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LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DELX POINTS d'lNE SLRFVCE. (jj

Si donc on pose Cdç>:=p, on voit que p satisfera à l'équation fférentielle

^lip ^ P

^ du^ RR' '

; qui conduit au théorème suivant :

Étant donnée une ligne géodésique quelconque, si l'on déune par u Carc de cette géodésique compté à partir d'une

ngine quelconque et par -^ la courbure de la surface, qui,

nir les différents points de la ligne géodésique, sera une mction de u^ la longueur p de la normale qu'il faudra éleçer i chacjue point de la géodésique, pour obtenir la géodésiqur ifiniment voisiîie, sera une fonction de u qui devra satisfaiie V équation linéaire (5).

Cette équation (5) coïncide, aux notations près, avec i'équaon (4), et nous avons ainsi l'interprétation géométrique de la inction p.

Au reste, on peut chercher directement le minimum de Tin-

grale

if(""-w)"'-

\\ donne l'expression approchée de l'arc de toute courhe infinient voisine de la géodésique MM'. Si l'on recherche celle de ces )urbes qui passe par deux points donnés (;^o? ^\)y (^i, ^i) et Dur laquelle l'intégrale précédente est un minimum, l'application Lire et simple des règles du Calcul des variations montre immélatement qu'elle doit être définie par l'équation différentielle (4 "t. ►n retrouve ainsi, de la manière la plus simple, le résultat présent .

626. Supposons qu'il soit possible de trouver une solution p e l'équation (4) ne s'annulant ni pour M, ni pour M^ ni pour iicun point compris entre M et M'. Si nous posons

devra s'annuler comme u pour les points M et M' et il ne de-

<j^ LIVRE VI. — CHAPITRE V.

tiendra jamais infini entre M et M'. En substiLuant la valeur précédente de u dans la formule (3), on aura

ou, en remplaçante^ par — — -?

A étant nul aux deux limites et fini dans l'intervalle de M à M', la première intégrale est nulle; il reste donc

On voit que la variation de M]\r est essentiellement positive; par suite, la ligne géodésique est plus courte que tous les chemins infiniment voisins.

Ce point étant établi, considérons la solution p de l'équation (5) ([ui s'annule pour le point M (Jîg- 46) et supposons que cette

Fig. 46-

solution s'annule de nouveau au point Mi en conservant son signe dans toute Fétendue de MMi. Cela veut dire que les géodésiques partant de M et infiniment voisines de MMj viendront couper de nouveau cette ligne géodésique au point Mi ou en un point infiniment voisin, sans la rencontrer entre M etM^ . Nous allons montrer que, si l'on prend un point M^ entre M et M^, le segment géodésique MM' sera plus court que tous les chemins infiniment voisins réunissant ses extrémités. En effet, la solution/? de Téquation (5) us'iq annule en un point N infiniment voisin et à gauche de M ne

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s'annulera une seconde fois qu'en un point Ni infiniment voisin de M| et, par conséquent, au delà de M'. Il y aura donc une solution p ne s'annulant en aucun point du segment MAF, et cela suffit, nous venons de le montrer, à établir la proposition que nous avions en vue.

627. Jacobi avait énoncé sans démonstration (^) une proposition qui complète la précédente : Le minimum cesse certainement d'avoir lieu si le point W est placé au delà du point M,. Ce résultat a été démontré par M. O. Bonnet dans les Notes citées plus haut. On peut encore l'établir comme il suit.

