A'B' — AB __AA

Pu

Og différant infiniment peu du rayon de courbure de AB en A. On peut obtenir un résultat beaucoup plus général par une interprétation directe des formules qui donnent la courbure géodésique.

63o. Supposons la surface rapportée à des coordonnées rectangulaires quelconques et soit

l'expression de l'élément linéaire.

LA COURBURE GÉODÉSIQUE. Il5

Le rajon de courbure géodésique de la courbe t^ = const. sera donné (n*' o07) par la formule

I i ôX

p " AG dv '

les coordonnées du centre de courbure géodésique étant

^1 = Oj J'i = ?•

Construisons les quatre courbes coordonnées («), (u-j-du)^ (p), (çijuclç), qui forment le quadrilatère curviligne M M' PP^ (/?»•. 55).

Fig. 55.

iv+dv)

On aura

MM' = A du, ]\IP = G Jp

ctj par conséquent,

'PF'= X du -{--^(X du) di^;

ce qu'on peut écrire

PP'~MM'= ^dudç.

L'expression de p pourra donc être présentée sous la forme i PP'— MM'

p ~ MP.MM'

C'est le résultat auquel nous avions été conduits plus haut; mais, dans la première méthode, nous supposions que les trajectoires orthogonales de la courbe ((^) étaient des géodésiques, tandis que ce sont maintenant des courbes se succédant d'après une loi quelconque.