A-AO)-(B-BO)-(C-CO

£ étant une quantité qui est du second ordre par rapport aux éléments du triangle.

Supposons que la surface appartienne à la troisième ou à la quatrième classe : le sommet A pourra être amené en deux points quelconques Ao et A< d'une certaine région de la surface sans que les éléments du triangle aient varié. Désignons par a» et a^ les courbures de la surface en ces points ; on aura

^3(A--Ao) — (B-Bo) — (C-Co>

«0=0 g^ H EO»

^3(A — Ao)(B — Bo)-(G-CO) , ai = 3 g^; 4-e,.

l86 LIVRE VI. — CHAPITRE VIII.

Si donc on désigne, pour abréger, par K la quaniité

^. ^3(A--Ao)-fB~Bo) — (C-Ço)

on aura

So

II suffit de supposer que les dimensions du triangle diminuent indéfiniment pour reconnaître que le rapport précédent est égal à l'unité. Par suite, la surface a nécessairement sa courbure totale constante.

Ainsi la troisième et la quatrième classe de M ,^ Christoffei se réunissent en une seule, qui comprend uniquement les surfaces à courbure totale constante,

668. Telle est la démonstration de M. Weingarten. Cet habile géomètre a essayé d'appliquer la même méthode aux surfaces de la deuxième classe; mais l'emploi du théorème de Gauss ne paraît pas devoir suffire à la définition complète des surfaces qui appartiennent à cette classe*

Nous avons vu que, dans ce cas, le triangle géodésique peut occuper une suite de positions qui dépend d'un seul paramètre variable, et dans laquelle chaque sommet décrit une courbe (F). Mais il n'y a aucune raison de supposer que les courbes (F) sont les mêmes pour tous les triangles possibles et ne changent pas quand les éléments de ces triangles prennent différentes valeurs. Du moins, la formule précédente (68) nous permet de conclure que toutes ces courbes (F) tendent, lorsque les côtés du triangle deviennent infiniment petits, vers les courbes (C) sur lesquelles la courbure totale de la surface demeure constante, et s'en rapprochent de manière à en être distantes de quantités infiniment petites du second ordre par rapport à ces côtés. Il résulte en effet de cette formule que les valeurs de la courbure totale en deux points distincts de la courbe décrite pair le sommet A ont un rapport qui diffère de l'unité d'une quantité infiniment petite du second ordre par rapport aux côtés du triangle géodésique considéré.

Considérons ces courbes (C) sur chacune desquelles la courbure totale demeure constante. Nous allons montrer qu'elles forment une famille à^ courbes parallèles.

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE G.VrSS. 187

Soient, en effet, (C), (C), (C^') trois d'entre elles, que nous supposerons infiniment "voisines. Prenons sur ces trois courbes respectivement trois points infiniment voisins a, b, c, qui seront les sommets d'un triangle géodésique infiniment petit abc. Déplaçons ensuite ce triangle géodésique abc^ sans changer ses éléments, de manière que le point a, par exemple, décrive sur sa trajectoire un arc fini aa^ . Le triangle viendra occuper une certaine position a^ bi Ci dans laquelle les points a^ 6j, c^ seront à des dislances du second ordre des courbes (C), (C'), (C) respectivement. Donc si on les ramène sur ces courbes par les plus courts chemins, en substituant, par exemple, à chaque point le pied de la perpendiculaire géodésique abaissée de ce point sur la courbe correspondante, on formera un triangle a^b^c^ dont les sommets seront situés sur les trois courbes et dont les côtés ne différeront de ceux du triangle abc que de quantités infiniment petites du second ordre. On aura, en particulier,

*/; étant du premier ordre. Il suit de là que, si l'on fait tourner ab autour de a, «0^2 tournera autour de a^] ab et a^b^ passeront en même temps par un minimum. Donc les plus courtes distances de (C) et de {CI) seront les mêmes en deux points quelconques a et ^2. En d'autres termes, les courbes (C) seront parallèles ou géodésiquemen t équidistantes.

C'est là, à ce qu'il semble, tout ce que Ton peut déduire, en ce qui concerne les surfaces de seconde classe, du théorème de Gauss. M. von Mangoldt (^), à qui l'on doit cette remarque, a complété les recherches de M. Weingarten et il a pu établir par une méthode savante que la seconde classe comprend seulement les surfaces de révolution à courbure totale variable. On peut substituer aux développements en série donnés par M. von Mangoldt les remarques suivantes, qui ne sont peut-être pas à l'abri de toute objection, mais qui offrent cet avantage de reposer sur la considération d'un nouveau cas limite des triangles géodésiques.