LA COURBURE GÉODÉSIQUE

Dans le cas d'une ligne de courbure, cette conjuguée des géodésiques normales coïncide avec la ligne de courbure elle-même. Nous avons donc le théorème suivant :

Le lieu des centres de courbure géodésique d\ine ligne de courbure est celle des développées de cette courbe qui est V enveloppe des nornicdes à la courbe situées dans le plan tangent à la surface, ou, ce qui est la même chose, qui est V arête de rebroussement de la déi^eloppable enveloppée par les plans tangents à la surface en tous les points de la ligne de courbure,

638. Si la ligne de courbure a son rayon de courbure géodésique constant, la développée précédente devra se réduire à un point et, par conséquent, la ligne de courbure devra être située sur une sphère coupant la surface à angle droit.

Cette dernière conséquence a été déjà signalée par M. Ribaucour (^). Elle a permis à cet habile géomètre de donner une solution géométrique d'une question déjà résolue analytîquement par M. 0. Bonnet (-) : Déterminer toutes les surfaces pour lesquelles toutes les lignes de courbure ont leur courbure géodésicjue constante.

Il résulte, en effet, de la remarque faite par M. Ribaucour que les lignes de courbure de chaque famille devront être sur une série de sphères coupant la surface à angle droit. Comme les sphères qui contiennent deux lignes de courbure appartenant à des familles différentes se coupent nécessairement à angle droit, nous aurons en premier lieu à résoudre le problème suivant :

Déterminer deux familles de sphères jouissant de la propriété cjue chac/ue sphère de l'une des familles coupe à angle droit toutes celles de Vautre,

On connaît la solution de cette question et Ton sait que, par une inversion réelle, on peut toujours amener l'une des familles à être composée, soit de sphères concentriques ou de plans parallèles,

(*) Ribaucour, Sur la théorie des surfaces {Bulletin de la Société philomathique, p. 24; iS^ii).

( = ) 0. Bonnet, Mémoire sur la théorie des sur/aces applicables {Journal de l'École Polytechnique, XLTP Cahier, p. i32 et suivantes; 1867).

soit Je plans passant par une droile. Dans le premier cas, la surface, étant coupée à angle droit par une série de sphères concentriques ou par une série de plans parallèles, ne peut être qu'un cône ou un cylindre. Dans le second cas, la surface, étant coupée à angle droit par tous les plans qui passent par une droite, est nécessairement une surface de révolution, admettant cette droite pour axe. Nous avons donc le résultat suivant :

Les seules surfaces dont toutes les lignes de courbure aient leur courbure géodésique constante sont les suif aces de i^évolation, les cônes, les cylindres et les transfoinnées de ces surfaces par inversion,

639. Nous aurons, dans ce qui va suivre, à nous appuyer sur le théorème de Green qui donne la transformation d'une intégrale curviligne en une intégrale double. Nous allons d'abord présenter quelques remarques sur ce théorème et ses applications à la théorie des surfaces.

Considérons une portion de surface à connexion simple, limitée par un contour A.VBB' {fis^ ^O)^ ^^ ^^'^^

f[Mdic-\-^dv)

une intégrale relative à ce contour, que l'on supposera parcouru dans le sens de la flèche.

Supposons que les fonctions M et N de u et de r restent finies, uniformes et continues et qu'elles admettent des dérivées pour tous les points à l'intérieur du contour. Le théorème de Green nous apprend que l'intégrale simple précédente peut être remplacée par une intégrale double relative à toute l'aire limitée par ce contour. Les remarques suivantes conduisent à ce résultat par la \oie qui nous parait la plus naturelle.

Le caractère essentiel d'une intégrale double, d'une fonction de surface, est évidemment le suivant : si l'on décompose par des sections la surface en deux ou plusieurs parties, l'intégrale totale est la somme de celles qui sont relatives à ces diverses parties. Or il est aisé de voir que cette propriété appartient à notre intégrale curviligne; car, si l'on découpe Taire en deux parties par la ligne AHB, l'intégrale relative au contour primitif A.VBB' est la somme