I -^ Z^?^ 4- 3P2JMMoCos(p — Po)— ^ — z/z^osia(p — t'o
L'égalité (Sa) contient le théorème qui a été établi par L^endre pour les triangles sphériques infiniment petits et qui a été étendu par Gauss, dans les DisquisitioneSf à tous les triangles géodésiques infiniment petits tracés sur une surface quelconque. Conservons les notations précédentes. Soient A le point de coordonnées i^Oî ^Oî B le point de coordonnées w, v. Le triangle ABC {fig* 68) aura ses côtés composés de lignes géodésiques; et, si l'on désigne par a, è, c. A, B, C les côtés et les angles de ce triangle, on aura
Si l'on désigne ensuite par a, p, y les valeurs de la courbure
^gg LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.
totale aux trois sommets A, B, C respectivement, la formule (17) nous donnera, si nous ne conservons que les deux premiers termes,
,^=: — 6P, a= — CP-i2Qoi^o, p=-~6P — l'iQ^f.
On déduit de là
/6P= — Y' r2Qw = Y — P, i2QoWo = Y~a,
L'équation (82) prendra donc la forme eiUièrement géométrique
(35) c2 = a2^,<î>2 2«6cosG ^ (a-h|3 4-2Y),
où Ton néglige seulement les termes à partir du sixième ordre.
Construisons un triangle rectiligne auxiliaire dont les côtés seront a, è, c et désignons par A», B», C^ les angles de ce triangle.
On a
c2 = a^-^ 62— %ah cosGo.
En retranchant de Péquation (35) et divisant par ab, nous trouverons la relation
cosC — cosGo = ', (a-h p -h-^Y),
exacte jusqu'au troisième ordre inclusivement, et d'où il résulte que la différence entre G et C^ est du second ordre. Il suit de là que Pon peut négliger le carré de cette différence et remplacer, dans la formule précédente,
cosG — cosGo et aôsin^G
respectivement par
(Go — G)sinGo et aôsin^G^
^On obtient ainsi
C = Goh ~ — (3^-4-^4-27).
Si Ton pose
» sera Paire du triangle recliligne auxiliaire, et Ton aura
Par raison de symétrie, on peut écrire les trois équations de au s s
B=Bo+g(a+2i3+Y ),
Lii ramènent la résolution du triangle géodésique à celle d'un iaiîgle plan et qui sont exactes jusqu'aux termes du troisième rdre inclusivement. Si on les ajoute, on trouve
17) A-hB-i-G — -==^(a-hp+7K Dans le cas de la sphère, on a
L l'on retrouve le théorème de Legendre.
On peut, du reste, déduire de l'expression seule de 6^ tous les léments du triangle géodésique. La formule relative à la difféîntielle d'un segment [II, p. 417] ^oiis donne, en effet, les relaons suivantes, obtenues en faisant varier successivement une nile des coordonnées u, ç^ Uq, Pq?
18) --— cosB, -7 — =cosA, ---=:AsmB, -r— = — /oSinA, ^ du ôuq di> dço
désignant la valeur que prend 1 au point A(uq, Çq), On peut ^marquer que \ Xq sont ce que nous avons appelé, avec M. Chris- Dffel (n**633), les longueurs réduites des côtés a et b. Désinons-les par a(«), )w(6); des formules précédentes, on déduit égalité
X(a)sinB-X(ô)smA = ^+5^ = g {j,-^^^}^
'où il résulte que le premier membre est du quatrième ordre par
j-O LIVRE Vï. — CHAPITRE VIII.
rapport aux longueurs des côtés. On a donc
lia) ___ lib) ^ Mo) ^^^^^ sinA~sinB sinC'
en négligeant seulemen t les termes à partir du quatrième ordre (<),
661. Il nous reste, pour compléter les résultats précédents, à faire connaître la surface du triangle géodésique. Il nous suffira
(0 Les résultats que nous avons donnés dans le texte nous permettent d'obtenir des formules analogues à celles de Gauss, mais où l'approximation est poussée plus loin, jusqu'aux termes du quatrième ordre. Pour donner à ces formules une apparence entièrement géométrique, il faut introduire les valeurs de la courbure totale pour certains points du triangle, par exemple pour les milieux des côtés. Nous désignerons par a', p\ y' les valeurs de la courbure totale pour les milieux des côtés a, ô, c respectivement.
