Cela posé, considérons deux équations distinctes

et supposons que l'on ait, pour toutes les valeurs de x, (12) H'=H.

Nous allons montrer que, si '^{x) est une solution de la première admettant les deux racines consécutiçes Xq, x^, la solution de la seconde qui s annule pour Xq ne s^ annulera plus dans Vinterçalle i^x^^ xC)^ x^ compris.

En effet, j'écris Féquation (i i) de la manière suivante :

g = HV-^,H'-H)V.

Si nous considérons (H' — HjV comme une fonction donnée '\{x) de X, l'équation précédente deviendra

(.3) g HV = 4-(x);

et, comme nous connaissons une solution <f{x) de l'équation sans second membre, nous pourrons obtenir une formule donnant l'intégrale de l'équation complète.

Parmi les méthodes connues, appliquons celle de Cauclij : elle prescrit de former en premier lieu une solution de l'équation sans second membre qui se réduise à o pour ^ = a et dont la dérivée devienne égale à i pour la même valeur de x. Cette solution est celle que nous avons formée plus haut

Cela posé, une solution particulière de l'équation avec second

LE PLUS COURT CHEMIN ENTBE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. ICI

membre est fournie, d'après le théorème de Cauchy, par Tiatégrale

6(a7, a) 'ij(a) ^a;

par suite, toutes les solutions de Téquation (i3) qui s'annulent pour x^= Xq seront de la forme

OÙ C désigne une constante arbitraire. Si donc V désigne une solution de l'équation (ii) s'annulant pour x=^a;Q, nous aurons, en substituant (H' — H)V^ à ^{x),

V'=Gcp(iP)-H f Ô(ii:,aj[(ir-H)V']af/a,

l'indice a indiquant que l'on remplace ^r par a dans la parenthèse. On peut exprimer la constante C en fonction de la dérivée de V^ pour la valeur Xq de x. Si l'on prend, en effet, les dérivées des deux membres de l'équation précédente en faisant x = Xq^ on a

On obtient donc définitivement la formule suivante

qui ne peut être d'aucun secours immédiat pour la détermination de V, mais qui va nous permettre d'établir la proposition que nous avons en vue.

Imaginons, en effet, que x varie de Xq kXi. La fonction V, qui est nulle pour x=zXo, commence par avoir un certain signe, celui

-j- j • Supposons, par exemple, que

ce signe soit positif; la fonction le conservera évidemment de Xq kXi^ si elle ne s'annule pas ; et, pour prouver qu'elle ne s'annule pas, il suffira de faire voir que, si la fonction demeure positive pour toutes les valeurs inférieures à un nombre donné ^', elle demeure positive même pour x=.x\ Or c'est ce qui résulte

,02 LIVRE vr- — GIIVPITRE V.

immédiatement de la formule précédente. Le premier terme du second membre sera évidemment positif pour œ = x', et il en sera de même de tous les éléments de l'intégrale

h{jf, a) est en eflet positive, puisque a est inférieur kx^]\{ en est de même par hvpothèse de (H^ — H), et aussi de V^, qui correspond à des valeurs a de j? toutes comprises entre Xq et x\

La proposition est donc établie. On en déduit comme corollaire la suivante :

Étant données les deux équations (lo), (ii), s il arrive que Von ait constamment W'^^ et quhine solution de la première s^ annule pour x-=^Xq et x = Xi^ la solution de la seconde qui s'annule pour x = ^'o ciura au moins une seconde racine dans IHnteri'alle {xq^x^}.

Car, si cette solution ne s'annulait pas dans l'intervalle considéré, il en serait de même a fortiori de la solution de la première équation, en vertu même de la proposition que nous venons de démontrer (*).

630. Appliquons ces résultats au pi'oblème des lignes géodésiques et reprenons l'équation

^ ^ d^-^ RK'

Soient p une solution de cette équation et Vq^ Çi deux racines consécutives de p correspondantes à deux points Mq, Mi. Nous savons que l'arc MqM sera le plus court tant que M sera entre Mo et M| mais qu'il perdra cette propriété dès que M sera au delà de M,.

Supposons qu'en tous les points de MoM^ on ait

(») Les propositions établies ici ont moins d'étendue et de généralité que celles de Sturm ; mais elles suffisent pour Tobjet que nous avons en vue et, d'ailleurs, le lecteur pourra appliquer notre méthode à la démonstration des résultats les plus généraux contenus dans l'admirable Mémoire de Sturm.

LE PLLS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'lNE SURFACE. Io3

la solution de réquation

qui s'annule pour v = ^o sera

dv^ a2^

G sin >

et la racine immédiatement supérieure à ro sera

D'après la proposition de Sturm, cette racine doit être supérieure à Ç{. Nous obtenons ainsi ce beau théorème de M. O. Bonnet, démontré dans les Notes citées plus haut :

Si\ le long crime ligne géodésique, le produit des rayons de courbure est positif et inférieur àa-^ la ligne ne peut être le plus court chemin dans un interçalle supérieur à 7za (*).

