IS

os sint ui' — tu i

et, comme toutes les quantités qui figurent dans le second membre ont une signification absolument indépendante du choix des variables u et ^', on reconnaît immédiatement que As est un in\ariant dont la valeur demeurera la même pour la même fonction ':; et le même point, quel que soit le système de coordonnées auquel on rapporte la surface.

Le second membre de Féquation (6) peut être légèrement tran>^formé. Remarquons, en effet, que

os "^inl w

est la projection du déplacement S^sur la normale à la courbe \'s^, le sens des projections posili\es correspondant à l'angle (o — ~. En désignant cette projection par on, on aura donc

, — oç»

on

Si Ton suppose que le déplacement ait lieu effectivement sui- \ânt la normale, on reconnaît que \ 1'^ est la dérivée de '^stiivartf /« normale. Cette propriété a déjà été établie d'une manière générale au n** 372.

Toutes les fois que la fonction o satisfait à Téquatioa

Ao-i,

Livra: vu. — eu vpitre i.

nous aNuiis \u que les courbes (/^), obtenues en égalant la ibncliun '^ à une constante, sont parallèles les unes aux autres et Ton peut ajouter que -^ — 'f o désigne la longueur qu'il faut porter sur 1rs -éodé>ique5 normales à Tune d'elles (-^o) pour obtenir les différents points de la courbe </f ). Plus généralement, si z satisfait à r«'Miualion

Im -i , désignant une fonction quelconque de îp, on aura encore un<' famille de courbes parallèles: car, si Ton pose

il \ieiiî

«'1, par conséquent, les courbes ('y) ou, ce qui est la même chose, le? courbes r^ ) seront parallèles.

il ne i^era pas inutile d'examiner le cas où la fonction ç? satisfait à Téquatlon

Alors, si Ton se déplace sur la courbe ('^), on aura

—^ au -T- -r dv ~ o, Ou Oç

t*t, comme Téquation en 's ne contient que le rapport des dérivée^ <le '^,on pourra éliminer ces dérivées, ce qui conduira àréqualion

ds^ == E du^' -k-iV du dv ^ G dv^- = o.

11 V a donc ilcux familles pour lesquelles la fonction z> satisfait à Téqualion < 9 ) : ce sont les deux séries de courbes de longueur nulle; chacune d'elles peut être considérée soit comme formée de li<;nes géodésiques (n" 317), soit comme composée de courber parallèles.

673. \h\ paramètre différentiel A'j;, nous pouvons, en appliquant une ïuéthode générale, déduire d'autres invariants se rapportant à deux fondions. Si l'on y remplace îp par '^ -h ^i' ^^ désignant

LCS PAR\MKTRES D l F FÉR EN T Ii: L>, I»,;

nue conslantc quelconque, on obtiendra un résulfat dr la forme A( '^ -- \'l I — A'^ — 2ir/. ~- A'l/-\

Le coefficient de A sera évidemment un nou\el invariant tjn.^

nous désigneronei par A(/3, i ). Le développement des calcula nou^

donne

E -1 -'^ — F /' -^ Û -i^^Ji'^" i — r î:^ ':4

, , 6/^' Or ' du Oi' tfr où ' "* ou Oh

-in. Aiç-, V»" EG-F^

On \oit que, pour 'i = '-p, Arf , -i) se réduit à A-^.

On peut encore établir Texistence du nouvel invariant de la manière suivante. Imaginons que, dans les formules ( 5 ), o//, or 5ie rapportent à un déplacement sur une courbe de la famille

•!/(?/, V ) = consl.

En appliquant les formules (2), on aura

et la substitution des valeurs de ow, or dans les formules \ 5 i nous donnera

Ou Ok" On ov

pintto — to i = , , ,

COS( to'— Cjl> » = - . ! ■' :-

Ces relations mettent d'abord en évidence la propriété d'invariance du symbole A(o, 'ij; mais elles nous conduisent également à un nouvel invariant que nous désignerons par O'o, i ) et qui a pour expression

Les formules (i i) s'écrivent alors de la manière suivante :

(II) sin (a> -- co ) = —~ ■ ^ cos(fa) — cuj =:= ■ .„ *

/Acp /A'<; /Ao /A'^

Il résulte immédiatement de ces relations que, si Ton considère

UjX IlVaK \ n. — LlIVïMTRE I.