Les coordonnées des milieux des deux côtés a tl b s'obtiennent sans difficulté et permettent de calculer très aisément les quantités a', p'. Mais, pour obtenir y', il faut déterminer le milieu de la géodésique AB. L'équation de cette géodésique peut être donnée sous différentes formes ; et, si l'on utilise, par exemple, la dernière des équations (38), on reconnaît que les coordonnées w, v de tout point de AB doivent satisfaire à l'équation
[a) ==X^sinA.
Cette équation, jointe à la suivante
permettrait de déterminer les coordonnées du milieu de AB; mais, pour faire le calcul avec élégance, il est préférable de revenir aux coordonnées x et y qui sont définies par les formules (22) et que nous avons déjà employées avec avantage. On trouve ainsi que, si X, Y désignent les coordonnées du milieu de AB, la formule (a) nous donne
^y- \^o= — i — (I -1- sJ.
Ej désignant un infiniment petit du second ordre. Par raison de symétrie, on aura de même
^v «.V OJCsinB . , / ,
et Ton déduit de ces deux formules que l'on aura, comme il est aisé de le vériûer,
les termes négligés étant du troisième ordre et des ordres supérieurs.
d'imiter la méthode que Gauss a donnée, pour cet objet, dans les Disquisitiones .
Si Ton fait glisser infiniment peu {fig. 69) le sommet B en B^ sur le prolongement de AB, u qI v prendront des accroissements du^ dv, et la surface S croîtra de la quantité
-r- <afM -h -- dv.
ou dv
Ce point étant établi, le calcul ne présente plus aucune difficulté. On a, en effet, par la formule (26) et en négligeant seulement les termes du troisième ordre,
et de là on déduit les expressions suivantes des six courbures cherchées
a = — 6P — i2PÎ-~2oP§-4-i6P3^>S P'=-6P- 6PÎ- 5P§-h 4P='6% P = — 6P — 12P, — 20P, -h iQF'^a', a'=-6P— 6P, — 5P, -i- 4P«aS y' = 6P- 6P,— 6PÎ-. 5P,-5Pl-5AP,^-4PHa=4.^»^-^2a^cosG),
l'indice supérieur o indiquant le résultat de la substitution de O!^ et de y,, à .r et à y, et le symbole A désignant l'opération
Comme on a, d'après les équations (21) et (3i),
c2= a'-hô»— 2a^>cosG -{- zû^a'b'' sin*C,
24; = 2P + P,+ PS-Ç[(a7-a;J»+(r-ro)']+|(Pa-P§)-^'^P..
on pourra éliminer les six coefficients qui entrent dans P, P,, P,, et l'on sera ainsi conduit à la formule
Introduisant l'angle C° du triangle plan auxiliaire, on trouvera par des calculs faciles la relation
qui remplace la dernière des équations (36) et qui est exacte maintenant jusqu'aux termes du quatrième ordre inclusivement.
Or on a ici
du = cosB ds =i -r- ds.
au
1 d\? -= sinB ds — - r- ds, ce qui donne, pourraccroissement dS, l'expression
l^du du A^ dv dpj Fig. 69,
D'autre pari, cet accroissement est Taire BCB^, qui a pour valeur
ou, si l'on remplace ds^ par sa valeur,
En égalant les deux expressions différentes de raccroissemenl, on aura donc l'équation
ou du
X2 dç Idv V 4" "5 • • • J — <>»
qui fera connaîn-e S.
