CHAPITRE YI

L4. COURBURE GÉODl^SIQUE ET LE THÉORÈME DE GAUSS.

Définitions diverses de la courbure géodésique- — Généralisation de différentes propositions relatives à la courbure des lignes planes. — Définition due a M Beltrami de la courbure géodésique. — Détermination de toutes les surfaces dont les lignes de courbure ont leur courbure géodésique constante. — Le théorème de Green pour une aire à connexion simple. — Formule de M, 0. Bonnet. — Théorème de Gauss relatif à la courbure totale d'un polygone dont les côtés sont des lignes géodésiques. — Définition de l'angle de contingence géodésique. — Formule de M. Liouville, expression de la courbure totale en un point de la surface au moyen des courbures géodésiques des deux lignes coordonnées. — Application de cette formule à un problème de M. Tchebyclieff. — Le théorème de Green pour une aire à connexion multiple. — Applications diverses. — Le théorème de Gauss relatif à la courbure d'un polygone géodésique ne constitue pas une propriété caractéristique des lignes géodésiques.

634. Après avoir développé les principales propositions relatives aux lignes géodésiques, nous allons étudier d'une manière détaillée la courbure géodésique. Nous avons vu qu'elle est donnée par la formule

— = doj ^ r du -T- rx d^.

9ff

Le centre de courbure géodésique, c'est-à-dire le centre de courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent, admet pour coordonnées relativement au trièdre mobile (T)

n? = — p^sinto, j'=p^cosco.

Par conséquent, le rajon vecteur qui joint le point de la surface au centre de courbure géodésique fera avec Taxe des x du trièdre

(T) un angle égal à to-}-~ou co — - suivant que p^ sera positif ou négatif.

La courbure géodésique étant un élément des plus importants, nous en ferons connaître successivement différentes expressions. D.— ÏIJ. 8

,l4 LIVRE VI. — CHAPITRE VI.

Au premier rang, il faut placer la suivante : nous avons vu (n*^ 631) que, si Ton considère un arc quelconque MM' et si l'on porte des longueurs infiniment petites A sur les géodésiques normales 5 cette courbe de manière à obtenir un arc infiniment voisin RR^, Faccroissement de MM' est défini par la formule

i'ff

pourvu que Ton donne à A et à fn- le même signe quand ces grandeurs sont portées dans le même sens.

L'élément ds étant toujours positif, on a, d'après un théorème connu,

oMM'^^-MImY— ),

l II \ désignant la valeur de ~ prise pour un point inconnu de

Tare MM' ou encore une moyenne entre la plus petite et la plus

grande des valeurs de ~ relatives aux points compris entre M et M'.

Si nous supposons que Tare MM' se réduise à l'arc infiniment petit AB {Jig- 54), la formule précédente nous donnera