CHAPITRE VIII

Du système de coordonnées polaires dans une surface quelconque. — Développement suivant les puissances de u de la courbure tolale et de la quantité À qui figure dans l'expression

c/a- = du- H- X= dv^

de l'élément linéaire. — Distance géodésique de deux points quelconques?. — Son carré est développable en série. — Calcul des premiers termes de celtr série. — Triangles géodésiques infiniment petits. — Théorème de Gauss. — Expression de la surface du triangle. — Application des résultats précédent*^ à la détermination de quelques infiniment petits relatifs aune courbe quelconque tracée sur la surface. — Expressions de l'arc approchées jusqu'aux termes du cinquième ordre. — Étude d'une question posée par M. Cliristoffel : rechercht' des surfaces pour lesquelles il y a, entre les siv éléments d'un triangle géodésique, une ou plusieurs relations indépendantes des coordonnées des six sommets. — Travaux de MM. Weingarten et von xMangoldt. — Les surfaces à courbure constante sont les seules pour lesquelles il y ait plus d'une relation entre les six éléments; et le nombre de ces relations est égal à trois. — Le-s surfaces applicables sur des surfaces de révolution sont les seules pour lesquelles il y ait une relation, et une seule, entre les six éléments. — Démonstration 4le ce dernier résultat par la considération des triangles géodésiques infiniment aplatis.

6S6. Considérons toutes les géodésiques passant par un point C d'une surface donnée {fig^ 68). Nous avons vu [II, p. 407] que, dans une région suffisamment petite s'étendant autour du point C, chaque point A de la surface est bien déterminé par sa distanG<* géodésique u = AC au point C et par l'angle \? que lait en C ta géodésique CiV avec une courbe fixe quelconque CH, choisie pour marquer l'origine des angles.

On sait qu'avec ce système de coordonnées l'élément linéaire est défini par la formule

et que la courbure totale de la surface a pour expression

l58 LIVRE VI. — CHAPITRE VIIÏ.

Si Ton porte des longueurs égales sur toutes les géodésiques passant eu C, on obtient une courbe fermée entourant le point C. L'élément de l'arc de celte courbe a pour valeur

ds — 1 cU\

On voit donc que \ doit devenir nul avec w, et, de plus, en assimilant la surface à un plan dans la région voisine du point C, on reconnaît que le rapport de \ à u doit tendre vers l'unité

Fig. 08.

lorsque u diminue indéfiniment. Mais, pour établir ce point en toute rigueur et surtout pour obtenir des résultats plus complets sur la forme de \ nous devons donner quelques développements qui sont d'ailleurs nécessaires pour la suite. Soit

l'expression de l'élément linéaire rapporté à un système de coordonnées quelconques/? et q, Si/?i, q^ désignent les coordonnées du point C, nous admettrons que E, F, G sont développables suivant les puissances de p — p,, q — ^,. Ces conditions sont é\idemment remplies, avec une infinité de systèmes de coordonnées, pour toute région de la surface ne présentant pas de singularité. Pour plus de simplicité, substituons aux coordonnées /?, q les différences p—pi, q — q^. De cette manière, les deux coordonnées du point C deviendront nulles et E, F, G deviendront développables en séries ordonnées suivant les puissances de p et de q\ ces séries servant convergentes au moins tant que les modules de p et de q n atteindront pas certaines limites déterminées.

Ces hypothèses étant admises, nous avons vu au n° S18

LES TRIANGLES GÉODÉSIQTJES ET LE THÉORÈME DE G.VUSS. l5g

[II, p. 4o8] que, si l'on trace une géodésique passant par le point (jOo, qo)^ les coordonnées/?, q d'un point quelconque de cette ligne sont définies par les équations

où les coefficients a, a , a/', . . . , p, p^, p'^, . . . sont des séries, ordonnées suivant les puissances de po^ Çq et convergentes tant que les modules de ces variables sont inférieurs à des quantités déterminées. Quant aux quantités/»', q'^ elles ont pour expressions

6 désignant Parc de la géodésique compté à partir du point initial (/?o, qo) et (-^j 5 (-^j indiquant les valeurs initiales des

dérivées de pet de q considérées comme fonctions de cet arc. Nous avons remarqué [II, p. 4^9] que l'on a

(6) E0/P'2+ 2F0jt?'^'-i- Gog'2= 82,

E**, F*', G^ étant les valeurs de E, F, G pour le point initial (/?o, ^tq). D'après cela, les valeurs de /?, q données par les équations (4) doivent être regardées comme des séries ordonnées suivant les puissances des quatre variables />o, 5^0, />S 5'^ séries qui sont convergentes quand les modules de ces variables sont inférieurs à certaines limites déterminées (*).