Comme la surface s'annule avec u, Uq, sin(p — Çq)^ nous pouvons poser
S = ^^ uuq sm{ç ^ ÇQ){t ^ E)
et, en substituant cette valeur de S, uous obtiendrons pour H
LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GVUSS. Iji
réqiiation ( i -{- H -^ u -r-j \ u — uo cos( ç — çq) ^ 27 Uq sin(p — ro)'J> -r- 7^ î^l
IUUqCOS{ç — Vq)^ —7^-
Vu^ ^iQu'*
X[i~2P2A2— *2Qz43-4-(3P2-.2R)ii4-^(6PQ — '2S;?^^4-...] =
On déduit de là, par un calcul que nous omettons, P 3 P
<4>) ^ -h — îi22^^j[3Qcos(ç:— ro) — Qo]
(3 -h— ziz^l [3QoCOS(p' — ro) — 0],
les termes négligés étant du quatrième ordre et des ordres supérieurs.
Remplaçons Qrz, Qo Uq parleurs valeurs tirées des formules (34 ) en fonction des courbures a, p, y; puis substituons a, h, G à a, Uq^ p — (?o- Nous aurons
-H -L(4<gj2{ 3 62--9a&cosG)-i- -^(3a2^3^>2— laaôcosG),
avec le même ordre d'approximation que précédemment. L'expression de S peut s'écrire
c, ab sin G ,, ,
Remarquons d'ailleurs qu'en négligeant seulement les termes du quatrième ordre, on a
sinC = smGo n ^ — (a-hP-T-2Y) .
On peut donc écrire, en substituant cette valeur de sin G, S = So(,H-H)[i+f^(a + §-.n;]
Ij4 LIVRE VI. — CHAPITRE VHI.
En remplaçant H par sa valeur, on trouve
S = So[i-T- — (i^'^-hSaS — 4aôcosG) L 110
— T^ (4«2-i- 3^>2— 4^6 cosG) -h Y~ (3 a2+ 3Ô2— ^ab cosG)l .
Remarquons enfin que l'on peut, sans changer l'ordre d'approximation, remplacer 2<2ècosC par 2a6cosCo ou a^ + è^ — c- ce qui donne la formule définitive
(43) Sr^S^fi : (^^+^^'+o ^ )(« + P + Y) a'^cc-i' b^^^ ^ c^y l
qui est parfaitement symétrique et qui est exacte jusqu'aux termes du quatrième ordre exclusivement.
Gauss a terminé les Disquisitiones en remarquant que, dans le cas de la sphère, la formule précédente devient
et peut être remplacée par la suivante
y sinAOsinBOsinCo' qui est calculable par logarithmes.
662. La démonstration du théorème de Gauss repose entièrement sur l'expression que nous avons donnée plus haut de la distance géodésique. Si l'on néglige les termes du cinquième ordre, cette expression prend la forme plus simple
(46) 62= lû^-Jr- ul — luufi cos(ç^ — pq) + aPw^ 2^2 sin2(p — pq).
Nous allons indiquer quelques applications de cette formule, ainsi que du théorème de Gauss.
Soit IIW {fig. -o) une courbe quelconque tracée sur la surface. Nous supposerons qu'on ait placé en M l'origine des coordonnées polaires précédemment définies et que l'on compte les angles (^ en prenant pour origine la géodésique MF tangente en M à la courbe considérée.
Si nous considérons un arc infiniment petit de cette courbe MM^,
LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME BE GAi'SS. 1-5
son équation sera de la forme
'Al)
V = au-h bu^ -h- cu^ H- .
'z, bj c désignant des constantes. Il faut, en effet, que v s'annult avec u*
Fig. 70.
L'arc s de la courbe sera défini par l'équation
jui donne, par une extraction de racine carrée,
du Q. \ 8 /
;t, par suite,
/ftv a- . ab , /., ,, „ - a*\ w5
48) s—u-^ T -^u'-^ (3ac-4-2624-Pa2— -g ) y ^- —
On déduit de là, en résolvant par rapport à u^
49) fi = .v— --53 5*-H ( — a*— -za2— -^2— -ac 55-f.
Supposons que w, p soient les coordonnées du point W. Si Ton ppelle i l'angle de la tangente en M' avec la corde géodésique flHM' , on aura
5inz = X^ = u{i-\-Vu^)j' =ajr + 2è52-f-^aP + 3c-2a3Js3-h....
i;6 LIVRE Vï. — CHAPITRE VIII.