Ii'^ (l<Mi\ <'(MU |j»'-< <i«'iinio!» jicU" les ê<[ualions

^[ un puinl cuuiiumi a *'Cs deux courbes, la condition pour qu'elh^ ^*t\cu\ [iiw^eulc^ en ce [n>inl s'exprime par la relation

il hi condition puur ({irelles soienl orthogonales, parTéqualiou

Le> toruiulcs i m / nous conduisent immédiatement à Tideiuilr

On lencuntre ici, pour la première fois, un fait qui se présente t'rcqucnimcutdans les théories analogues. Les invariants que nous axojjs introduits ne sont pas distincts, et Ton pourrait exprimer Hi ï;, *l \ en fonction de Ac, A'I et l{/s, i i ; mais Texpression ainsi obtenue serait irrationnelle, et Ton ne peut se dispenser de couser\er 6, sauf â tenir compte de la relation ( i3 ).

I>7i, ^ous allons maintenant définir le paramètre différentiel du second ordre. Pour cela, nous considérerons avec M. Beltrami rinléi^rale double

ii-= I f A(ç, *V) d7=z j I At z, 6 )H du dv,

t'tfndue à une portion simplement connexe de la surface, limilétpar un contour { Ci. Si l'on pose

\ " M ~ Il

(>A(o, il ' tic au

^ = "— .;.ir- = — n — '

l'inlégrale deviendra

f i] m'A ^yû), ,„,,,.

J J tu di' J

LES PARVAItlTRES Dl FFEULX T ! K L«ï. fO<)

Écrivons-lu sous la forme suivante

, ' , / L <^" ^^ J J J s ON rjv '

t'I appliquons la formule de Green à la première îuLé-nilr thi sceoncl membre. Nous aurons évidemment

, , > . î^ - A« M ^^' - ^ ^'^; ■ f / '- ( — - — ) du (h ,

,7 ' J J ' ^ Ou /.n- /

l'intégrale simple étant étendue au contour (C\ parcouru dari> un sens convenable.

Or, d'après la seconde formule (5 ) et d'après les valeurs de M et de N, on a évidemment

M dv — N du — - ds cos( tu w' iv -^^^

(0 et o>' désignant les angles formés en chaque point avec Fax»des X du trièdre (T) par la tangente à la courbe z> =z consl. et la tangente au contour limite (C). Introduisons à la place de o/ l'angle o>"

qui détermine la direction de la normale au contour, dirigée vei-. rinlérieur de Taire. On aura alors

M ds? — N du - ~ ' ds sîn ( ev" — i.n\ A'-i.

D'autre part, si Ton suppose que Ton parcoure un chemin intiuiment petit Zn dans la direction de cette normale, la formule < ) nous fera connaître la dérivée de îo relative à ce déplacement

On ^^ *

Nous aurons donc

i\l di^ ^^^du^- -^ d$.

La formule < i5 ) prend alors la forme

2ttM L[VHK VÏI. ~- CHAl'ITRE I.

Mil ('IKIOrr

eU par Miite, Tinléj^rale double du premier membre, qui i,"e\prime eu fonction de quantités absolument indépendantes du choix des axe-^, est un invariant. Il en sera évidemment de memt» de r/'lénient de celle intégrale; si donc nous posons

heloppanl les calculs.

t/3 </= 'i 1 'J ' Ou lif ,

OV ou

-■H Ou [ - H )

H àr

la ibnciion A^'^ sera un invariant, linéaire par rapport aux dérivées de 'Ji, et la formule (17) pourra s'écrire sous la forme abrégée

ffM.^^^d.^-fi£ds-^ff^l..

dz.

