que Tintégrale (22) du n*' 594 dont le premier membre
serait divisé par 4^- On trouve ainsi
ou, plus généralement,
__ \p — lYq ^ m' q ^ ~~ \p ^ %Y q -r- mq
m^ m' désignant des constantes quelconques.
'i'' Si X et Y sont de véritables fonctions, et non plus des constantes, on pourra toujours, en choisissant convenablement les coordonnées symétriques, les réduire aux formes suivantes
On aura alors
L'élimination de So nous conduira à Téquation
dont le développement donne
^22) ^i(jr^jK)— -jDi-h i^i =0.
Nous retrouvons l'équation e(^» ^) dont nous avons déjà donné l'intégrale au Chapitre III du Livre IV [II, p. 69].
Si l'on substitue les valeurs de /, p. et q^ dans l'intégrale (17), elle devient
* pqi^ — qpiy^
Si Ton tire/? et q des équations
011 G désigne une constante, on aura
Si donc on pose
Téquation des géodésiques sera
Tout se ramène, on le voit, à l'intégration de Féquation (22)-
614. L'intégrale générale de cette équation est de forme très compliquée; mais nous avons indiqué les moj^ens d'obtenir un nombre illimité d'intégrales particulières très simples.
Par exemple, les intégrales homogènes de tous les degrés, définies au n*^ 347 [II, p. 07], peuvent être utilisées et conduisent à des éléments linéaires pour lesquels X est une fonction homogène de X et de y. Ces intégrales homogènes offrent de l'intérêt parce qu'on peut alors déterminer non seulement l'élément linéaire, mais aussi certaines surfaces qui admettent cet élément linéaire.
Cela résulte du théorème suivant :
Toutes les fois que, dans Vêlement linéaire défini par la
formule
ds^- == E du^--i-i¥ du dv -^ G dv'^,
E, F, G sont des fonctions homogènes du même degré m^ cet élément linéaire conçient à une infinité de surfaces que Von pourra déterminer par des quadratures. Ce sont des surfaces spirales [I, p. 107] ^^ m est différent de — 2^ et des hélicoïdes ou des surfaces de résolution si m=: — 2.
Si l'on fait, en effet, la substitution (23) w = e-', f=^"'>
^^ LIVRE VI. — CHVPITRE t V.
rélément linéaire prend la forme
^ .>4 ) ds^'= ^'/^i+2^^''[A du-'\-iB du' di>'-\- G <r//2],
ou A, B, C sont des fonctions de u\ et qui conduira aisément au théorème précédent si on la rapproche des résultats donnés au Livre T, Chapitre IX [I, p. 109].
6I0. Envisageons maintenant le cas plus général caractérisé par les hypothèses suivantes
[l'y) a = 3 = 7?ia = mv — . . . = o,
m^ et m^ étant quelconques. En élevant l'intégrale à une puissance convenable, on ramènera m, à l'unité. Nous poserons, pour la commodité des calculs,
Les sommes s et s' ^ définies par les formules (i3), ne seront pas nulles ici et l'on pourra, par suite, réduire X et Y à l'unité. Les deux équations (12) nous donneront alors
On tire de là en multipliant et, par suite,
ou, en remplaçant A par sa valeur /^o ^2,
("^v ) Pi=^pt"'qt^ 'h ^Pl'q'f' ;
et il suffira d'écrire que l'expression
p\-'''q'!^dT +-pl'q\''^'dy
est une différentielle exacte pour obtenir l'équation aux dérivées partielles
"Mg)'~"'-(g)--^'[(g)--(fi)-]..=..
à laquelle devra satisfaire 63. Une transformation bien connue de Legendre ramènerait cette équation à la forme linéaire; mais nous
IXTEGRALES HOxnOGENES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. y5
allqns revenir plus loin, par une autre méthode, sur le cas des deuK facteurs distincts. Remarquons seulement que, pour ;/? = i , on trouve Téquation
qui correspond au\ intégrales du second degré.
616. Voici encore une autre hypothèse dans laquelle on peut obtenir la détermination effective de la valeur de A. Supposons que le nombre A' des fonctions 9^ se réduise à Tunité, mais que le.s exposants a et ^3 ne soient pas nuls. On pourra, en élevant ç à une puissance convenable et en la multipliant par une puissance de
4^, ramener les valeurs de a, p, m, à satisfaire aux conditions
On aura ici
et, par conséquent, si la valeur absolue de a n'est pas égale à- ('),
on pourra remplacer par l'unité les deux fonctions X, Y qui figurent dans les deux équations (12). On aura ainsi
(3o) A^Pi=^^ fl-'^cj, = i,
ce qui donne
et, par suite,
En exprimant que p\ et ^, sont les dérivées d'une même fonction, on obtient pour \ Téquation linéaire
(*) L'hypothèse a = i!z - ne pourrait conduire qu'à des surfaces imaginaires.
dont rinlégrale générale est donnée parla formule
(35) n-h 'i7.)V-^y-^(i — i'xyk~^x— o(X).