En passant du sinus à Parc, on trouve
<'5u) £ = as -r- ibs'->r laV -\- Z c — - a^\ s^ -^ , . ,;
et, par conséquent, on pourra calculer la courbure géodésique pa
la formule
ds ,. ô\ .
— z= di-^ -r- di\
p du
On obtient ainsi
Appelons po et p ^ les rayons de courbure en M et en M^ Nous aurons
(5'>.) >M = —y 6bs=i (6aP -hiQ.c~Q.a^)s^~i-,
po pi Po j -^ ..
Nous pouvons dès à présent indiquer une application. Si l'on porte les valeurs de a et de bs tirées des équations précédentes dans le deuxième et le troisième terme de la formule (49), on trouve
24?oPl \1'10 10 5 ^ 5 /
Ainsi la différence entre Tare et la corde géodésique est
Terreur commise étant seulement du cinquième ordre.
Mpopi'
663. Supposons maintenant que l'on abaisse du point M' (Jg, 70) une géodésique MT' perpendiculaire sur la géodésique tangente en M. Soient, pour un instant, Uo l'arc MP' et 8 la géodésique M'F. On aura
et, pour exprimer que la géodésique est normale en F à MF, il suffira évidemment d'annuler la dérivée de S^ par rapport à u,' cela donne l'équation
2^0— u cosç -h 2P u'^Uq sin^v ^ o, qui fera connaître Uo^ Il résulte de cette formule que la différence
entre U(s et u cost^ est du cinquième ordre. On peut écrire uq'^ u cosp — aPî^^ sin2t; cosp = u ^ h- —a^wS— aPa-w^
La substitution de la valeur de v nous donne
En introduisant dans le deuxième et le troisième terme les valeurs de « et de è données par les formules (02), on trouvera
(55) MF-^~eiIzJi.%3,
l'erreur commise étant du cinquième ordre seulement.
Si l'on abaisse de même de M une perpendiculaire géodésique MP sur la géodésique tangente en M', on aura, en échangeant po et pi dans Téquation précédente,
24P?pO
(56) MT==.-e^^~i£l.3.
La combinaison des deux formules (55) et (56) nous donne Féquation
^-+ro ri Si l'on remarque maintenant que la différence
P?-^PÎ--^Popi = (po"pi)-
est du second ordre par rapport à s, on voit que Ton pourra, sans changer le degré d'approximation, remplacer dans la parenthèse Po *+* Pi P^^ 2 po Pi î ce qui donnera
(5;) MP'-+-M'P — 25=:-r^,
c5popi
l'erreur commise étant du cinquième ordre seulement. En éliminant enfin le terme en entre l'équation (53) et la précédente,
on aura
D. — III. i2
et cette expression de Tare sera encore exacte jusqu'aux termes du cinquième ordre exclusivement.
Les expressions de po et de p4 nous permettent encore d'écrire les formules
6V P Pi/
6\pi p/
que nous nous contenterons de signaler et où l'erreur commise est du troisième ordre.
664. La valeur de MF a été obtenue par l'emploi de la formule (46) relative à la distance géodésique. On aurait pu aussi faire usage du théorème de Gauss en raisonnant de la manière suivante.
Considérons, d'une manière générale, un triangle géodésique ABC et conservons toutes les notations précédentes. Si l'on construit le triangle plan auxiliaire dont les côtés sont égaux à ceux du triangle géodésique, les angles de ce triangle, donnés par les formules (36), auront pour expressions
a étant la courbure en un point quelconque du triangle et l'erreur commise étant maintenant du troisième ordre. Tant qu'Usera permis de négliger cette erreur , on pourra donc traiter le triangle géodésique comme un triangle plan^ à la condition
S d'ajouter — y a à chacun de ses angles.
Appliquons cette remarque au triangle M M' F. La surface de ce triangle est sensiblement égale à
iSÏ5rxMFsinp=it;ï^2^ 2^.
