Nous avons ainsi une première définition dans laquelle
I lli LIVRE VI. — CIIVPITRE VI.
un n"a pas à soi tir de la surface. En voici une autre de même nature.
Étant donnée une courbe quelconque MH {fig\ 56), nienon> la géodésique MM' tangente en M; pour déterminer les points de la surface, nous prendrons des abscisses MQ 1= r sur cette ligne i2:éodésique et nous élèverons en Q des perpendiculaires géodésiqaes PQ = ii.
Fig. 56.
L'élément linéaire aura pour expression
et Ton aura pour 1/ =z o
ou
Le développement de C suivant les puissances de u sera donc de la forme
Il étant une fonction de v.
L'équation de la courbe MH permettra de développer u en série suivant les puissances de r. On aura, pour les points de cette courbe \oisins de M,
Calculons la courbure géodésique de la courbe en M. On a ici
ds - dC , du
pff au G dv
En se bornant aux premiers termes des développements, on trouve
ds = di^, cot to = 2^T, o) = - — 2/if
