CHAPITRE V

LE PLUS COURT CHEMINS EISTRE DEUX POINTS b'uNE SURFACE.

Coniparaison d'un segment de géodésique à tous les chemins inliniment voisins réunissant ses extrémités.— Considérations géométriques; enveloppe de toutes les géodésiques passant par un [point. — Énoncé d'une propriété générale qui s'applique à un grand nombre de problèmes de maximum. — Méthode analytique de M. 0. Bonnet. — Détermination des géodésiques infiniment voisines d'une géodésique donnée. — Deux théorèmes de Sturm sur les équations différentielles linéaires. — Application aux li|fnes géodésiques. — Formule qui donne la variation de longueur d'un arc de courbe quelconque. — Conditions auxquelles doit satisfaire le plus court chemin entre deux points d'une surface limitée d'une manière quelconque. — Extension que l'on peut donner au problème du plus court chemin. — Introduction de la notion de la longueur réduite d'un segment de géodésique due à M. Christoffel.

622. Nous avons vu que, si l'on prend deux points suflisamment rapprochés A et B sur une géodésique, cette ligne sera le plus court chemin entre les deux points. Mais la démonstration que nous avons donnée cesse, en général, d'être applicable quand les deux points s'éloignent l'un de l'autre.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la sphère. Dans ce cas, la géodésique sera un grand cercle; si l'arc AB, d'abord plus petit qu'une demi-circonférence, augmente et finit par dépasser cette limite, il cessera d'être la ligne la plus courte entre A et B.

Nous allons considérer une surface quelconque, et nous nous proposerons le problème suivant : Étant donnés deux points A et B sur la surface, déterminer le plus court chemin entre ces deux points. Il est impossible de résoudre ce problème d'une manière générale ; mais nous allons faire connaître différentes propositions qui permettront de l'aborder dans chaque cas particulier.

Construisons toutes les géodésiques passant en un point A de la surface et soit {g) l'une d'elles {fig. Sg). Supposons que la géodésique infiniment voisine {g') aille rencontrer {g) en un ou plusieurs points et désignons par B' celui de ces points qui est le