On peut ajouter la proposition suivante, qui complète celle de M. Bonnet.

Supposons qu'en tous les points de Tare Mo M, on ait

Alors, si l'on considère l'équation

Fintervalle entre deux racines consécutives sera Tzb, Comme il ne saurait être inférieur, d'après la proposition de Sturm, à l'intervalle entre deux racines consécutives de lapremière, on est conduit au résultat suivant :

(') M. Bonnet a déduit de sa proposilioQ les conséquences suivantes:

Si, dans une surface fermée connexe, le produit des rayons de courbwe est inférieur à «', la longueur de la droite qui joint deux points quelconques de la surface est certainement inférieure à i: a.

Si, dans une surface convexe, le produit des rayons de courbure est inférieur à une quantité ^xe a^, la surface ne peut ai^oir de nappes infinies.

Si\ en tous les points de la ligne géodésiq ne, le produit des rayons de courbure est supérieur à 6-, la géodésique est plus courte que tous les chemins infiniment voisins dans un interva lie au moins égal àr.b.

Considérons l'ellipsoïde, par exemple. La courbure en chaque point est donnée par la formule

rt, b. c désignant les demi-axes et/? la distance du centre au plan tangent (n*' oOi). Les valeurs extrêmes de RR^ seront

Ainsi toute géodésique ne peut être le plus court chemin sur une longueur supérieure à - — ; elle sera certainement, sur toute

bc longueur inférieure à t: ~ ? plus petite que tous les chemins infiniment voisins réunissant ses extrémités.

631. La méthode suivie par M. Bonnet permet de trouver très simplement la variation de longueur d'un arc de courbe.

Soit en effet MjVF une courbe qui se déplace et se déforme suivant une loi quelconque [Jig. 48)5 considérons-la dans deux de ses

Fig. ^8.

positions infiniment voisines MM', PF. Élevons les géodésiques perpendiculaires à MM' et employons le système de coordonnées formé par ces lignes géodésiques et les courbes parallèles à MM'. On aura, pour Télément linéaire, l'expression

La variable u est la longueur portée sur les lignes géodésiques

LE PLUS COL'RT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS D UNE SLRF\CE. lo5

à partir de MM', prise avec un signe déterminé suivant qu'elle sera portée d'un côté ou de l'autre de MM'. Quant à la variable ç, nous pouvons supposer qu'elle est égale à l'arc de la courbe MM' compris entre une origine fixe et le pied de la géodésique (r). On aura

encore

G — I, pour u= 0,

mais la dérivée -— ne sera plus nulle pour la même valeur de u.

Il résulte des formules du Livre Y [II, p. 385 à 38^:] que la

valeur de — — ^ pour u = o est la courbure géodésique de MM',

comptée comme positive si le centre de courbure géodésique est du côté de MM' qui correspond aux valeurs positives de u.

Cela posé, soient R et R' les points oii les géodésiques normales en M et M' viennent couper PP'. On aura

SMIVr-= PP'—MM'- PR-f- P'R'-i-RR'--MÎ\r,

ou, en considérant les triangles infiniment petits RPM, R'P'M',

(iB) 8 i\IM' = - PM cosPAIM^— P'IVr cosFM'M -^ RR'— MM'.

En tous les points de RR', u est une fonction infiniment petite de p. On aura donc

RR'= / i/u'^-^C^dç,

ou, en développant G suivant les puissances de u et négligeant les infiniment petits du second ordre,

««'=XV"---'»(S).'" -f'i-H'i)]'"-

OU enfin

(i;) RR'==MM'-h r ti(^) ch.

Si nous portons cette valeur de RR' dans la formule (i 6) et si nous remplaçons [ — ] par son expression ^^ au moven de la courbure géodésique de MM', nous aurons

(ï8) oMM'=~ PMcos1P^IM'-P'M'cosFWÎVÏ~- Ç w — ,

lurimile très inléressante et très ulile, et qui ne contient que des éléments dont la définition géométrique et le signe ne laissent place à aucune difficulté.

63î2. Elle va nous permettre d'indiquer une série de conditions auxquelles doit satisfaire le plus court chemin entre deux points d'une surface limitée d'une manière quelconque.

r* Les portions qui seront a l'intérieur de la surface devront être formées de lignes géodésiques.

