LA COURBURE GÉODÉSIQUE. I
un syslème de coordonnées satisfaisant à toutes les conditions énoncées dans la démonstration du théorème de Green. Nous allons en faire différentes applications.
6-41. Considérons d'abord un triangle géodésique ABC (y?^. 6i). Si le contour ne présentait pas les points saillants A, B, G, l'intégrale / d(^^ serait évidemment égale à a?:; car la tangente a fait un tour complet quand on revient au point de départ. Pour
Fis. 61.
avoir la valeur de celte intégrale, il faudra donc retrancher de 27: les angles dont la tangente tourne en A, B, G, c'est-à-dire -rt — A,
:: — B, -n — G. Gomme la courbure — est nulle en chaque point
du contour, la formule (11) nous donne
G'est le théorème célèbre de Gauss.
La démonstration précédente suppose évidemment que le triangle géodésique suffît à limiter une portion de la surface, ce qui n'a pas toujours lieu dans les surfaces à connexion multiple, telles que le tore. Mais on pourrait objecter encore que, peut-être, toutes les conditions indiquées pour l'application du théorème de Green ne se trouveront pas réalisées. Pour écarter toutes ces difficultés, on peut remarquer avec M. Bertrand que le théorème de Gauss est nécessairement vrai pour un triangle géodésique fini dès qu'ir'^est établi pour un triangle infiniment petit. Si l'on décompose en effet, par des sections géodésiques, le triangle ABC en triangles plus petits, on reconnaîtra que l'égalité relative à ce
triangle résulte de Faddition de toutes celles qui se rapportent aux triangles partiels. II résulte de cette remarque que le théorème de Gauss est toujours vrai dès que le triangle géodésique suffît, à lui seul, à limiter une portion continue de la surface, ne contenant aucun point singulier dans son intérieur; car toutes les conditions supposées dans la démonstration sont évidemment \érîfîées pour des triangles suffisamment petits limitant une aire qui ne renferme aucune singularité.
La démonstration précédente s'applique également à un polygone dont les côtés sont des lignes géodésiques; et elle nous montre que la courbure totale dhtne portion de la surface limitée par un polygone dont les côtés sont des lignes géodesiques est égale à V excès de la somme des angles de ce polygone sur autant de fois le nombre r. quil y a de côtés nioins deux. Au reste, cette proposition plus générale est un simple corollaire du théorème de Gauss et peut s'en déduire par la décomposition du polygone en triangles.
Il est inutile de faire remarquer que le théorème de Gauss peut être envisagé comme une belle généralisation de la proposition d'Albert Girard relative à Taire du triangle sphérique. Si on l'applique, en effet, à une surface de courbure constante et égale a l'unité, on reconnaît immédiatement qu'il donne l'aire d'un triangle géodésique en fonction des angles de ce triangle; et l'expression ainsi obtenue est identique, comme il fallait s'y attendre, à celle que Ton connaît depuis longtemps pour le triangle sphérique. Le même théorème, appliqué à une surface de courbure constante mais négative, nous montre que, dans toute surface de ce genre, la somme des angles d'un triangle géodésique est inférieure à deux droits, et que le rfe/?c/^ mesure précisément l'aire du triangle géodésique. Nous aurons Toccasion de revenir sur ces remarques.
642. Nous allons maintenant indiquer une application d'une nature toute différente, qui nous conduira à une expression nouvelle de la courbure géodésique. Soit AB (y?^. 62) un arc de courbe quelconque; menons les géodésiques AC, BC tangentes en A et B. Nous formerons ainsi un contour ABC auquel on pourra appliquer la formule générale.
