CHAPITRE I

LES PAllAMÈTRES DIFFÉRENTIELS.

Formules élementaiies relatives à deux courbes tracées sur une surface. — Deîinition des paramètres différentiels du premier ordre A9, A (ï, Ç 1, B ( -f , Ç - - Paramètre du second ordre A/f ; méthode de M. Beltrami; lonnule ana]uj;ue ,i celle de Green. — Expression du rayon de courbure géodesique d'une courbe dU mo\en des paramètres différentiels. — Les forniatiunis de Al. Dekrami permettent d'obtenir tous les invariants différentiels de 1 clément linéaire. — Emploi des paramètres différentiels dans la solution de divers problèmes ou i\ s'agit de ramener l'élément linéaire à une forme spéciale. ~ Calcul des paramètres différentiels des fonctions les plus simples. — De remploi de l'invariant du second ordre dans l'étude du problème de la représentation conforme et des systèmes isothermes. — Démonstration, due à AL Dellrami, du théorème de Gduss relatif à l'expression de la courbure totale.

672. On sait toute l'importance du rôle attribué aux deux paramètres différentiels du premier et du second ordre de Lamé, >oit en Phj'sique mathématique, soit dans la théorie des coordonnées curvilignes de Tespace. M. Beltrami, dans une série de beaux travaux qui remonte à i865 (*), a constitué pour les surfaces une

(») Voir Beltrami, liicerche di analisi applicahi alla Geometria {Oiornaie Ui MatemaCiche, t. Il; i865).

— Sulla teorka générale dei pavametri dijferenziali {Memorie délia Accu- Uemia délie Scienze deiV Istituto di Bologna^ série II, t. VIII; 186*^.

— Délie variabili complesse sopra una superficie qiialunqiie {Annali di Matematicaf série II, t. I, p. 329; 1867).

-— Zut Théorie des Krùmmungsmaasses {Mallienuiiisclte Annaien, t. 1. p. v>j; iS6y).

D. -> m. ij

j,^j LIVRE VU. - CIIVPÏTUE I.

îhéorie aijalogue et noa moins utile, en suivant les idées et méthodes déjà appliquées dans le cas de trois dimensions. G « elle théorie que nous allons maintenant exposer, afin de co pléler l'ensemble des notions fondamentales qui apparaissent é la solution des diflerents problèmes de la théorie des surfaces. rVnon^ r^'lément linéaire sous la forme de Gauss

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vl soit

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l'équation d'une famille de courbes. Si Ton désigne par du^ dv dillerentielles relatives à un déplacement sur celle des cour) de la famille (jui passe au point («, ^), on aura, comme od sî

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II. A:: dési^^nanl les expressions suivantes, déjà emplovées.

H ~. V fc-<^ ^'^

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Le signe attribué, dans les formules (2), au radical \\^ c respondra au sens suivant lequel on se déplacera sur la cour)

Imaginons maintenant que l'on se déplace à partir du po considéré suivant une autre courbe de la surface et représe Ions par la caractéristique S les diSerenti elles relatives à nou\eau déplacement. Si Ton désigne par co, co' les angles qui ( terminent les tangentes aux deux directions considérées, co rapportant à la courbe r^), nous aurons (n° 498)

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LES PAIVAMKTUP:S I)IFFKRENTIKL>.

ou, en substituant les valeurs de du^ ch\

I 05 sin(w — to'j — ;r= ( — ^ o;/ -i i- ot» )= -^ — l- ,

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