HF

Si l'on substitue cette expression dans l'équation (9) et si l'on désigne, pour abréger, par p' et cf les dérivées de ç, on mettra Téquation à intégrer sous la forme

(») Par exemple, où donaera U arbitrairetneat et l'on déterminera N par une quadrature.

LES CERCLES GÉODÉSIQUES. l45

En introduisant une fonction auxiliaire 9 dont nous désignerons les dérivées par/? et q^ on peut évidemment remplacer Téquatior précédente par le système suivant :

Or ces deux équations ne contiennent cp que dans le rapport ^ •

On pourra donc éliminer ce rapport et Ton sera ainsi conduit à Téquation du premier ordre pour 6

E(\ -4- <7 )2 -^ 9.F( \ -^ ^ )( M -f-p ) -^ G(M -^pY i^i EG — F^ "~^'

(|ui se réduit à celle que nous avons donnée pour les lignes géodésiques quand on y fait M = N = o.

Il suffit de se rappeler les résultats établis au Livre V(CIiap. Y") et Ton reconnaîtra immédiatement que l'équation précédente exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la différence

ds' — ( dd -T- yi du -h N f/c )2,

considérée comme une fonction homogène de du et de rft', soit un

carré parfait

\ ce du ^ 3 di?)-;

il résulte d'ailleurs des formules (12) que ce carré aura pour expression

Nous sommes donc conduits 11 la proposition suivante :

Pou/' obtenir toutes les familles de courbes (F), // subira de déterminer une solution quelconque de r équation aux dérii'ées partielles (i3). Cette solution 6 éta/it trouçée, le carré de Vêlement linéaire pourra se mettre sous la forme

\ i.\) ds' = ( ^0 ^- M du H- N di^ l'-H- (st d.i -h ^ dç)^,

et V équation différentielle

a du -T- ^ dv —

définira Vune des familles cherchées,

D. — JIï. 10

En d'autres termes, le problème proposé est équivalent au suivant :

Mettre Vêlement linéaire de la surface sous la forme

in) cIs'- = (^e -4- M du -+■ N d^^y -i- a^ ^6^

Les courbes 9, = const. seront celles qu'il s'agissaît de déterminer.

650. Cette proposition est évidemment analogue à celle que nous avons donnée au n° 531, relativement aux lignes géodésiques. Elle donne lieu aussi à un grand nombre de conséquences, toutes semblables à celles que nous avons développées plus haut (Livre V, Chap. V). Nous allons les indiquer rapidement, sans apporter à cette étude autant de soin et de rigueur que dans le cas plus important des lignes géodésiques.

On peut démontrer d'abord, par l'application pure et simple de la méthode exposée au n° 532, que, si Ton a obtenu une solution h de l'équation (i3) contenant une constante arbitraire a, on pourra prendre, dans la formule (i5),

et, par conséquent, l'équation générale des courbes (F) sera

Nous reviendrons plus loin (n*^651) sur ce sujet; et nous allons maintenant montrer comment on généralise les propriétés de minimum relatives aux lignes géodésiques.

Soit (F^) l'une des courbes (F) et soient A et B deux de ses points j suffisamment voisins. Si Von considère toutes les courbes {}L) joignant ces deux points j pour lesquelles V intégrale

a même valeur que pour la courbe (F'), celle de ces courbes dont Varc compris entre A é?^ B sera le plus petit possible sera précisément la courbe (F').

LES CERCLES GÉODÉSIQ L'ES. l47

Imaginons, en effet, que Ton considère la famille formée par toutes les courbes (F) qui passent en A et la fonction correspondante B dont les dérivées sont liées à celles de o par les équations (12)- On pourra mettre l'élément linéaire de la surface sous la forme

, ,^ ) ^^2 = (^ô -r- M du "f- N ^P^)2^ 72 doi.

Par des raisonnements analogues à ceux du n** 518, on montrera que l'on peut constituer autour de A une région telle que, par le point A et par un point B de cette région, il passe une seule courbe (F) située tout entière dans la région. On obtiendra cette région, par exemple, en portant sur toutes les courbes (F) une longueur égale ou inférieure à une limite /. Ce point étant admis, on peut répéter rapidement la démonstration du n**32i.