Nous avons supposé que Taire était limitée par un seul contour et que les dérivées de o et h étaient continues à Tînlérieur de et' contour. Si nous avions à considérer une aire limitée par plusieurs contours, il suffirait de remplacer l'intégrale simple qui Hgure dans la formule par la somme des intégrales analogue^ relatives à tous les contours. Si les conditions de continuité cessent d'être réalisées pour des points ou pour des lignes, on entourera les régions où se trouvent les discontinuités par des oourbes que Ton joindra à celles qui limitent Taire considérée. Nous n'insisterons pas sur toutes ces remarques qui ont déjà été [)résentées à propos du théorème de Green (n° 644.).

67o. Nos démonstrations supposent essentiellement le changement de variables réel ; mais il est clair que les propriétés d'invariance subsistent même quand on emploie des coordonnées imaginaires. Il suffit, pour s'en rendre compte, de remarquer que les propositions établies sont susceptibles d'une vérification directe par le calcul algébrique, et il tombe sous le sens que cette véri-

LLS PVUAMÈTRKS 1)1 F FÉHENT ï L L^. ^^

llcalîon est absolument indépendante de l.i rf'alilé uu de Tinia^^inarité des variables on des équalionb.

Cne fois obtenus les deux invariants

Ao, A2Ç.

on peut en déduire une foule d'aulre>

M'z, Afç, A'f ), eiîp, A'i

Les trois invariants nouveaux que nous \enons d'écrire sont lou^ les trois du second ordre. En voici d'autres du troisième

AAAç, AA('f,A'^). AHl^, A-j;i, A^A-i, AA,-;. ...

Xous verrons plus loin que les formations précédentes donnent jous les invariants; mais nous reconnaîtrons encore, dans Télndt* d'un problème important, qu'elles ne les donnent pas loujour^ *i0us la forme la plus simple.

676. Avant d'aborder les théories générales qui reposent sur l'emploi des paramètres différentiels, nous allons montrer comment ils peuvent intervenir utilement dans Tétude de quelques questions particulières.

Considérons d'abord une surface rapportée a un svstème de coordonnées rectangulaires. Si le carré de Télémenl linéaire est pris sous la forme

le rayon de courbure géodésique des courbes v^-- const. est déterminé par la formule

p " AC Ov '

et il doit être porté, s'il est positif, du coté où r au^^mente. Or on a

*^^''~ AGdç\Q)'~ O .V Gp et, par conséquent,

M^t LIVKE VU. — CIIVPiTRE I.

nii, VAX remplaçant — ft C par leurs \aîcurs tirées des relallun^ préeéJenles,

(^ctle i'urmuicne conlenanl plus que des invariants, seraappli <'able dans tous les cas. Par suite, le ra\on de courbure géodésiqu»' d'une courbe représentée dans un système quelconque de coordonnée-^ par Téquation

•il ;/, c f ~ o

sera donnr par la formule

le sens positif du rayon étant celui pour lequel d':^ est positif \^' ,. On déduit de Téquation précédente que, si la famille de courbes i'z) est formée de lignes géodésiques, la fonction ç doit sati^laire à l'équation du second ordre

( io \ A( cj, A'i ) ' - 2 Aci Ao cp ~ o.

Supposons maintenant que Ton donne deux fonctions c;, i ei que l'on demande de calculer l'accroissement de h quand on parcuurl un chemin intîniment petit sur la courbe

Les dillerenti elles dn^ d\^ relatives à ce déplacement onl <iW taleulées plus haut; on a trouvé

du ^ I t'cp (iv I Oo

U \iendra donc

ôs:^'^ du ds ^ ^ ds ~ ./^

D BtunAMî, Ukercht\ art. Wï, et Matkemallsche Annalen, L 1, p. 579-

LES PVHVMÈTHKS l) I F F E U K NT! L I.?. ^ui

Pi'oposoiis-nous, par exemple, étant donnre une courbe < '^ i, «Jr L'aienler la dérivée de la courbure géodésique par rapport ù l'arr ^piand on se déplace sur cette courbe. On calculera z par la foriiiideno^ et l'application de la Ibrmule précédenle donnera en- *.»ite

do Bip, ï.