Telle est la relation qui fera connaître A. L'élément linéaire correspondant pourra convenir à des surfaces réelles si a est purement imaginaire et si oÇh) désigne une fonction réelle.
617. Nous allons maintenant revenir aux intégrales à deux facteurs distincts pour les traiter par une méthode plus simple. Soit
( 34} '•? ^A^h ^)ipqx— gpiY'Hpqi— qpi)-^
une telle intégrale, écrite avec des variables tout à fait quelconques. Si Ton rapporte la surface aux deux familles de courbes
coordonnées
Oi = const., 02=const.,
l'intégrale considérée se ramènera à la forme simple
où h désigne une fonction inconnue de u et de p. D'ailleurs les deux familles coordonnées étant formées de courbes parallèles, Télément linéaire de la surface aura pour expression (n° S27)
{ jh ) ds^ — -. .
sm-a
On aura ici
«37) ^^ — P'-r- q--—2pq COSOL,
Posons <38) cosa = X,
et écrivons féquation de condition
(A,o) = o; nous serons conduits aux deux relations
-.dh ^ .d\ dh
< > ^ ] àv 09 du ^
^ dh , d\ dh
A-r mh = o,
au du dç '
INTÉGRALES HOMOGENES DE DEGRÉ SUPÉRIELK.
qui détermineront à la fois A et h. Comme la première s'écrit
io^'^^=
ôh
on y
satisfera en
L prenant
7 désignant une
fonction
auxiliaire
On a donc
du
etj en portant ces valeurs de h et de \ dans la seconde équation, on trouve
Effectuons la substitution de Legendre et posons
z^ considérée comme fonction de x et de y^ sera définie par l'équation
(42) y(^r -^ mt)-^ x\^i-^m)s=:^ o,
qui est linéaire et beaucoup plus simple de toute manière que celle du n»^ 615.
On aperçoit immédiatement une infinité de solutions homogènes de cette équation
et, d'une manière tout à fait générale,
F désignant la série hypergéomé trique de Gauss ou toute autre solution de Téquation du second ordre à laquelle satisfait cette série. Il sera donc aisé, si Ton suit les règles employées en Physique
-î> LIVRE VI. — CHAPITRE IV.
nialhémalique, de former des séries ou des intégrales définies satisfaisant à Téquation et contenant des constantes ou des fonctions arbitraires.
018. On pourrait aussi essayer d'appliquer à Féquation (42) les méthodes exposées dans le Livre IV; mais, pour cela, il faudrait commencer par la ramener à la forme normale en intégrant l'équation diflerentielle des caractérisiriques. Cette intégration est possible, mais elle paraît conduire à un résultat compliqué.
Si Ton pose
l'équation prend une forme un peu plus simple. Elle devient
[('3m -f- \)X ~^{\ — in)y\r'—[{ 3 7?i 4- r)/'^- (i •— /?i)a:']^' = o.
Dans le cas où Ton a
l'Ile se réduit à la suivante
( ii) yr'^xt'=o.
Les équations des caractéristiques sont alors
y^±:x'^= const.
Posons
Féquation prendra la forme nouvelle
d'^jz dz dz
où m et 72 sont des fonctions à déterminer. On obtient leurs valeurs rapidement en employant Fartifice suivant. L'équation (44) admet évidemment les deux solutions
Exprimant que ces solutions appartiennent à la nouvelle équa-
lion, on trouve les deux relations
m-i-n — o, -T- T^ ^ {m — Ji){ :l — p), d'où Ton déduit
6 a — p et Féquation devient
Q à-z i dz i dz ^
C'est Féquation Ef^? gj) qui rentre dans celles que nous avons
étudiées et intégrées [II, p. 54].
L'intégrale correspondante
peut, par une élévation à la puissance — 3, être remplacée par une autre
<46) 6 = h-'^pq\
qui sera entière et du quatrième degré, mais aura un facteur triple. Ainsi nous savons déterminer complètement la forme de Télément linéaire qui correspond à ce cas spécial de l'intégrale homogène du quatrième degré.