Cette propriété résulte immédiatement de ce quia été démontré (n''S16eto21). On peut la déduire aussi de la formule précédente. Si le ravon de courbure géodésique po- n'est pas infini, il suffira en effet d'élever sur l'arc MM' des perpendiculaires infiniment petites de même signe que p^, c'est-à-dire dirigées du côté du centre de courbure géodésique, et s'annulant en outre pour les deux points M et M'. On aura ainsi remplacé MM' par un chemin infiniment voisin et plus court, puisque l'expression de 5 MM' donnée par la formule précédente sera essentiellement négati\e.

2*^ Les portions de chemin qui font partie de la limite de la surface, si elles ne sont pas des géodésiques, devront satisfaire à la condition suivante : imaginons qu'en chaque point delà limite on mène celle des tangentes de la surface c{ui est normale à la courbe limite; il faudra que le centre de courbure géodésique de la courbe soit placé sur la portion de cette tangente qui est dirigée vers l'extérieur de la surface. En effet, si cette condition n'était pas remplie, on diminuerait la longueur du chemin en remplaçant un segment de cette courbe limite par une courbe infiniment voisine tracée sur la surface et réunissant les extrémités du segment.

3^ Si deux portions du chemin, tracées sur une même nappe, viennent se réunir {Jig. 49) en un certain point de l'intérieur, elles

LE PLUS COURT CHEMIN EXTRE DEUX POINTS d'uNË SURFACE. 107

doivenl se raccorder tangentiellement et de manière que l'une soit le prolongement de l'autre. Car, si ces portions BA, AG se rencontraient sous un angle différent de zéro, on abrégerait le chemin total en prenant B', G infiniment voisins de A et substituant la route directe B'C au chemin B^A + AO.

Il résulte de là que la portion du chemin comprise à rinlérieur de la surface doit se composer d'une seule ligne géodésique qui se continue sans interruption jusqu'à ce qu'on rencontre une limite ou une ligne singulière de la surface.

4*^ Si deux portions AB, BG du chemin le plus court ABC viennent se rencontrer en un point B (Jig\ oo) appartenant à la limite

Fig. 5o.

DBK, il faudra que l'angle ABC soit inférieur ou égal à deux droits pour la même raison que précédemment.

5*^ Enfin, si la surface a des nappes différentes se coupant ou se raccordant suivant certaines lignes, le chemin le plus court ne pourra se briser et passer d'une nappe à l'autre qu'en faisant de part et d'autre des angles égaux avec la ligne de séparation.

Nous allons indiquer quelques exemples simples propres à faciliter l'appUcation de ces principes.

Soit d'abord une surface plane (^g^ 5i) à laquelle on aurait enlevé l'aire comprise à l'intérieur du cercle O, et proposons-nous de trouver le plus court chemin enti^e deux points A et B, choisis de telle manière que la droite AB rencontre la circonférence. Il résulte des propositions précédentes que le plus court chemin se composera de l'une des tangentes menées de A et de B à la circonférence et d'une portion de cette circonférence. On n'aura donc à choisir qu'entre les deux chemins AEFB et ADCB. Le plus

Io;!Î LIVRE VI.— CHVPITRE V.

court est celui qui se trouve du même côté de O que la droite AB. Su{»posons maintenant que le plan soit double et se compose de deux nappes raccordées suivant la circonférence O {fig. 62 j. C'est ce qui arriverait si l'on appliquait sur le plan une surface développable dont l'arête de rebroussement viendrait coïncider

ri ^ )

avec la circonférence 0. Nous désignerons par les lettres sans accents les points de la première nappe et par les lettres accentuées ceux de la seconde.

Le plus court chemin d'un point A de la première nappe à un

Fi». 52.

point B' delà seconde devra, d'après les conditions énoncées, se composer sur chaque nappe d'une portion droite. De plus, les deux droites AM, B'M devront faire en M des angles égaux avec la circonférence.

On pourrait multiplier les exemples de ce genre; nous nous

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SL'RFACE- IOQ

contenterons de ceux qui précèdent. Mais nous ajouterons la remarque suivante, qui montrera toute l'extension que l'on pourrait donner à ce genre de recherches.

Considérons sur une surface quelconque tous les chemins possibles réunissant deux points donnés. Les études approfondies que Ton a été conduit à entreprendre dans la théorie moderne des fonctions ont montré qu'il existe un grand nombre de surfaces pour lesquelles on ne peut passer de l'un de ces chemins à tout autre, réunissant les mêmes points, par une déformation progressive et continue. Par exemple, sur un cylindre circulaire droit, il y aura des chemins allant d'un point A à un autre point B en faisant un nombre quelconque de tours, soit dans un sens, soit dans l'autre; et ces chemins ne seront pas réductibles les uns aux autres. Si l'on veut considérer une surface limitée, on pourra prendre le tore, pour lequel il y a lieu de faire les mêmes distinctions, la surface d'un ellipsoïde ou une portion de surface plane dans lesquelles on aurait enlevé les parties de la surface comprises à l'intérieur de différents traits fermés, etc. Dans un très intéressant Mémoire publié en 1866 (^), M. Jordan a montré comment on peut classer toutes ces routes différentes et les réduire à certains chemins élémentaires parfaitement définis. De cette manière, le problème que nous avons étudié dans ce Chapitre se présentera sous une forme nouvelle et plus générale. On pourra l'énoncer comme il suit :

Parmi tous les chemins réunissant deux points A e^ B d'une surface et réductibles les uns aux autres par une déformation continue^ déterminer celui qui est le plus court.