Ces résultats étant admis, supposons d'abord que le point (i^O) 5^0) coïncide avec le point G; c'est-à-dire faisons

Pq~ qo= o.

Alors la géodésique deviendra l'une de celles qui passent au point G, GB par exemple; l'arc 9 deviendra la variable que nous

(0 Cette proposition résulte de la théorie des équations aux dérivées partielles. Car les valeurs de jo et de g données par les formules (4) peuvent être considérées comme des fonctions des trois variables j^^, q^, s définies par la double condition de satisfaire aux équations (16) du tome II, p. 408, et de se réduire respectivement à jc?g et à q^ pour s=o. Il résulte alors de la théorie générale que les séries ( 4 ) seront convergentes pour des valeurs de p^, q^ et de 5, c'est-à-dire de p' et de q\ dont les modules n'atteindront pas certaines quantités déterminées.

avons appelée u\ et, si Ton suppose que CH soit la courbe de paramètre q passant en C, l'angle 9 sera défini par les formules déjà employées [I, p. i54]

^'^ ) . v/EoGo-F?r/

\ /Eov/Eoy'^+ 'iFoy ^'H- O^q''^

où Eo, Fo, Go désignent maintenant les valeurs que prennent E, F, G au point C. Comme on a aussi

Eo/>'2-f-2Foyy'4- Go^'^= ^r^ on déduit des formules (7)

( Eo/~î-Fog''= /Ë^wcosP,

V/EoGo— F5^'= /EoM sint».

Quant k p elk q^ ils s'expriment en fonction de />' et de q^ par les équations

^•^^ i q =: q'-i- bp'^^-^ ib'p'q' -h b" q'^-h. . .,

que l'on obtiendra en annulant dans les formules (4) les valeurs de Pq et de go.

Au moyen des équations (8) et (9), on peut exprimer p elq en fonction de a et de v et substituer les valeurs obtenues dans l'expression de l'élément linéaire de la surface. Si nous employons d'abord les formules (9), nous aurons des résultats tels que les suivants

IE = Eo -f- Cqp' -f- ej) <7' -}-... , F = Fo-h/o/-H/i^'-l-..., G = Go+ ^0j»'4- ^; çr'-f-. . , ;

puis

i dq=zclq'-^,,,,

les termes négligés contenant tous/?' ou q' en facteur. Il suit de là que Ton peut écrire

(12) <f5S = Eo dp'-^-h 2F0 dp'dq'-h Go dq''^-+- H dp'^-i-'iK dp'dq'-hLdq"^,

LES TRIANGLES GÉODÉSÏQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. ï6l

H, K, L étant des séries qui ne contiendront aucun terme indépendant dey et de q^ .

Si nous substituons maintenant dans la première partie

Eo ^/)'2-f- 2F0 dp' dq'^ Go dq'^-

les valeurs (8) de p' et de q\ elle devient

du'^^u^dç^-.

Comme la différence ^5- — du^ doit contenir dv- en facteur, on aura nécessairement

H ^/?'â t 2K dp' dq'-^ L dq''^ = M dç^\

et Ton reconnaît immédiatement que M sera une série, ordonnée suivant les puissances de 11, dont tous les termes seront au moins du troisième degré par rapport à u^ les coefficients étant des jonctions entières de sinç? et de cosp. De cette manière, l'équation (12) prendra la forme

OÙ Ton aura et, par suite,

les coefficients étant, ici encore, des fonctions entières de sinç> et de cost^. Nous allons obtenir des résultats plus précis en raisonnant de la manière suivante.

657. La courbure totale de la surface, calculée avec les variables primitives p qI q par les formules que nous avons données, est é\idemment une fonction développable suivant les puissances de p et de q. Si Ton y remplace p al q par leurs expressions en u el i', il est clair que Ton obtiendra un résultat de la forme

(lî) ~ ^X^Bu^Ou^'

où le coefficient de u'^ sera un polynôme homogène et de degré // en sinp, cosc^.