619. Les recherches précédentes admettent pour point de départ la classification des intégrales que nous avons donnée au n° 610, d'après Bour, MM. O. Bonnet et Maurice Lévy. Mais, au lieu de séparer les intégrales d'après leur degré ou le nombre de leurs facteurs distincts, on peut se demander s'il en existe d'une forme déterminée, s'il y en a, par exemple, qui ne contiennent pas quelques-unes des variables u^ ^, /?, g. En nous plaçant à ce point de vue, nous avons été conduit aux deux résultats suivants, qui nous paraissent nouveaux et que nous allons présenter d'une manière synthétique.
Si Ton pose, pour abréger,
(47) ^~EG — F2' *^"~EG — F2' ^~"EG— Ps'
I^j, LIVRE VI. — CHAPITRE IV.
réquation qu'il s'agit d'intégrer sera
Supposons que e, /, g aient les valeurs suivantes
f ^ = au -T- bv ~ c,
qui sont linéaires par rapport à w et à p; on reconnaîtra aisément qu'il existe une intégrale o ne dépendant que de p et de q.
En effet, si l'on suppose ç indépendante de u et de v, Téquation
de condition
(A, cp) = o
nous donne simplement
-^(ap^--^2a'pq -h a"q^)-^ -^ (bp^-h 2b'pq-^b"q^) = o.
Les coefficients ne contenant ni u ni ç^, il existe bien une fonction 'f qui satisfait à cette équation aux dérivées partielles. Pour la (i^Uerminer, il faudra intégrer l'équation homogène
dp ( bp^ -r- '2 b'pq -4- b" q- }~dq( ap^ -h 2 a'pq -+■ a" q'^) = 0. Par exemple, on pourra prendre
— f i^p-^^^'PÇ -^ b" q'^) dp — ( ap-^-{- on' pq -t- a" q^') dq '~J p{bp^'-\-2,b'pq -^ b" q-)^ q{ap^-v-'ia'pq -\- a"q'^)
Des formules (47) on déduit facilement l'élément linéaire de la surface. On a, en effet,
et Ton déduira de là
620. Nous laisserons au lecteur le soin de faire la discussion de tous les cas particuliers qui peuvent se présenter ici et qui sont assez nombreux. Nous indiquerons seulement les suivants.
Prenons d'abord
INTÉGRALES HOMOGÈNES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. Hl
L'élément linéaire sera donné par la formule
Uintégrale 'f, qui se réduira ici à t^ iog{p^ — q'^), nous donnera Féquation
qu'il faudra joindre à la siii\ante
(36) vp-^-^r- ac/^ = i,
pour déterminer p et q. Ce cas spécial a été déjà signalé par Laguerre (').
L'élément linéaire étant homogène, on pourra déterminer effectivement des surfaces spirales qui admettent cet élément (n°614). Il en est de même, dans le cas général, toutes les fois que les Ibnclions e, /, g ne sont pas linéairement indépendantes. Alors une substitution de la forme
permettra de rendre homogène Félément linéaire de la surface. Nous signalerons encore le cas particulier suivant
(5;; e = u, f=7nv, .•?' = ï-
On aura ici l'intégrale
en sorte que p et q seront déterminés par cette équation jointe à la suivante
( 59 ) up- -r- •>. ;?iP/3^ -f- ^ - = i .
Mais on peut trouver une seconde intégrale en remarquant que, si Ton fait la substitution
(*) Laguerre, Sur un genre particulier de surfaces dont on peut déterminer les lignes géodésiques {Bulletin de la Société mathématique , 1. 1, p. Si:
j,., LIVRE VI.— CHAPITRE l\ .
réqiiaiion précédente devient
et appartient encore à la forme que nous étudions. Il y a donc une nouvelle intégrale de la forme
En la recherchant et en la combinant avec l'intégrale (58), on obtient le résultat suivant :
L'élimination de p et de q entre les trois équations (58), (àg) et (62) donnera en termes finis Téquation générale des lignes géodésiques.
L'élément linéaire de la surface correspondante a pour expression
du- — "> niç du dv -J- 11 dç- (63) ds'^=:= —
Si l'on introduit la variable r^, il prendra la forme homoghie
ç { du-— '2m du dv ) -\ — dv'^
( 04 ) ds~ = -, :r->
On pourra donc encore obtenir des surfaces spirales admettant cet élément linéaire.