Les propriétés différentielles que nous avons établies plus haut permettront d'étudier cette intéressante question, dont la discussion complète appartient évidemment à la Géométrie de situation. Le lecteur pourra examiner quelques cas simples, se rapportant à des cylindres ou à des surfaces planes percées de trous circulaires.

(') Jordan (C.)i Sur la déformation des surfaces {Journal de Liouville, 2« série, t. XI, p. io5; 1866).

Des contours tracés sur les surfaces (Même Recueil et même tome, p. 110).

IjO MVUE VI.— CIIS.PITRE V.

633. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur ce sujet en donnant quelques indications sur une notion nouvelle, celle de la longueur rrduite, introduite par M. Ghristoffel dans la théorie des lij^nes géodésiques (\).

Soit (g) (fi g' 53) une ligne géodésique dont les différents

Fig. 5è.

points seront déterminés par leurs abscisses (^, comptées à partir d'une origine fixe prise sur cette ligne. Nous avons vu que, pour définir toute ligne géodésique infiniment voisine de (g), il faut élever au point d'abscisse c une perpendiculaire/? satisfaisant à Téquation du second ordre

tPp p .

le lieu de Fextrémité de cette perpendiculaire sera la ligne géodésique cherchée. Par conséquent, si Ton veut obtenir celles de ces lignes qui passent en Mo, il faudra prendre les solutions de Té- <[uation précédente qui se réduisent à zéro pour le point Mq. Ces solutions ne diff^èreut les unes des autres que par un facteur constant; distinguons et désignons par la notation [Mo M] celle dont

la dérivée -j; se réduit à i pour le point Mq. On pourra dire alors

que toute ligne géodésique passant par Mo est définie par l'équation

('^o) /> = a[MoM],

où a désigne une constante infiniment petite. Proposons-nous de déterminer l'angle 9 que fait en Mq cette ligne géodésique avec la ligne (^). Nous considérerons pour cela le triangle MoM^K, en

(•) Ghristoffel (E.-B.)^ Alîgemelne Théorie der geodàtischen Dreiecke {Abhandlungen der KônigUchen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, p. 119-170:1868).

LE PLUS COURT CHEMIN ENTRE DEUX POINTS d'uNE SURFACE. ITI

supposant le point M^ infiniment voisin de Mq. Comme il est rectangle en M\. nous aurons

en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. En vertu de la définition de la solution [Mq M], on aura donc

De là résulte le théorème suivant, dû à M. ChristofFel.

Donnons à la solution [MoM] de l'équation (19), qui est définie par la double condition de se réduire à o pour Mo et d'avoir sa dérivée égale à i pour le même point, le nom de longueur réduite du segment géodésique Mo M. Si, par le point Mq, on mène une ligne géodésique faisant açec la première V angle infiniment petit 9 et qu^on e7ère en M V arc perpendieulaireWA. jusqu' à la rencontre de cette ligne géodésicjue, on aura

( in MH = 6[MoM].

Si ^0 ^t r sont les abscisses des points Mo et M, on aura, comme nous l'avons déjà vu (n*' 628),

(•o) [MoM] = cp((;o)?(^)

r ds;

'ù{y) désignant une solution de l'équation différentielle qui ne s'annule pas pour r = t'o- Nous voyons, d'après cette formule, que l'on a

[MoM]-K[MMo] = o.

Sil'on connaît deux solutions ç>(t^)j «^C^O de l'équation différenlielle, satisfaisant nécessairement à une relation de la forme

on trouvera

(.3) [MoM] = ?(^o)4'("^-?(")4'(M ,

et cette nouvelle expression de la distance réduite permet de

démontrer immédiatement une relation

f 'i\) yi^][cd\ - [ac][db] - [ad\[ôc] = o,

qui a été donnée par M. Christoffei.

Si. sur toutes les lignes géodésiques passant par Mo (/?^. 53 i, on porte une longueur égale à M^M, on obtiendra une trajectoire orthogonale à toutes ces lignes géodésiques qui passent en ]\L. Le rayon de courbure géodésique de cette trajectoire orthogonale au point M sera donné par la formule