Ou calculerait de même les dérivées suivantes de c.

677. Soient maintenant '^ et -i deux fonctions distinctes. Supposons que Ton détermine un point de la surface par le^ \aleuiH de î5 et de 'i, le carré de Félément linéaire prendra la forme

ch^'-' E ch'^^- '2V ih dl G d^Y'-

il est aisé de voir que Ton pourra exprimer E, F, G en fonction des invariants du premier ordre de 'z et de i. En elTel, si Ton culrnle ces in\arîants, on aura les trois équations

Ci , E -ï^

EG-1^2' . HG -\^r ^.'r -"KG"h^

qui peusenl être résolues par rapport à E, F", G, et nous donnent

Er::

Ac5 A^!^ — A-(çi, t}^) A'i

Ai'Â^ — A^ïo,'!-)'

Le carré de rélémeut linéaire aura donc pour expression

Xà do^~- aAt o, *)^}do d^h -^ Ao d'Y' A^ Aè — A2(o, 4* ♦

le dénominateur, qui est 6-(cp, i), ne sera pas nul tant que le> fonctions cp et tj^ seront distinctes.

Celte expression de l'élément linéaire va nous permettre d'établir une proposition que nous avons annoncée plus haut et de

2o4 LIVRE VII. — CHAPITRE t.

montrer que tout invariant composé avec les coefficients E, F, G et leurs dérivées, contenant d'ailleurs une ou plusieurs fonctions C5,'i, ... et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé, peut être obtenu à l'aide des symboles A, 6 de M. Beltrami. Soit, en effet,

une telle fonction. Les coefficients E, F, G, nous venons de le voir, s'expriment d'une manière simple au moyen des trois paramètres

Az^, Ap, A(w, (0*

D'ailleurs, si 1 désigne une fonction quelconque, on a, d'après la définition même de l'invariant 0,

Jl = Hea,.), -2 = He(«,x..

Il suit de là que toutes les dérivées, et par suite l'invariant I, peuvent s'exprimer au moyen des symboles A, appliqués un nombre suffisant de fois aux fonctions

Il suffit donc, pour démontrer immédiatement la proposition que nous avons en vue, de supposer que l'on a pris pour les variables îz et p deux des fonctions o, '-J^, . - . qui entrent dans l'invariant.

S'il entre une seule fonction <p dans cet invariant, on pourra lui adjoindre et prendre pour i^ un de ses invariants, par exemple A'^ ou Aocp. Tous les invariants d'une seule fonction peuvent donc être obtenus par l'emploi simultané et répété des opérations A et Ao, appliquées à cette seule fonction.

678. Parmi les questions dont la solution peut être rendue plus facile par l'emploi des invariants, on peut encore signaler la suivante.

Supposons qu'étant donnée une surface, on propose de mettre son élément linéaire sous la forme

LIÎS PARAMETRES DIFFÉRENTIELS. 2o5

où/, ?j 4* ^^^^ ^^^ fonctions données et connues de a, mais où a, n et ^ sont trois fonctions à déterminer. On reconnaîtra immédiatement que, si l'élément linéaire est donné sous la forme

ds^ — E du^ -h 2 F du di> h- G ^p^ OL p et g doivent satisfaire aux trois équations simultanées

dont l'intégration donnerait la solution complète du problème. La théorie des paramètres différentiels permet de former une équation du second ordre à laquelle satisfera Tune des inconnues p, q et qui remplacera le système précédent.

On a, en effet, en prenant l'élément linéaire sous la forme (aSj,

ou, si l'on désigne le second membre pai";^(a), (25) A/? = -x.('a).