La courbure totale en M est — 6P. On pourra donc assimiler le
triangle à un triangle plan, pourvu que Ton remplace l'angle en M
qui est p, par ^4-aP w^ et l'angle en P, qui est droit, par - + a'PuK
Si l'on écrit maintenant la proportion des sinus, on obtient les égalités
M^P^ Il MP'
d'où l'on déduit les valeurs
MP'= wcosp, ]\rP= wsinPH-aPz^S
exactes, l'une et l'autre, jusqu'aux termes du cinquième ordre. Ces résultats sont d'accord avec ceux que nous avons donnés plus haut.
66S. Une méthode analogue peut être appliquée au calcul du
triangle MM'O. La surface de ce triangle étant à peu près la
moitié de celle du triangle MM'P', il faudra substituer aux angles
/ et V les suivants
les termes négligés étant du quatrième ordre au moins. Alors la proportion des sinus nous donnera
QM 0M^ Il
sïni' ~ sinc'' "~ siii(i'-H p'j'
si l'on remplace i' et p' par leurs valeurs, on pourra obtenir pour OM et OM' des valeurs exactes jusqu'aux termes du quatrième ordre. On trouve ainsi
\ 2 4a \3 2a4 Ba^J
Si, au lieu d'écrire la proportion des sinus, on emploie la formule
u — OM cosp'h- OM' cosi',
lg<j LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.
on aura, par le développement des cosinus, l'équation
où l'on néglige seulement les termes du sixième ordre. Calculons le second membre en remarquant que le calcul est beaucoup facilité si on l'écrit sous la forme
En employant les valeurs précédentes de OM et de OM^ nous trouverons
Si l'on remplace encore, dans les deux premiers termes, aetè par leurs valeurs (Sa), il viendra
(61) î^~OM-OM' = ^x^,
l'erreur commise étant seulement du cinquième ordre. En utilisant la formule (53), on voit que l'on a, au même ordre d'approximation,
Il ne nous reste plus qu'à donner l'expression de l'angle de deux tangentes géodésiques infiniment voisines. D'après le théorème de Gauss, on aura, dans le triangle MOM',
d'où Ton déduit
Remplaçant i et 9 par leurs valeurs, on trouve
(63) 0^^au-^Uu''''+~Uc-^^^^^^-\u^.
En négligeant le troisième ordre, on a
^ VPo pi/
LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GATSS. t8[
666. Dans la suite de cet Ouvrage, nous aurons à appliquer plus d'une fois les propositions générales qui ont été établies, dans ce Livre et dans le précédent, relativement aux lignes géodésiques. Nous terminerons ce que nous avons à dire maintenant sur ce sujet en indiquant rapidement la solution d'une belle question qui a été posée par les travaux de M. Christofiel, et dans laquelle M. Weingarten a employé de la manière la plus élégante le théorème de Gauss et les formules (36) données plus haut.
Considérons, sur une surface quelconque, un point A et menons par ce point deux lignes géodésiques AB, AG. En joignant les points B et G par une géodésique, on formera un triangle géodésique ABG, dont nous désignerons les six éléments par les lettres a^ è, c, A, B, G. Ge triangle est complètement défini si Ton se donne les coordonnées î; et ç; du point A, Fangle w que fait la géodésique AB avec une courbe déterminée passant par A, par exemple avec la courbe de paramètre 9^ et enfin les trois éléments
AB = c, AC = b, "GAB = A.
Les trois autres éléments B, G, a peuvent donc être regardés comme des fonctions bien déterminées des six quantités
Cela posé, il pourra se présenter quatre cas distincts :
I** Les formules qui expriment B, G, a ne contiendront aucune des trois quantités u^ v^ (ù. Il y aura alors trois relations distinctes entre les six éléments du triangle géodésique; et il résulte de la méthode précédente que ce nombre de trois relations est un maximum qui ne pourra être dépassé.
2^ et 3° Les formules contiendront une ou plusieurs des quantités «, ç^ co; mais on pourra éliminer u, 9^ a) entre les trois équations qui expriment B, G, a, de manière à obtenir soit une^ soit deux relations entre les six éléments, relations qui seront vérifiées pour tout triangle géodésique tracé sur la surface.
