L \. COURBURE GÉODÉSIQUE

de la formule précédenle, et Ton a

C'est la formule de Green (* ).

La démonstration précédente est évidemment inférieure sous le rapport de la rigueur à celle que l'on donne habituellement et que Ton pourra consulter, par exemple, dans le Cours de M. Hermite (-)^ mais elle offre l'avantage de bien faire saisir la raison de cette transformation si curieuse d'une intégrale simple en une intégrale double; elle nous montre aussi que, s'il existe des points où toutes les courbes coordonnées d'un sjstème viennent se croiser, il faudra les entourer d'une petite courbe, et l'intégrale curviligne primitive sera égale à la somme des intégrales relatives à ces courbes infiniment petites, augmentée de l'intégrale double étendue à toute la portion de l'aire qui est extérieure à ces courbes.

640. Appliquons le théorème de Green à Féquation qui donne le rayon de courbure géodésîque

(9j — = doj -r- r du -r- r^ dv.

(^) D'après la manière même dont on a obtenu cette formule, on déterminera sans difliculté le signe qu'il faut donner, dans Tintégrale double, à l'élément cludv. 11 résulte, en effet, des équations (7) que, si Ton considère, par exemple, l'élément de surface compris entre les courbes de paramètres z/, 11 h- duj v, r 4- dv, on a

du dv = 7 / ( « dv — V du),

l'mtégrale curviligne s'appliquant au contour qui limite cette aire, parcouru dans le même sens que le contour primitif. De là on déduira facilement la règle suivante.

Définissons comme sens positif sur chacune des courbes coordonnées le sens dans lequel augmente la coordonnée qui demeure variable sur cette courbe. L'élément dudv devra être positif si, pour un point à l'intérieur de cet élément, la rotation qui amène la partie positive de la courbe de paramètre v du côté de la partie positive de la courbe de paramètre u est de même sens que la rotation autour du contour total; il sera négatif dans le cas contraire.

(») Hermite, Cours autographié de la Faculté des Sciences, 3« édition, 8" Leçon ; 1887.

,>r^ LIVRE VI. — CHAPITRE VI.

Nous aurons donc

fdoj — ( ^-^ —— hrdii-r- ri dv),

les intégrales étant étendues atout contour fermé. On a, d'ailleurs, en vertu de la formule (8),

J^rdu ^ r,d.)^Jf(^^^ - ^£)du dç.

On est ainsi conduit à la relation fondamentale

Jd. -f f^ =Jf{% - S ) ^« d.,

où l'on peut transformer le second membre, en employant Texpressîon delà courbure totale donnée au n° 496. On obtient ainsi la formule entièrement géométrique

h-ffrIS

l'intégrale double étant étendue à toute Taire comprise dans le contour et rfo- désignant l'élément de cette aire, pris avec le signe qui lui appartient (* ).

Cette équation, où figure le rayon de courbure géodésique, a été donnée pour la première fois par M. Bonnet (-). Toutes les quantités qui y figurent sont parfaitement définies; to est l'angle de la tangente au contour supposé parcouru dans le sens direct avec Taxe des x du trièdre (T); le rayon Og doit être considéré comme positif ou négatif suivant qu'il est porté dans le sens correspondant

à l'angle co -H - ou en sens contraire. Elle ne peut cesser d'être

vraie que s'il est impossible de rapporter l'intérieur de l'aire à

(») Voici comment on déterminera ce signe. Soient A un point quelconque de la surface à l'intérieur de d^ et (T) le triédre relatif à ce point. On peut considérer dz comme un petit élément situé dans le plan des xy de ce trièdre. Si l'on tourne dans ce plan autour de Torigine et dans le même sens que sur le contour limite, il faudra donner à d^ le signe -h ou le signe — suivant que la rotation se fera de l'axe des a? vers l'axe des y ou en sens contraire. C'est la règle suivie habituellement, d'après Gauss et Môbius, pour fixer le signe d'une aire.

( = ) O. Bo>'NET, Mémoire sur la théorie générale des surfaces ( Journal de l'École Polytechnique, XXXII' Cahier, p. 124 ; 18^8).