AB], [AG], [BG

maîsj pour simplifier le calcul, nous supposerons que Ton ait ÂG = GB, c*est-à-dire a = b.

On. trouvera alors, en désignant par s la valeur commune de a i de i,

[AG]=[a]= 5— a-— a' \ ^s-f-...,

D i'2 lao

[GB]=[6]= ^-~ a-r—a-- h ^s-h...,

6 4 lao '

[AB]==[c] =:2^-~4a|-|aV+^(a2~-3a')5S-h...,

X et ses dérivées étant calculées pour le point A.

En substituant les expressions précédentes dans la relation (7et faisant tendre ensuite 5 vers zéro, on obtiendra évidemment ui

LES TRIANGLES GÉODÉSIQUES ET LE THÉORÈME DE GAl'SS. Kjl

relation

entre la courbure totale et ses deux premières dérivées pur rapport à Tare. Cette relation, qui aura lieu en chaque point de la géodésique, sera d'ailleurs la même pour toutes les géodésiques de la surface.

671. Si l'on rapproche ce résultat de ceux que nous avons déjà obtenus, on reconnaîtra aisément que la surface est applicable sur une surface de révolution. Choisissons, en effet, le svstème de coordonnées curvilignes formé avec les lignes à courbure constante et leurs trajectoires orthogonales. Comme ces trajectoires sont, nous Favons vu plus haut, des géodésiques, l'élément linéaire sera réductible à la forme

et Ton aura de plus

RR' " C âu^'

En exprimant que RR' ne dépend que de ;/, on serait conduit à la forme suivante de G

OÙ U désigne une fonction de w et V une fonction de p, et qui convient à des surfaces bien plus générales que les surfaces de révolution. Mais nous laisserons ce point de côté pour le moment. Si l'on remplace, dans l'équation (70), a par une fonction déterminée de w, elle se ramène à la suivante

/ s . ( du d-u\

où {^ est aussi une fonction déterminée et qui convient à toutes les géodésiques de la surface.

Considérons, en particulier, les géodésiques tangentes aux différents points de l'une des courbes de paramètre w«, que nous désignerons par (C^). Si M est un point de cette courbe, lagéodésique tangente en M donnera lieu, dans le voisinage de ce point,

ni* LIVRE VI. — CHAPITRE VHI. — LES TRIANGLES, ETC.

à r»'M[uation

U — Wy :^

OÙ c désigne le ravon de courbure géodésique de (C*) en M, et qui résulte iiumédialement de Tinspection du triangle MPQ dans

On aura donc, au point II,

du d' u I

si Ton porte ces valeurs dans Féquation (77)5 on reconnaîtra immédiatement que la courbure géodésique en M est une fonction déterminée de u^ et qu'elle est, par suite, constante en tous les points de (C^).

Ce résultat nous suffit pleinement. Il est, en effet, très aisé de démontrer que, si une famille de courbes parallèles est formée de cercles géodésiquesy la surface est applicable sur une surface de résolution de telle manière que ces cercles géodésiques et les parallèles de la surface de résolution soient des courbes correspondantes.

Celte proposition s'établit immédiatement : il suffît de remarquer qu'elle se traduit par l'équation

où J" est une fonction déterminée de u. L'intégration nous donne la forme suivante de C

qui convient aux surfaces de révolution.