LK PLUS COURT CHEMIX ENTRE DEUX POINTS D UNE SURFACE

plus rapproché de A. Je vais montrer que, si l'on prend un point B sur la ligne {g)^ Tare AB sera plus petit que tout autre chemin infiniment voisin réunissant les mêmes points, tant que le point B sera situé entre A et B^

Fig. 39.

En effet, supposons que le point B soit entre A et B'. Menons par le point A deux géodésiques AC, AC^ qui iront renconlrer AB pour la première fois en des points voisins de B^ et considérons la région de la surface limitée par la courbe CDED'C'C formée du Irait C^C réunissant les deux géodésiqiies et voisin de B, des deux portions CD, C^D' de géodésiques et de la courbe DED' entourant le point A. Il est clair que la région ainsi définie jouit de la propriété

que, par un quelconque de ses points et par le point A, il passe une seule géodésique située tout entière dans la région. Alors les points de la région pourront être rapportés au système de coordonnées cur\ilignes formé des géodésiques passant en A et de leurs trajectoires orthogonales; la démonstration du n*^ o2l s'appliquera sans modification, Tare AB sera plus court que tout autre chemin Iracé sur la région et, par conséquent, que tous les chemins infiniment voisins.

Nous allons voir que cette propriété ne subsiste plus quand le point B est au delà de B^ Pour cela nous emploierons la notion suivante, qui est due à Jacobi (^).

C) Voir, par exemple, Jacobi, Vorlesungen iiher Dynamik. Sixième Leçon.

Puisque nous supposons que la ligne géodésique (g) est renronîrée par les géodésiques infiniment voisines partant de A, nous pou\onh admettre que cette propriété appartient à une infinité de i^^éodésiques passant en A, que ces géodésiques ont une enveloppe. Soit PO celte enveloppe (Jig\ 40 et soient AB', AB'^ deux lignes

Fig. 4i.

géodésiques lu touchant en deux points B', B'^. La ligne PQ pou- Nant être regardée comme la développée du point A, on aura, quelle que soit la grandeur de l'arc B^B',,

arcAB' = arc AB; h- aroB'^B'.

Cela résulte immédiatement de la formule relative à la différentielle d'un segment de géodésique, donnée au n° 32o [II, p. /\iy].

D'autre part, l'enveloppe PQ ne sera jamais une ligne géodésique. En effet, en chacun de ses points, elle est tangente à une des lignes géodésiques partant de A, et Ton sait qu'il j a une seule ligne géodésique passant par un point et j admettant une tangente déterminée. Donc la ligne PQ ne saurait être géodésique.

D'après cela, si l'on considère le chemin formé par AB'^ et par l'arc B\B\ chemin qui est égal à l'arc AB', il sera possible de substituer à la seconde partie B'^B^ de ce chemin une route plus courte. Remarquons d'ailleurs que, si B'^ est infiniment voisin de B^, le nouveau chemin sera infiniment voisin de AB'; donc Tare AB' peut être remplacé par un chemin infiniment voisin et plus court.

Il en sera de même, a fortiori, si le point B est au delà de B^; car il suffira, pour obtenir un chemin plus court que l'arc AB, de prendre l'un des chemins plus courts que AB^ qui aboutissent en B' et ensuite de parcourir l'arc B^B.

623. La démonstration précédente repose sur des considérations

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS B'UNE SURFACE. So

de conlinuité et sur rhvpothèse de Texistence d'une enveloppe. Nous allons en donner une autre plus analytique. Mais auparavant nous appellerons l'attention sur un fait qu'elle met en évidence, et qui est un cas particulier d'une loi qui paraît s'appliquer à tous les problèmes de maximum ou de minimum.

Reprenons Tare AB' égal au chemin AB'^B^ et supposons qu'en substituant à Tare B'B'^ de l'enveloppe la route la plus directe entre ces deux points, on raccourcisse la route d'une longueur li. On pourra donc aller de A en B' par un chemin égal à AB' — h. Il étant une quantité finie. Prenons en avant de B' un point ^3. On pourra y parvenir, soit par l'arc Aj3

soit par le chemin AB' — h qui passe en B^ auquel on fera succéder

le chemin B' S