Considérons un triangle géodésique ABC, tracé sur une

(*) Mangoldt (H. v.), Ueher die Classification derFlàchen nach der Verschiebbarkeit ihrer geodàtischen Dreiecke {Journal de CreUe, t. XGIV, p. 21; 1882).

surface quelconque, et supposons que, les côtés AB, AC, BC restant finis, Je sommet C se rapproche indéfiniment d'un point déterminé situé entre A et B. Si Ton abaisse du point C la géodésique CD perpendiculaire sur AB, CD sera supposé infiniment petite ifig. 71). Il en sera de même des angles A, B, C, si nous désignons

Fig. 71.

par C, non l'angle du triangle, mais son supplément. On peut établir quelques formules intéressantes relatives à ces triangles particuliers.

Si Ton élève en A la géodésique AE, perpendiculaire à AB, elle pourra être aussi regardée, sans erreur sensible, comme normale à AC; et la définition même de la longueur réduite nous donnera les relations

AE = [AG]Gr=[AB]B, GD = [AG]A = [BG]B,

[AC], [AB], [BC] désignant, d'après nos notations (n*» 633), les longueurs réduites des trois côtés. En introduisant pour les côtés les notations habituelles, nous avons les formules

(70) AE = [cJB = Af-jl,

où h désigne la perpendiculaire CD. A ces deux équations, on peut joindre la suivante.

Désignons par/> la perpendiculaire abaissée d'un point de AC sur AB et par q la perpendiculaire abaissée d'un point de BC; /> et y, considérées comme fonctions de la distance u de leur pied au point A, sont deux solutions particulières de l'équation

tES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAUSS. I89

si souvent employée au Chapitre V; et nous avons vu (n^ 627) que, si Ton subslitue à la géodésique AB le chemin formé des géodésiques AC et BC, la variation de longueur aura pour expression

(j2) AG -+- CB— AB = è-r-c — a = qp'-^pq'.

Le binôme qp^ — pq' est une constante, dont on peut calculer la valeur pour tel point que l'on voudra, par exemple pour le point A. On a alors /» = o ; le triangle infiniment petit AHK donne

D'ailleurs, d'après l'équation (70), on a

^ = AE==[c]B.

La substitution de ces valeurs de /?, />', q dans la formule précédente la transforme dans l'équation suivante

(73) è-hc — a = [c] X Ax B,

où l'on connaît la signification géométrique de chaque terme.

670. Telles sont les relations que nous allons appliquer au problème proposé. A cet efiet, nous supposerons que la surface soit de seconde classe, c'est-à-dire qu'il y ait une relation, et une seule, entre les six éléments de tout triangle géodésique delà surface. Mettons cette relation sous la forme

et supposons, comme plus haut, que le point G se rapproche de AB d'une manière déterminée.

En divisant par A x B les deux membres de l'équation précédente et remplaçant dans le second membre A, B, C par leurs valeurs déduites des formules (69), on aura

AxB

Lorsque h tend vers zéro, le premier membre tend vers une limite déterminée [c]; il faut donc qu'il en soit de même du second. On reconnaît aisément que la limite de ce second membre est de la forme

♦,'t ne peut, par suite, se réduire identiquemenl à [c]. En l'égala à [c], on aura donc nécessairement une relation

»iù F a une forme tout à fait déterminée. Nous obtenons ainsi propriété suivante de toute surface appartenant à la secon classe :

Si l'on prend sur une géodésique quelconque trois points . B, G, il y aura nécessairement une relation indépendante d coordonnées des points A, B, G entre les segments AB, BCei i longueurs réduites [AC], [BC], [AG].

Pour traduire géométriquement cette proposition, nous rema queronsque, si Ton se sert de l'équation diflFérentielle (71) po développer en série la longueur réduite d'un segment ABj on tro vera