Pour une courbe quelconque (K) joignant A à un point B de la région, l'arc s est donné par la formule

s= f /(^Ô -h M du 4- N dç)^ -H- ff2 c/rf-.

On a donc, si la courbe (K) est distincte de (F'),

5 > / {d^-i-Mdu-h^di?) ou

et, si la courbe (K) se confond avec (F'),

(19 ) s'= 1 (J6 -h lAI du H- N f^P) = 6b— ÔA -l- / (M du -^ .\ di'}.

Mais, par hypothèse, nous ne considérons que les courbes (K) pour lesquelles l'intégrale

(■ao) / (Mdu-^'^d^^)

a la même valeur que pour la courbe (F'). La comparaison de

l4iJ LIVRE VI. — CHAPITRE YII.

l'inégalité (18) et de l'équation (19) nous donne donc

et la proposition que nous avions en vue est ainsi démontrée.

On peut déduire des formules précédentes une autre conséquence. N'assujettissons plus l'intégrale (20) à avoir une valeur déterminée, mais considérons, parmi les courbes (R) réunissant les points A et B, celles qui ont la même longueur que (F^). On

aura alors

et la comparaison des formules (18) et (19) montre alors que /'///-

téofule

^li

serci plus grande pour la courbe (FM que pour toute autre courbe de même longueur réunissant les points A et B.

On peut donner une forme différente à ces résultats. Menons par les points A et B une courbe fixe quelconque ADB {fig* 67 ).

Fig, <37.

L'intégrale (20), relative à toute autre courbe AHB unissant les mêmes points, ne diffère que par une constante de celle qui est relative au contour entier AHBDA. Or l'intégrale curviligne relative à ce contour fermé peut être remplacée par Tintégrale double

étendue à toute Taire que limite le contour. On peut donc transformer comme il suit les propositions précédentes :

Soient A et B deux points suffisamment voisins , pris sur une courbe (F), et ADB une courbe fixe, mais quelconque, unissant les deux points. La courbe (F) est la plus courte parmi toutes

nulles qui unissent les mêmes points et donnent à Vintégrale Q kl valeur qu^ elle prend dans le cas de la courbe (F). On peut dire aussi que, parmi toutes les courbes de même longueur unissant les deux points, la courbe (F) est celle pour laquelle Vintégrale Q est maximum,

631 • Nous sommes maintenant en mesure de résoudre les deux questions suivantes :

Étant donnée une courbe quelconque ADB, tromper, parmi les courbes AHB joignant ses extrémités et pour lesquelles une certaine intégrale double

étendue à Paire ADBHA, a une valeur donnée, celle qui est la plus courte;

ou encore

Tromper parmi toutes les courbes de même longueur unissant les points A et ^ celle pour laquelle Vintégrale double précédente est maximum .

On cherchera toutes les courbes dont le rayon de courbure iipodésique est déterminé par la formule

I j du dv , ^, { ?ji) — = k =î =X:F(m, r),

ou k désigne une constante arbitraire. On construira celles de ces courbes qui passent par les points A et B; et l'on déterminera la constante A^ par la condition que l'intégrale double Q dans la première question, ou la longueur de l'arc dans la seconde, ail la valeur donnée a priori. Les courbes obtenues donneront la solution cherchée. Cela résulte presque immédiatement des propositions établies, La règle précédente est d'ailleurs celle à laquelle conduit l'application régulière des méthodes du Calcul des variations. Le lecteur rétablira aisément le calcul que nous omettons ici. Nous allons indiquer seulement comment on pourra déterminer les courbes et exprimer les conditions indiquées.

ï5o LIVRE VI. — CHAPITRE VII.

On écrira d'abord l'équation aux dérivées parlielles <'23) Gf/?-f-Â'M)2^'2F(jo~-;tMj(^-r-/rN)4-E(^-t.A'N)2=EG-Fs,

que l'on obtient en remplaçant M, N par A'M, A'N dans l'équation (i3).