Admettons cette conclusion, qu'il serait facile d'établir autrement. Si, dans la formule (2), on substitue les valeurs précédentes D.^ III. u

de A et de RR', on obtient l'identité

(A -i-Bz^-f-Gz^2-f-...}(M-f-Nwâ-+-...) = 2N-r-6P2i-l-...,

d'où Ton déduit, en égalant les coefficients des mêmes puissanccb de u dans les deux membres,

Gh-AP = 2oR

et, par suite,

On voit donc que l'on a définitivement

le coefficient de u^ étant une constante^ qui est égale au sixième de la courbure totale en C changée de signe^ et, dhine manière générale j le coefficient de u^ étant un polynôme homogène d^ ordre n — 3 par rapport à sin ^ et à cos p.

En particulier, les expressions de Q et de R seront

( Q = acost; -f- è sinï^, < i6) ,

( R r= a COS- V -^b' sin- p -h 2 c' sin ç cos t^,

a, bj a\ b\ d étant des constantes d'ailleurs quelconques.

Il nous paraît très intéressant que \ revête une forme aussi particulière, quelle que soit la surface considérée. Il semble, en effet, que l'on pourrait choisir 7s arbitrairement parmi les fonctions qui sont assujetties à l'unique condition de s'annuler avec u. Mais il faut conclure de notre analyse que, si l'expression de \ ne rentre pas dans la forme que nous avons donnée, la surface présentera une singularité au point C.

Avec Texpression précédente de \ la courbure totale sera déterminée par l'équation

(i;) ^ ==-6P~.r2Qîi-h(6P3— 2oR)w2^(i8PQ— 3oS)w3-h..., que l'on obtient en appliquant la formule (2).

608. Nous allons maintenant étudier une autre question et montrer que la plus courte distance géodésique de deux points

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. l63

A et B pris dans la région qui environne le point C {fig-, 68) a son carré déçeloppable en série suivant les puissances entières et positives des coordonnées p^ q et po, q^ des deux points, pourvu que ces deux points soient suffisamment i^approchés de C.

Supposons que po, ?o soient les coordonnées de A. Nous avons vu qu'une géodésique passant par ce point est définie parles deux équations (4). Comme on a, pour des valeurs nulles de p' et de q\

à(p,q) ^ àip'.q')^ '

on peut résoudre ces équations (4) par rapport à />' et à q' et obtenir ainsi pour ces variables des expressions

(i8) p',q'=^{po^ qo,p—po,q — go),

où le symbole P désigne des séries ordonnées suivant les puissances des quatre variables /?oî Çoj p — /'o? ? — ?o ; et il résulte d'ailleurs des propositions générales de la théorie des fonctions que ces séries seront convergentes tant que les modules de ces variables n'atteindront pas certaines limites, déterminées pour chacune d'elles. Par exemple, si aZ désigne la plus petite de ces Kmites, les séries seront convergentes pour toutes les valeurs des variables dont le module sera inférieur à 2 Z. Nous allons montrer que ces séries peuvent être ordonnées suivant les puissances entières de P'i ^^P^-ï ?o ^^ rester convergentes tant que les modules de ces nouvelles variables sont inférieurs à L

En effet, si les modules de p, q, pa^ q^ sont inférieurs à /, ceux des variables anciennes /?oî ^o? P — Poj ? — 5^o sont certainement inférieurs à 2Z et, par suite, les séries (18) sont absolument con-vergentes. On pourra donc grouper comme on voudra les termes de ces séries sans altérer ni la convergence, ni la somme totale de chacune d'elles. D'après cela, réunissons en un seul groupe, dans chaque série (18), tous les termes qui sont du même degré par rapport à jOq, 5^0, p — j[?o, q — 5^0 5 P^^is développons par la formule du binôme les puissances des différences p—po^ q — g^o» Nous aurons ainsi les séries (18) ordonnées suivant les puissances de Pi ?î /?oj ?o et d'ailleurs convergentes, comme il fallait le démontrer.

l54 LÏVRE VI. — CHAPITRE VIII.

Si, maintenant, on porte les valeurs de p\ q' dans la formule (6)

où E^, F^ G<* sont développables suivant les puissances de />o, q^^ on reconnaîtra que 6- est déçeloppable en série convergente ordonnée suivant les puissances de p, q^ po, qo quand les deux points AetB sont suffisamment voisins du point G. Telle est la proposition générale qu'il s'agissait d'établir.