11 vient ensuite, en regardant a comme exprimé en fonction de p et de gr,

et enliu

i r à il à ? 1

L'élimination de a, —, t- entre les quatre équations (20), (2(5)

et (27) conduira à une relation entre les invariants de/?, qui pourra ensuite être écrite avec des variables quelconques et sera pré-

•^06 LIVRE Vil. - CHAI»ITIIE ï.

cisénientréquationdu second ordre cherchée. Le calcul se simplifie beaucoup si la fonction o est nulle.

Comme première application, proposons-nous de ramener l'éléjaent linéaire à la forme

'Vous trouverons immédiatement que/? doit satisfaire à Téquaiion

Ao/? — 0.

A'ous reviendrons plus loin (n° 681) sur ce résultat.

Envisageons maintenant la forme suivante de Télément linéaire

Klle correspond à une décomposition de la surface en rectangles infiniment petits dont les diagonales sont toutes égales ou, si ron supprime les côtés de ces rectangles en laissant les diagonales, à une décomposition de la surface en losanges dont les côtés sont lous égaux. On a ici

I w . o. sina <^a ^ i doc

' cos-^a vz ' -£ / cos«>a oj) ^ smacos'*a dp

et, par suite,

Telle est Téquation du second ordre dont dépendra la solution du problème. Remarquons que, si Ton effectue, dans la formule (29), la substitution linéaire

on obtient la forme

(3ï) ds'^-^dp'"--^ dq''^-\i(^o?>'>.%dp' dq\

identique à celle que nous avons rencontrée dans Tétude du problème de M. Tchebycheff [p. iSa].

Nous étudierons enfin la forme suivante

<32) ds^^<Adp^~\-^dq'^,

qui se présente dans la théorie des Cartes géographiques. Si l'on

LES PARAMETRES DIFFÉRENTIELS. 207

fait correspondre à chaque point de la surface le point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont p et q^ on aura une représentation plane de la surface dans laquelle les aires seront conservées et, de plus, on pourra former un système orthogonal avec les courbes de la sui^face qui correspondent aux droites du plan parallèles aux axes coordonnées. On peut encore caractériser lu forme précédente de l'élément linéaire en disant que la surface peut être partagée par les lignes coordonnées en rectangles qui ont tous la même surface. On a ici

^ a r . jr a.^ dp ^ ^^ dp

ce qui donne pour/? Téquation

(33) ^(p. A/»)=: A/? As/?.

Dans le cas des surfaces développables, cette équation se transforme aisément en une de celles que nous avons étudiées au Livre IV.

679. Nous indiquerons maintenant comment on calcule les invariants des fonctions les plu^ simples. Signalons tout d'abord les formules suivantes que le lecteur établira aisément

les termes non écrits se déduisant de ceux qui figurent dans les seconds membres par de simples permutations. Ces identités permettent de calculer les invariants des fonctions composées quand on connaît ceux des fonctions simples a, p, ....

Supposons la surface rapportée à ses lignes de courbure; désignons par x^ jKj ^ les coordonnées du point de la surface par rapport à des axes fixes et par a, a', a!'\ 6, b'^ b" \ c, c', d' les neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre (T) par rapport aux

208 HVRK VII. — CHAPITRE 1

axes. Oq aura, comme on sait, i I dx

A àiL I àx G 5p

àx -. àc du ou

àx ,^,àc

\âu "" '

dp dv

A dii = '^ •

1 dz

dz de"

toutes les notations du Tableau V [II, p. 386] étant conservées. Ces formules permettent de calculer les valeurs suivantes des invariants :

Ac:

Au', c) A(^, c'j

R R' ' <ta^^ bb' R R' '

Introduisons maintenant les distances de Tongine au plan tangent et aux plans principaux : si nous les désignons respectivement par P, Q, Q^, on aura

(38) Q -^ax--ra'y-^r-a"z, { q; ^bx-i-b'y-r-b'z.

L'application des équations (34) et (87) nous donnera

AfP c)-''^ ^^^'

RR'

Dans ces formules figurent seulement les invariants du premier