L\ COURBURE GÉODÉSIQUE

des intégrales relatives aux deux contours partiels A.VBHA, AHBB'A que l'on peut former avec AB. En continuant ainsi à effectuer des sections et à décomposer les contours, on verra que rintégrale primitive peut être remplacée par la somme des intéo^rales relatives à des contours infiniment petits, parcourus dans le

Fig. 09.

même sens que le contour primitif. Or il est très aisé de montrer que de telles intégrales curvilignes sont proportionnelles à Faire du contour auquel elles se rapportent.

Considérons, en effet, un contour infiniment petit mnp {fis- ^^)î 1^0^'s commencerons par supposer que les courbes coor-

Fig. 60.

données qui se croisent dans son intérieur forment un système de mailles analogue à celui que l'on obtient dans le plan avec les coordonnées de Descartes. Alors les coordonnées u et r varieront infiniment peu dans l'intérieur du contour, et, si Uq^ Vq désignent les valeurs de ces coordonnées pour un point A de l'intérieur,

les diflerences u — //o^ ^' — ^'o seront infiniment petites pour tous les points à Tintérieur du contour. C'est ce qui n'aurait pas lieu si l'on emplovail, par exemple, des coordonnées polaires ayant leur pôle en A; v désignant Tangle polaire, cette coordonnée prendrait toutes les valeurs possibles àTintérieur du contour.

Puisque les diflerences u — Uq^ c — To sont infiniment petites, on pourra développerai et N par la série de Taylor. On aura

rindlce o indiquant les valeurs des fonctions pour le point A. Par conséquent, on aura

^ (M du 4- N dv) — M(i I du— ( —j j {u~ Uq) du ^ (^ -^ \ / (p ~ Po ) du

les termes non écrits n'a\antj on le reconnaîtra aisément, aucune influence sur le résultat final parce qu'ils sont infiniment petits par rapport à Taire comprise à Fintérieur du contour.

La pi^emière, la deuxième, la quatrième et la sixième intégrale de la formule précédente sont évidemment nulles quand on les étend à tout le contour. Il nous resteMonc à examiner seulement les deux termes

Or on a

('Ji)^/(. - P„) du - (g )J{u - u.) d..

< 7) j { u -^ u^) dv^ =z -^ j [V ^ t'o ^ ^^« = / / <^^" ^^*''

rintégralc double étant étendue à toute Paire limitée par le contour. On peut donc écrire

Il suit de là que l'intégrale curviligne primitive peut être remplacée par rintégrale double dont l'élément est le second terme