Supposons que l'on en connaisse une solution 6 contenant la constante arbitraire a. On pourra mettre l'élément linéaire delà surface sous la forme

Sui\ant la méthode du n° o32, différentions en faisant varier seulement les constantes et et /r . Nous aurons

i r/0 -i- A(M du 4- N ^tO]p^ ^a ^- (^ J. 4- M du ---^dv\ 8^-1

La différentielle d^i, considérée comme fonction de du et de dç> doit diviser la première ligne. Comme elle ne peut diviser le premier facteur, elle doit nécessairement diviser le second, et cela, quels que soient oa, ûA\ En répétant le raisonnement du numéro cité, on pourra prendre

et il restera l'équation nouvelle

(25 ) df. -H M du 4- N ^P = X r/^,

où A désigne un facteur de proportionnalité. On en déduit la conséquence suivante.

Si l'on se déplace sur une des courbes intégrales (64 = const. ) entre deux points A et B, ^ demeurera constante. On aura donc

dj^ 4-M<ia4-N(^t; = o et, par suite,

L'intégrale simple qui figure dans le premier membre est égale

LES CERCLES GÉODÉSIQ L'ES. l5l

^ Q /j / étant une constante connue. On a donc

On aura de même, s désignant Parc AB,

s = r [^6 -h k(M du -h N dv)] = f ^^6 — k d^\ ou encore

Ces expressions de 5 et de û permettront d'écrire simplement les équations de condition qui se présentent dans les deux problèmes proposés plus haut,

6o2. L'application la plus intéressante des propositions générales précédentes se rapporte au cas où l'intégrale double Û est celle qui donne l'aire d'une portion de la surface. On doit alors déterminer M et N par l'équation

(28} H = \JEG — F^ = -r ,

^ du Ov

et la formule (22) nous donne

Les courbes correspondantes ont leur courbure géodésique constante. Nous les nommerons, pour abréger, des cercles géodésiques (^). Des résultats qui précèdent nous déduisons les corollaires suivants :

Parmi toutes les courbes de même longueur unissant deux

( ' ) Quelques auteurs, au contraire, appellent cercles géodésiques les courbes que l'on obtient en portant des longueurs constantes sur toutes les géodésiques passant par un point. Comme le cercle, ces courbes sont toujours fermées et elles coupent à angle droit tous leurs rayons géodésiques; mais elles n'ont pas, en général, leur courbure géodésique constante. Les lignes à courbure géodésique constante, auxquelles nous réservons ici le nom de cercles géodésiques, ne sont fermées que sur les surfaces à courbure constante. Le lecteur l'établira en cherchant l'équation approchée d'un cercle géodésique de courbure infiniment petite-

points A et B, celle qui, jointe à une courbe fixe ADB {fig. 67), limite la plus grande étendue de la surface est un cercle géodésique.

Parmi toutes les courbes unissant les mêmes points et limitant une étendue donnée de lasurfice^ la plus courte est un cercle géodésique,

6o3. Pour donner au moins une application de la théorie générale qui précède, nous allons montrer que l'on peut déterminer les cercles géodésiques de toutes les surfaces qui sont applicables sur les surfaces de révolution (M.

On a alors, pour l'élément linéaire, l'expression

et Téquation no) devient

Il = oiu)= --.

* ^ Ou ôv

On peut donc prendre

M = o, N = /?(«) du = à{u).

L'équation à intégrer (28) prend la forme

Posons ici encore, comme au n° 579, il viendra

ce qui donnera

( » ) Voir, à' ce sujet, les deux articles suivants :

MiNDiNG, Zur Théorie der Curven kûrzesten Umrings, bel gegebenem Flàcheninhalt, au/ krummen Flàchen {Journal de Crelle, t. LXXXVI, p. 279; 1878).

Darboux, Sur les cercles géodésiques {Comptes rendus, t. XCVI, p. 54; i883).

LES CERCLES GÉODÉSIQUES. I j'i

Si Ton dlfFérentie par rapport à a, on aura Féquation générale des cercles géodésiques

Dans le cas des surfaces à courbure constante et égale à Tunité,

on peut prendre

cp( w) = sintt,

et l'on trouve, en effectuant la quadrature,

\/i -H /c2 — a-s\xi{ç — rû)siiizi-f- acosw = k.

C'est l'équation que l'on obtient immédiatement si l'on suppose que la surface soit une sphère de rayon i .