621. Considérons maintenant les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme générale
( 65 ) ds'^ = V [ du- -i-(u "^ Vi )- dv-]j
0X1 V, \i désignent des fonctions quelconques de p. L'équation à intégrer devient ici
Cherchons si Ton ne pourrait pas y satisfaire en prenant pour & une fonction linéaire par rapport à u
INTÉGRiLES IIOAIOGÈXES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR. 83
P et Q étant des fonctions de v. On trouvera ainsi la condition qui nous conduit aux deux équations
(67) Q'-P'Vi, P2^[>'2-^V.
Il faudra donc d'abord intégrer l'équation différentielle
puis se déterminera par une quadrature (691 Q ^ fwdV.
L'intégration de l'équation différentielle introduira la constante arbitraire dont la présence est nécessaire pour assurer la généralité nécessaire à la solution 9.
Ici, on le voit, le succès est moins grand que dans les exemples précédents. On n'a pas la solution complète du problème; mais on a fait un pas vers cette solution et l'on peut dire que l'on a ramené l'intégration de Féquation différentielle du second ordre des lignes géodésiques à celle de l'équation (68), qui est seulement du premier ordre.
Dans le Mémoire que nous avons cité plusieurs fois, M. Lie avait déjà signalé une proposition du même genre relative à la détermination des lignes géodésiques des surfaces spirales. Ce premier résultat se trouve compris comme cas particulier dans celui que nous venons d'établir. On reconnaît, en effet, très simplement que Télément linéaire (65) se réduit à celui des surfaces spirales les plus générales quand on y fait
On a alors
(' 70 ) ds' = \ ( du^- -h u'- d^^),
et, si l'on effectue la transfoi^mation définie par les formules
(71) Il ~ e"\ /V dç = du',
on est conduit à la forme
qui convient, nous l'avons déjà remarqué (n*^ 90), à une infinité de surfaces spirales.
Dans ce qui précède, nous avons déjà appris à déterminer complètement les lignes géodésiques d'un nombre illimité de surfaces spirales. De là résulte, on le reconnaîtra sans peine, qu'on pourra intégrer l'équation différentielle (68) dans un nombre illimité de cas et, par suite, déterminer, pour une infinité de formes de la fonction V, et quelle que soit la fonction Vi, les lignes géodésiques des surfaces correspondantes (*).
L'élément linéaire défini par la formule (65) peut être transformé de la manière sui\ante. Nous avons déjà montré [n*^ 70] que, si l'on pose i ;3 } ds''^ =du''-^{u-^ Vi )2 dv'-,
d^ sera l'élément linéaire d'un plan rapporté à des lignes droite.s (ç'=const.) et à leurs trajectoires orthogonales (i^ = const.). Soient *r et jK les coordonnées rectangulaires d'un point de ce plan, qui seront des fonctions de u et de p. On aura
ds'^^^dx^-^-dy^,
et, par suite, on pourra ramener ds- à la forme suivante
(74) ds^=^y{dx'--^df'^\
(') Une surface spirale peut être soumise, nous l'avons vu, à une déformation homothétique continue, dans laquelle la surface ne cesse pas de coïncider avec elle-même. Dans cette déformation progressive, une ligne géodésique vient occuper une série continue de positions dont l'ensemble constituera une famille. Les trajectoires orthogonales de cette famille de géodésiques se détermineront toujours (n" 523 et 533) par une simple quadrature qui fera connaître une solution de l'équation
cette solution particulière est précisément celle que nous obtiendrons ici par l'intégration de l'équation (68). Toutes les fois que l'on saura déterminer par une méthode quelconque les géodésiques de la surface spirale, on pourra dom* aussi obtenir par une quadrature l'intégrale générale de l'équation correspondante (68).
Vest une quantité qui doit demeurer constante avec v, c'est-à-dire sur les droites d'une famille donnée; elle sera nécessairement déterminée par une équation de la forme
(75) 7 = ^cp(V)4-4>(V).
Telle est l'expression nouvelle que l'on peut donner à l'élément linéaire (65).
Si l'on applique maintenant le principe de la moindre action III, p. 45o]j on reconnaîtra que la détermination des lignes géodésiques équivaut à la solution d'un problème de Mécanique dans lequel la fonction des forces serait V et l'équation des forces vives
De là résulte le théorème suivant :
La solution de tout problènie de Mécanique dans le plan pour lequel il existe une fonction des forces, les lignes équipotentielles étant des droites d'ailleurs quelconques, se ramène a V intégration d\ine équation différentielle du premier ordre et du second degré de la forme (68).
gQ LIVRE Yl. — CH\PITRE V.