Prenons au delà de Mj {fig. 47) un point M' assez voisin de M^ pour que la solution de l'équation (4) qui s'annule au point M' ne s'annule pas dans l'intervalle Mi M', y compris le point Mi . J'ap-

Fiff.

pelle q cette solution; il sera alors possible de déterminer entre M et Mi un point M^' tel que la solution q ne s'annule pas dans l'intervalle M'M'^ Je désigne, comme précédemment, par p la solution de l'équation qui s'annule aux points M et M^ et j'achève de déterminer cette solution, qui n'est connue qu'à un facteur constant près, par la condition qu'au point M^' on ait

Cela posé, dans la variation

je remplace u par p de M à M^' et par q de M^' à M', ce qui est évidemment permis, ces valeurs successives de u définissant un

( » ) Jacobi, Sur le Calcul des variations et sur la Théorie des équations différentielles {Journal de Liouville, t. III, p. 44 j i836). Voir aussi la Note VI dans le deuxième Volume de l'édition de la Mécanique analytique due à M. Bertrand et la quatrième Leçon des Vo?'lesungen uber Dynamik,

D.-ïïl. 7

ou encore

f^g LHRE VI.— CHAPITRE \.

clieniîn parfaitement continu. La variation prendra la valeur

Si Ton intègre et si l'on remarque que p est nul en M et q en M^ on obtient pour la variation du chemin l'expression suivante

[pp'-gq']^V'

Comme on a, pour le point ftF, p^q, on peut écrire cette variation sous la forme

[qp'-pqlw"

Or, étant données deux solutions quelconques/? et q de Féquatlon (4), on sait que le déterminant

qp'-pq'

est constant; on pourra donc calculer sa valeur pour tel point que Ton voudra, par exemple pour le point M^ , où Ton a /? = o. Il reste alors

[qp'Ur

Cette quantité est négative. Supposons, en effet, pour fixer les idées, que la valeur de q soit positive entre M' et M"; d'après les hypothèses faites, il en sera de même de la valeur de p entre M et Mf. Or, un peu avant le point M^, p et/V doivent être de signe contraire; il faut donc que la valeur de /?' au point M^ soit négative.

La variation du chemin étant négative, la ligne géodésique a perdu, on le voit, sa propriété de minimum.

11 est aisé d'interpréter géométriquement la méthode que nous venons de suivre et de reconnaître comment on y est conduit. S'il existe un chemin MHM' plus court que Parc de géodésique MM^, en substituant à ce chemin les deux portions de géodésiques MH et HM' on ne pourra que diminuer sa longueur, et Ton formera un nouveau chemin qui devra être encore plus court que l'arc MM'.

628. Il nous reste à établir une remarquable proposition; mais,

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. 99

ant de la faire connaître, nous allons démontrer, par une méthode )uvelle, de beaux théorèmes sur les équations linéaires du second dre, qui sont dus à Sturm (^ ).

Cousidérons l'équation

soit V = 'f(^) une solution de cette équation s' annulant pour le valeur Xq de x. Nous désignerons par x^ la racine de V imédiatement supérieure à Xq\ x^ sera remplacé par +cc quand ne s'annulera pour aucune valeur de ^ supérieure à Xq. Nous Ions d'abord montrer qu^aucune intégrale de Véquation liiaire ne s annulera plus d'une fois entre Xq et Xt, En effet, soit a une valeur de x comprise entre Xq et Xi . La sotion de l'équation qui s'annule pour cette valeur de x est donnée, mime on sait, par la formule

X G désigne une constante arbitraire. Aucun des facteurs de ce roduit ne s'annule pour les valeurs de x comprises entre Xq et ^; pour toutes ces v^aleurs de x, l'intégrale a toujours un sens déirminé, car son élément ne devient pas infini entre les limites de intégration. La proposition que nous venons d'énoncer est donc :ablie.

Si Ton donne à G la valeur 'f (a), on a la solution

, , , ^ r"" dx

ue nous désignerons par 6(^, a). Elle a sa dérivée égale à l'unité ouTX = oL'^ elle est évidemment positive pour toutes les valeurs e X comprises entre a et ^r^, négative pour les valeurs de ^comrises entre Xq et a. Pour Xq ou x^^ elle revêt une forme indéterlinée ; mais on obtient facilement sa vraie valeur, qui n'est ni nulle

(0 Sturm, Mémoire sur les équations différentielles du second ordre Journal de Liouville, t. I, p. 106 j i836).

m infinie, en faisant usage de la relation

fcp '^*^^'^'^ —^J?'(^; = ?(=£):

qui a lieu pour toutes les valeurs de x.