4** Les formules qui font connaître B, G, a nous donneront pour ces trois éléments des fonctions des quantités u^ i\ co qui seront réellement indépendantes ; de sorte qu'il n'y aura, entre les six éléments d'un triangle géodésique, aucune relation indépendante des coordonnées de ses sommets.
l82 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.
D'après cela, on sera conduit à la classification suivante des surfaces, qui a été proposée par M. Christoffel, dans le remarquable Mémoire que nous avons déjà cité [p. i lo].
La première classe comprendra les surfaces pour lesquelles il n y a aucune relation entre les six éléments d'un triangle géodésique.
Toute surface qui n'appartient pas à la première classe, c'està-dire pour laquelle il y a une ou plusieurs relations entre les six éléments d'un triangle géodésique, sera de la deuxième, de la troisième ou de la quatrième classe suivant que le nombre de ces relations entre les éléments sera égal à un, à deux ou à trois.
Comme les formules qui déterminent les géodésiques ne dépendent que de l'élément linéaire, deux surfaces applicables Fune sur l'autre feront évidemment partie de la même classe. Le plan, par exemple, est une surface de la quatrième classe ; il en sera donc de même de toutes les surfaces développables; et les relations seront les mêmes entre les éléments d'un triangle plan et ceux d'un triangle géodésique tracé sur une développable quelconque. De même, nous avons vu au n° S99 que l'élément linéaire
de toute surface à courbure constante positive -^ peut être ramené
à la forme (i6) [p. 46], qui convient aussi à une sphère de rayon R. Il suit de là qu'il y aura, entre les six éléments de tout
triangle géodésique tracé sur la surface de courbure constante tt^j les relations fondamentales de la Trigonométrie sphérique,
CCS -^ = cos K cos ^ -f- sm :^ sin :^ cos A,
(no; { cos— = cos -g- cos ~ -H sin ^ sin r^ cosB,
A ri il K Jt\.
cos -rr = COS -5- COS -^ -f- Slll — Sin - COS G. A K Jn. K i\
Dans un Mémoire déjà ancien ( ^ ), M. Minding a fait la remarque très importante, mais à peu près évidente, qu'il suffit de changer dans ces formules R en R/ pour obtenir les relations qui con-
(') Minding (F.), Beitràge zur Théorie der kiirzesten Linien auf krummen Flàchen {Journal de Crelle, u XX, p. 3^3; i84o).
LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAI'SS. i8j
viennent pour tout triangle géodésique tracé sur une surface à courbure négative. Les équations (65) se transforment ainsi dans les suivantes
/ ai hi ci . hi . ci
i ^^^ "R ~ ^^^ ÏT ^^^ H "^ ^^^ R" ^'" R ^*^^-'^»
,.„, ] ^ï <^i ^i • ci . ai ^
(66 j \ cos— = cos^cos— -i-sm~sin — cosB,
ci ai bi . ai . bi „
ces ff = <^^s -j^ ces — -f- sin -g- sm g- ces G,
qui jouent, dans la trigonométrie des surfaces à courbure constante négative, le même rôle que les formules (65) dans la géométrie de la sphère.
Ainsi, toutes les surfaces à courbure constante appartiennent à la quatrième classe. Envisageons maintenant une surface quelconque de révolution que nous supposerons rapportée au système formé par les méridiens et les parallèles. Soient u et v les coordonnées d'un point quelconque de la surface, u étant le paramètre qui demeure constant sur chaque parallèle et ç Tangle du plan méridien passant par le point avec un plan méridien fi^ce. Désignons par Uq, Poî w^5 ^o ^2? ^2 l^s coordonnées des trois sommets d'un triangle géodésique quelconque. Les six éléments de ce triangle seront des fonctions des six coordonnées précédentes; mais, comme on peut faire tourner la surface autour de son axe sans altérer les éléments du triangle géodésique, il est clair que ceux-ci ne dépendront effectivement que des trois quantités Uq^ ^^^, U2 et des deux différences (^o — {^q, p^ — Po, soît, en tout, cincy quantités. Il y aura donc au moins une relation entre les six éléments du triangle géodésique.
Ainsi, les surfaces de révolution et, plus généralement, toutes les surfaces qui sont applicables sur une surface de révolution, appartiendront à la de^mèmey à la troisième ou à la quatrième classe.