6o4. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant quelques propositions très simples relatives aux cercles géodésiques et aux systèmes isothermes.

Considérons d'une manière générale une surface rapportée à un système de coordonnées orthogonales, et soit

la formule qui donne l'élément linéaire. Si l'on désigne respectivement par p^; et p^, les rayons de courbure géodésique des arcs Kdu et Ce^ç», on aura

(33) i==L^, Jl=J^.

^ ^ p», AC du^ Pu AG (Jp

Supposons d'abord que le système soit isotherme* On pourra

prendre

A = C = X, et il viendra

d'où Ton déduit

(35) VPftZ+W=o.

' du ov

En divisant par \ et posant

dsa —IdU) dsv = ^ dv,

on peut donner à cette équation la forme suivante

qui est entièrement géométrique et qui exprime que les dérivées des courbures géodésiques des deux courbes coordonnées suivant la tangente sont égales au signe près.

Cette propriété, il est aisé de le reconnaître, caractérise les systèmes orthogonaux et isothermes; car, si l'on remplace dans l'équation précédente dsu par Kdu^ ds^ par Gû?(^, p„ et p^ par leurs expressions (33), il vient

logp =o;

d'où l'on déduit

A nii)

équation caractéristique des systèmes isothermes.

L'équation (36), rapprochée de la remarque précédente, donne naissance aux deux conséquences suivantes :

r^ Si une famille de courbes isothermes est composée de cercles géodésiques, il en est de même de la famille isotherme formée par les trajectoires orthogonales.

Supposons, en effet, que cette famille soit formée par les courbes de paramètre r. Alors p^ sera une fonction de ^; on aura

du °'

et la formule (35) nous donnera

Donc p^ sera une fonction de m, ce qui démontre la proposition.

2'' Si des cercles géodésiques forment deux familles de courbes se coupant à angle droit, ces deux familles sont isothermes.

Eq effet, réquation (36) est alors vérifiée, et nous venons de démontrer qu'elle caractérise les systèmes isothermes.

Il nous reste à indiquer quelle est la forme de Télément linéaire pour de tels systèmes. Posons

Les équations (33) nous donneront

du ~ ' ~1)7" "" ' d'où, en intégrant, on déduit

Ainsi l'élément linéaire est exprimé par la relation

(38) ds -(Uh-V)2'

dont la forme seule suffit à établir qu'il n'existe pas, en général, sur une surface donnée apj^iori, deux familles orthogonales composées de cercles géodésiques.

6§S. Nous avons déjà déterminé (n° 638) les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont des cercles géodésiques. Nous signalerons ici encore une question non résolue, analogue à celle que nous avons proposée relativement à l'élément linéaire de M. Liouville : Rechercher toutes les surfaces dont Vêlement linéaire peut être ramené de divej^ses manières à la forme (38), 6 est-ci-dire qui admettent plusieurs couples de familles orthogonales composées de cercles géodésiques.

Au nombre de ces surfaces on doit trouver évidemment toutes celles dont la courbure totale est constante. Nous nous contenterons de rappeler ici une proposition qui a été démontrée par MM. 0. Bonnet et Catalan :

Étant données deux droites!) et A^ polaires Vune de Vautre par rapport à la sphère , tous les cercles dont les plans passent par A coupent à angle droit les cercles dont les plans passent

r>ij LÏVRE VI.— CHAPITRE VII. — LES CERCLES GÉODÉSIQI'ES.

pffr D. Les deux familles de cercles orthogonaux aii} si déterminées sont les plus générales que Von puisse ti-acer sur la sphère.

On démontre immédiatemenl cette proposition au moyen du lenime suivant :

Quand deux cercles d'une sphère sont orthogonaux ^ le plan de chacun d^eux contient le pôle du plan de Vautre par rap* port à la sphère*

Ces systèmes orthogonaux composés de cercles ont déjà été employés aux n°^ 206 et 207. On pourrait les retrouver ici en exprimant que l'élément linéaire (38) convient à une surface dont la courbure est constante. On est ainsi conduit à une équation qui contient, en même temps que les fonctions U et V, leurs dérivées des deux premiers ordres et qui permettra de déterminer les expressions les plus générales de ces fonctions U et V.