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ce qui est la généralisation d'une formule bien connue relative aux courbes planes (^ ).

637. On pourra lire dans le Traité de Calcul différentiel à^ M. J. Bertrand des démonstrations purement géométriques qui permettent de rattacher les unes aux autres les propriétés précédentes. Nous rencontrerons plus loin (n° 641) d'autres expressions de la courbure géodésique. Pour le moment, nous nous contenterons de signaler la définition suivante, dans laquelle on sort de la surface pour construire le centre de courbure géodésique.

Etant donnée une courbe AB i^fig- By), imaginons que Ton mène en ses différents points les tangentes MK, M'K^, ... de la surface qui sont normales à la courbe. Ces tangentes forment une surface réglée : Le point de chaque génératrice WKpour lequel le plan tangent à cette surface réglée est normal au plan tangent en M est précisément le centrée de courbure géodésique de la courbe AB, pour le point M. Si la surface réglée est déçeloppable, le centre de courbure géodésique sera le point de contact de chaque génératrice rectiligne avec V arête de rebroussement.

Pour établir cette proposition, supposons la surface rapportée au système de coordonnées déterminé par les géodésiques perpen-

(*) Le signe — provient de ce que p„ est considéré comme positif quand il est porté dans le sens correspondant à l'angle w 4- - •

Il8 LIVRE VI. — CHAPITRE VI.

diculaires à AB et par leurs trajectoires orthogonales. L elémem linéaire de la surface aura la forme si souvent employée

Considérons le trièdre ( T) déjà défini et dont Taxe des œ est la tangente à la géodésique. Si on lui imprime un déplacement de telle manière que le sommet décrive une courbe quelconque, un point de Taxe des x décrira un arc infiniment petit, dont les projections sur les arêtes du trièdre seront respectivement

du -4- dx, \Cu -^ PiX) dv, — {q du -f- q i <r/p ) x,

d'après les formules du n*' 499 [II, p. 370]. Supposons d'abord qu'on se déplace suivant la courbe AB; p variera seule et, pour

Fig. 5-.

que le déplacement s'effectue dans un plan perpendiculaire au plan tangent en M, c'est-à-dire pour que le plan tangent au point considéré à la surface réglée engendrée par MK soit normal au plan tangent en M, il faudra que la projection du déplacement sur Taxe des j" soit nulle, c'est-à-dire que Ton ait

G -~- rix r= o.

On tire de là

du

et cette valeur de x détermine précisément le centre de courbure géodésique de la courbe AB. Notre proposition est donc établie. On en déduit la conséquence suivante :

Imaginons qu'on mène toutes les tangentes aux géodésiques v'=const., c'est-à-dire aux géodésiques normales à la courbe

LA COURBURE GÉODÉSIQUE. Hq

donnée. Oo formera une congruence recliligne admellaut une surface focale dont Tune des nappes sera la surface proposée. Nous allons montrer que la seconde nappe sera le lieu des centres de courbure géodésique de AB et des courbes parallèles à AB.

Remarquons d'abord que les droites de la congruence, étant tangentes à une famille de géodésiques tracées sur la surface proposée, sont, par cela même, normales à une surface (n" 4-41). Par suite, si Ton envisage une surface réglée quelconque formée avec les droites de la congruence, les plans tangents à cette surface aux deux points focaux de l'une quelconque de ses génératrices seront nécessairement rectangulaires.

Si Ton applique cette remarque à la surface réglée engendrée par MK quand le point M décrit la courbe AB, on reconnaîtra immédiatement que le second point focal de MK est le point où le plan tangent à la surface réglée est perpendiculaire au plan tangent en M. C'est donc, d'après ce que nous avons établi, le centre de courbure géodésique de AB.

Ainsi, lorsque des droites sont normales à une surface (S) et forment une congruence dont la surface focale est constituée par les deux nappes de la surface des centres de courbure de (S), les arêtes de rebr^oussenient des développables que Von peut obtenir avec ces droites engendrent deux familles de géodésiques situées respectivement sur les deux nappes de la sui^face des centres* Les courbes parallèles qui coupent à angle droit Vune de ces familles de géodésiques ont leurs centimes de courbure géodésique situés sur Vautre nappe de la surface des centres.

Cette proposition si générale, sur laquelle nous reviendrons plus loin, permet de démontrer directement l'un des beaux théorèmes que la Géométrie des surfaces doit à M. Weingarten. Pour le moment, nous en déduirons seulement le corollaire suivant.

Nous avons considéré les géodésiques normales à AB. Dans le plan et, par conséquent, pour les surfaces développables, la définition de la courbure peut se rattacher au point d'intersection de deux géodésiques normales infiniment voisines. On n'obtiendrait rien en essayant, pour une surface quelconque, une généralisation dans cette voie; car, en modifiant la définition de la sui^face à une

Uù MVKE \ I. — CIIUMTRE VI.

di^ta^ce finie de la courbe AB, on change complètement le cour^ et les intersections successives des lignes géodésiques. Mais on peut opérer de la manière suivante.

Traçons ( fiff* 58) les géodésiques successives MH, M'H'

normales à la courbe AB, et la tangente MR en M à la géodésique MH. Si Ton mène à la seconde géodésique M'ff ime tan-

Kia. 5S.

gente PI dont le point de contact sera choisi par la condition qu'elle rencontre MR, il est clair que le point d^mterseclion C des deux droites sera le centre de courbure géodésicjue de rare MM^ Car, dans la congruence formée par les tangentes aux géodésiques, le point C, étant l'intersection de deux droites infiniment voisines, sera le second point focal de MR.

Quand la surface devient plane, la construction précédente se réduit à celle qui donne le centre de courbure par l'intersection de deux normales infiniment voisines (*).

Si Ton construit les différentes géodésiques M^H^ voisines de MH, le lieu du point P relatif à chacune d'elles sera évidemment celle des courbes conjuguées de toutes ces géodésiques qui passe au point M.

( ' ) Celte coaslruclion du centre de courbure géodésique est due à M. Beltrami. Voir le Mémoire intitulé Ricerche di Analisi appîicata alla Geometria {Journal de Battaglini, t. II; iS6'|).