667. M. Christofifel n'avait pas poussé plus loin ces recherches: il n'avait apporté aucun exemple d'une surface appartenant à la troisième classe, et il s'était contenté de démontrer que toute surface de la quatrième classe a nécessairement sa courbure totale
l84 LIVRE VI. — CHAPITRE VHI.
constante. M. Weingarten, qui a repris cette étude en 1882 (*), a démontré, par une méthode nouvelle, la proposîtion précédente de M. ChristofFel, et il a réussi à établir de plus qu'il n'existe aucune surface de la troisième classe.
Désignons par Uq. Tq, ih^ (^i, Wo, ^2 les coordonnées des trois sommets d'un triangle géodésique. Les six éléments a, b, c, A, B, C du triangle seront des fonctions de ces six coordonnées* Par suite, si la surface appartient à la première classe, ces fonctions seront indépendantes et il sera impossible de déplacer infiniment peu le triangle géodésique sans le déformer, c'est-à-dire sans altérer au moins un de ses éléments; car les différentielles da^ db^ . . . des éléments 'sont des fonctions indépendantes des différentielles des six coordonnées et ne peuvent s'annuler toutes sans qu'il en soit de même de ces dernières, duo^ dvç^^ .... Si la surface appartient à la deuxième classe, on pourra se contenter d'exprimer cinq des éléments du triangle en fonction des coordonnées, le sixième sera donné par l'équation qui relie les six éléments. Si donc on veut déplacer le triangle sans en faire varier les six éléments, il suffira d'assujettir les six coordonnées à cinq relations distinctes. Il y aura donc une suite de positions du triangle dépendante d'un seul paramètre variable et dans laquelle chaque sommet décrira une courbe.
Si la surface appartient à la troisième ou à la quatrième classe, il y aura deux ou trois relations entre les six éléments; par suite, on exprimera quatre ou trois éléments en fonction des coordonnées des sommets, les autres étant définis par les relations qui existent, par hypothèse, entre les six éléments. Il suit de là que, si l'on veut déplacer le triangle sans altérer ses éléments, il faudra écrire seulement quatre ou trois relations distinctes entre les six coordonnées des sommets. En d'autres termes, ces six coordonnées seront fonctions de deux ou de trois variables indépendantes. Il suit de là que les coordonnées du sommet A sont des fonctions de deux ou de trois variables indépendantes, et, par suite, que ce sommet peut être déplacé d'une manière quelconque sur la surface.
(») Weingarten (J,), Ueber die Verschiebbarkeit geodàtischer Dreiecke in krummen Flachen {Sitzungsberichte der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin^ p. 453).
LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. l8>
A la vérité, on peut objecter que les coordonnées u^ et Vq de A peuvent ne pas être des fonctions distinctes des deux variables indépendantes; et, s'il en est ainsi, le sommet A sera assujetti à demeurer sur une courbe. Mais il est aisé de prouver que ce fait exceptionnel ne peut se présenter pour chacun des trois sommets du triangle géodésique.
En effet, si les trois sommets A, B^ C étaient assujettis à demeurer respectivement sur trois courbes (A), (B), (C), leurs coordonnées seraient fonctions de trois paramètres, par exemple des arcs AqA, BqB, CqC comptés sur ces courbes à partir d'origines fixes Ao, Bq, Gq. Deux au moins de ces paramètres, AoAet BqB par exemple, devraient être arbitraires, puisque la position des sommets doit dépendre de deux ou de trois paramètres distincts. Il suit de là que A et B pourraient être choisis arbitrairement et, par suite, que la distance géodésique AB de deux points A et B pris arbitrairement sur les courbes (A) et (B) devrait être constante, ce qui est évidemment absurde. 11 est donc permis d'affirmer que l'un au mioins des sommets du triangle géodésique peut être déplacé arbitrairement sur la surface. Gela suffit pour l'objet que nous avons en vue.
Reportons-nous aux formules (36). On peut en déduire des expressions de a, j3, Y en fonction des éléments du triangle géodésique, telles que la suivante