6o9. Imaginons maintenant qu'aux variables/» et q on substitue les coordonnées polaires u et v. Le développement de 6- deviendra une série ordonnée suivant les puissances de u^ Uq et dont les coefficients seront des fonctions entières de sin(^, cosp', sini^^o,

COSPo-

Les termes de degré moindre de cette série s'obtiennent aisément par l'application de la méthode précédente. On trouvera ainsi

(19) b^z:^ U^^IiI — Q.UUoCOS{v — Vq)-^Ù,

Ù contenant les termes du troisième ordre et des ordres supérieurs. Mais on pourrait établir ce résultat par un raisonnement a prioT'i, En effet, lorsque u et u^ deviennent infiniment petits, l'expression de 9- doit se réduire à ce qu'elle est dans le cas du plan, et cette simple remarque permet d'écrire la formule précédente. Pour calculer P, nous nous appuierons uniquement sur l'équation aux dérivées partielles

à laquelle doit satisfaire 9; considérée comme fonction des variables u et P. Le calcul se trouve beaucoup simplifié par les remarques suivantes.

Si Ton fait 2/0 = 0, on a exactement 6^= u'^^ Q = o. Tous les termes de la série û doivent donc contenir u^ en facteur. On démontrera de même qu'ils doivent admettre les facteurs u et %in{v^ç^) et la suite du calcul montre même que ù doit être divisible par u^ul ûn^{ç — Pq). Nous poserons donc

(2t) 68= z^2-f. uI^^UUq COS(p — Pq) -h 2^2 wg sm2(p — Po)4^.

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. lG5

On voit qu'il suffirait de connaître le premier terme de à pour )btenir une expression de 9^ exacte jusqu'au cinquième ordre îxclusivement. Pour déterminer à, nous allons exprimer que 6 est me solution de l'équation (20); mais auparavant il convient de aire un changement de variables.

Posons

22) ucosv = ûs, usmç=jr.

1 est très facile de donner la signification géométrique des nouvelles variables x et y. Faisons correspondre, en effet, à chaque )oint M de la surface un point M' du plan tangent en C par la conitruction suivante. Sur la tangente en C à la géodésique CM, porons une longueur CM' égale à l'arc CM; x et y seront les coorlonnées du point M' par rapport à des axes rectangulaires ayant eur origine en C et situés dans le plan tangent. Lorsqu'on substitue cg et y k u et k ^, les produits

leviennent des polynômes homogènes du premier, second, troisième legré par rapport à ;r et à y.

Nous poserons

^ (2R + P2)W^=2P2, n = P-+-PiH-P2-hP3-

2Qîi = 2P1,

P2)w^=2P2, (2S-H2PQ)a^=2P3,

On aura

t l'élément linéaire se présentera sous la forme suivante ;

24) ds^ = dx^ -h 4x--H 2n(a7 dy — y dxf,

La courbure totale, qui est déterminée par l'équation (17), aura our expression nouvelle

^^=6P-hI2PiH-20P

.i6P2(^2^.^2) + 3oP3 — 48PPi(ar2+y2).

l66 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.

L'équation à laquelle doit satisfaire 9 prendra la forme

que Ton peut obtenir directement par le calcul de A9 [II, p. 420]; et enfin l'expression de 9- deviendra

7 désignant le déterminant

(iS) (7 ^xyo — y^o»

Il ne reste plus qu'à substituer la valeur de 9 dans l'équation aux dérivées partielles (26), et l'on obtiendra, en supprimant le facteur 0-2, l'équation

o = -n^6 4-(:r-a:o)^-^(7-:Ko)^-2n + (^2^.72) qui fera connaître A. Posons

•}(■ désignant l'ensemble des termes de degré i. En égalant à zéro l'ensemble des termes de même degré dans l'équation précédente, on obtient les relations

(io)

+ aP^Ka? -afo)*H- (r -ro?] - P2 = o,

qui permettent de déterminer sans difficulté les polynômes ^^^ Désignons par l'indice supérieur le résultat de la substitution

de ^oî J^o à ^ et ày. On trouvera ainsi

*2 = — 3-[(^-^o)2+(:K-ror-]

On calculera de même A3, A.,, ig, .... Mais les eKpressions précédentes, qui permettent d'obtenir le carré de la distance géodésique jusqu'aux termes du sixième ordre, nous suffiront amplement.

660. Si Ton revient maintenant aux variables primitives u et ç^ on aura, en se bornant, par exemple, aux termes du cinquième ordre,