AB'-A-^B

Or ce second chemin sera plus court que le premier A^ tant

que B'^ sera inférieur à la quantité finie -• Donc la ligne géodé-

sique cessera d^être le minimum absolu a^ant de cesser d'être minimum relativement aux chemins qui s'en écartent infiniment peu.

En résumé, il y aura autour du point A deux courbes distinctes : l'une sera le lieu du premier point où chaque ligne géodésique est rencontrée par une autre géodésique de longueur égale; l'autre sera Tenveloppe des lignes géodésiques. Si le point B se déplace sur une des géodésiques AX {fig* 4^^)? le chemin AB demeurera

Fig. 42.

le minimum absolu tant que le point B n'aura pas atteint le point G de la première courbe pour lequel la géodésique devient égale à une autre géodésique terminée aux mêmes points. Cela est évident, car le chemin AB, qui est le plus court lorsque le point B est très voisin de A, ne peut perdre cette propriété qu'au moment

OÙ il clc^icnt égal à im autre cliemin. La ligne AB cessera d'èlre minimum absolu dès que le point B dépassera le point C (<), mais demeurera minimum par rapport aux chemins infiniment voisins, tant que B n'aura pas atteint le point où l'enveloppe des i^codésiques est touchée pour la première fois par AX.

Dans certaines surfaces exceptionnelles, les deux courbes précédentes pourront se confondre et la loi que nous signalons disparaîtra. C'est ce qui a lieu, par exemple, dans le cas de la sphère ou pour Tensemble des méridiens d'une surface de révolution.

La loi générale que nous venons de signaler se retrouve dans l'étude de tous les problèmes de maximum ou de minimum. Gon- >idérons, par excEuple, une courbe plane PP^ {/Ig, f3), et suppo-

([u'ilsons s'agisse de trouver le plus court chemin d'un point M pris dans le plan de cette courbe à la courbe elle-même. Ce chemin ne peut être, comme on sait, qu'une des normales menées de M à la courbe.

Considérons Tune d'elles, normale en P, et soit C le centre de courbure relatif au point P. Le Calcul infinitésimal nous apprend que, tant que M sera du même côté que le point P par rapporta G, la normale MP sera plus courte que tous les chemins infiniment voisins. Mais supposons que M vienne en C et soit GV^ une autre

C) En eiïet, suii D' une position de B un peu au delà de C. Le cliemin AD' est égal au chemin AMDCD', et il est évident que l'on raccourcira ce dernier rhemm si, arrivé en un point D très voisin de G, on se dirige directement vers le point D' par Tare DD'. Il est donc impossible que AD' soit le plus court chemin entre A et D'.

LE PLUS COURT CHEMIN EiNTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. Ql

normale à la courbe. D'après les propriétés delà développée, nous aurons

et, par suite,

GP = G'P'~arcGG' GP>GT'--cordeGG'.

On démontrera par suite, comme on Fa lait plus haut, que la normale MP cessera d'être le plus court chemin d'une manière absolue avant que le point M soit venu se confondre avec le point C.

Comment cela peut-il s'expliquer? Quand le point M s'est déplacé de P vers C, il y a eu un instant où une autre normale menée à la courbe a eu la même longueur que MP. Ensuite, cette seconde normale devient la plus courte; mais MP, qui a perdu la propriété d'être le minimum absolu, demeure encore plus courte (jue tous les chemins infiniment voisins jusqu'au moment où le point M vient coïncider avec le centre de courbure. Une discussion complète du problème doit donc faire intervenir, en même temps que l'enveloppe des normales, le lieu des points d'où l'on peut mener à la courbe deux normales égales. C'est ce que montre clairement l'exemple de l'ellipse i^fig- é^à^^^ Ici le lieu des points

Fig.

d'où l'on peut mener deux normales égales se compose des deux axes, et toute normale PH rencontre le grand axe en H avant de devenir tangente à la développée en C. Quand le point M sera du même côté que P par rapport à H, il y aura minimum absolu; de H à C, le minimum n'aura plus lieu que relativement aux chemins

Qi

infiniment voisins. Au delà de C, la normale ne sera plus d'aucune manière un chemin minimum.

On serait conduit à une discussion analogue si l'on demandait le chemin rectiligne le plus long que l'on puisse mener d'un point à FelHpse.

624. On peut étudier la question que nous venons de résoudre en suivant une méthode toute différente qui conduit à des propositions élégantes et qui a été employée en premier lieu par M. Ossian Bonnet (*).

Soit MQM' une ligne géodésique {fig^ 45). Pour déterminer les

Fig. 45.

points P de la surface qui sont dans le voisinage de cette ligne, nous emploierons le système de coordonnées formé par les lignes géodésiques normales à MM' et par leurs trajectoires orthogonales. Alors, si u désigne la longueur de la normale géodésique abaissée de P sur WSV et si ç désigne la longueur de l'arc MQ, Félément linéaire de la surface sera donné par la formule

C est une fonction de u et de v> qui doit se réduire à i pour uz=zo. De plus, si Ton exprime que la ligne 'MW est géodésique, on aura

--— = o pour u ~ o.

Remarquons d'ailleurs qu'en vertu de la formule de Gauss on a, pour toutes les valeurs de ï^ et de ç,

du'- ~ RR'*

(') 0. Bonnet, Sur quelques propriétés des lignes géodésiques {Comptes rendus, t. XL, p.i3ii;iS5o). — Note sur les lignes géodésiques (Même Recueil, t. XLI, p. 32; iS5i).

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS D'uNE SURFACE. qB

Cette formule nous permet de développer C suivant les puissances de u\ et, en tenant compte des résultats que nous venons d'indiquer, on obtient le développement suivant

où. nous négligeons seulement les termes du quatrième ordre par rapport à u* Les valeurs des coefficients g^, et T-fôip) sont prises pour u = o.

Gela posé, menons par les points M, M' une ligne MPAF s'écartant infiniment peu de la ligne géodésique et pour tous les points de laquelle u sera une fonction infiniment petite de r. L'arc de cette ligne aura pour expression

// désignant la dérivée de u et les termes négligés contenant tous u' en facteur. Si nous supposons que la dérivée u' ne devienne jamais infinie et soit, par conséquent, de l'ordre de u (*), nou-

(*) Nous introduisons ici, on le remarquera, une hypothèse restrictive que nous pouvions laisser de côté dans notre première méthode : par sa définition même, la fonction u est infiniment petite pour tous les chemins infiniment voisins de la ligne géodésique; mais, pour assurer la convergence de notre développement en série, nous sommes obligés maintenant d'ajouter la condition que la dérivée u' soit infiniment petite comme u et ne devienne jamais infinie. Or c'est ce qui n'aura pas lieu si l'on prend des valeurs de u telles que les suivantes :

où a est une constante infiniment petite et o(v) une fonction finie pour v= o. Des difficultés du même genre se présentent dans Tétude générale des problèmes du Calcul des variations. Si, par exemple, on cherche le maximum ou le minimum de l'intégrale

remplacer y par y -h oy et développer en série revient à admettre que la fonction oy de X est telle que ce développement en série soit toujours possible, c'està-dire que les dérivées By'j oy" de oy ne deviennent jamais infinies. On voit ainsi que les méthodes directes au moyen desquelles nous avons établi les propriétés de minimum relatives aux lignes géodésiques sont préférables à celles que Ton peut déduire du Calcul des variations et qu'elles nous permettent d'établir un résultat à la fois plus précis et plus étendu.

aurons, en négligeant les termes du quatrième ordre, (.1 .-MM'==-j^^ ["'--KR-'^S-Rlr J7ArF;J

Jp.

Bornons-nous, dans la formule précédente, aux termes du second ordre qui, lorsqu'ils ne sont pas nuls, donnent leur signe à la variation de l'arc ; on aura

.3, -^'■^»'=i(V-lSf)*-

Si la surface est à courbures opposées, cette variation sera toujours positive. Donc, €lans ce cas, la ligne géodésique ne cessera jamais d'être la plus courte si on la compare seulement aux chemins infiniment voisins.

Supposons, au contraire, la courbure positive. L'intégrale précédente se composera de deux parties de signes contraires. Pour déterminer son signe, nous introduirons les solutions de l'équation

et nous allons, en premier lieu, indiquer la signification géométrique de ces solutions.

62a. Pour cela, considérons, d'une manière générale, un système de coordonnées dont l'une des familles soit formée de lignes géodésiques. L'élément linéaire de la surface sera donné par la formule

et Qid^' représentera l'arc de la trajectoire orthogonale compris entre les deux, lignes géodésiques (p) et ((^-f-rf^?). En d'autres termes, ce sera la longueur de la normale infiniment petite qu'il faudra élever en chaque point de la géodésique ((^) pour obtenir la géodésique (p + c^ç'). Supposons ç et d^^ constants; les diverses valeurs que prend la quantité G d^ en tous les points de la géodésique {ç) seront des fonctions de u^ c'est-à-dire de l'arc de cette géodésique compté à partir d'une origine fixe. Or on a, en vertu de la formule de Gauss,