LES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS
ordre. Pour calculer les paramètres différentiels du second ordre, il faut se rappeler que les dérivées premières des neuf cosinus peuvent s'exprimer en fonction de ces cosinus et des rotations dont les valeurs ont été déjà données au Tableau V. On a, par exemple,
^^^"^ AG du\A du)'^ AC di^\G ôv )
a ÔG ^ h d\ ^ , .. ^ T
= ÂG ^ ^ ÂG ^ "^ A^^^"'^)-^ G^"^^-^''^)'
ou, en remplaçant les rotations parleurs valeurs et faisant les réductions,
'k)='[k-^ïï'
Cette remarquable formule, signalée depuis longtemps parM. Beltrami, montre que, dans les surfaces minima, toutes les sections par des plans parallèles forment une famille isotherme (n" 209). On trouvera de môme
l ~~^Ardïc\K^K) ^G^\K'^WJ'
Si Ton applique maintenant les formules générales (34), on obtiendra les deux relations
lv(.....=(£)V(f)V(|)--(o|-f-4i)"
d^f d^'f d^f [à ,ô uàYr
Le carré qui figure dans la dernière est purement symbolique, c'est-à-dire qu'après l'avoir effectué, on devra remplacer les
produits tels que j- x r P^^^ ^^^ dérivée seconde j^' Ces deux
formules sont dues encore à M. Beitrami.
D, - III. i4
Si Ton prend on en déduit
On trouvera encore
680. Pour compléter cette étude rapide, il nous reste à montrer comment l'invariant linéaire du second ordre intervient, soit dans la théorie des systèmes isothermes et de la i^eprésentation conforme, soit dans Fexamen d'une question très intéressante qui a été abordée pour la première fois par M. Beltrami (^), mais qui a été, dans ces derniers temps, l'objet d'études approfondies de la part de M. Klein (2).
Étant donné un plan, pour lequel le carré de l'élément linéaire est défini par la formule
on sait qu'une fonction d'une variable imaginaire est, par définition, celle dont la dififérentielle est le produit d'une fonction quelconque par l'un des facteurs linéaires de ds^^ c'est-à-dire celle pour laquelle on a
du = M{da?~\-idy),
Étant donnée de même une surface quelconque réelle dont l'élément linéaire aura pour expression
^^2== E du^--h 2F dudç H- G <a?p2, u ti Q étant des variables réelles, nous décomposerons d$^ en
(0 Voir le Mémoire, cité plus haut, des Annali di Matematica. (^) Klein (F.), Ueber Miemann's Théorie der algebraischen Functionen un^ ihrer Intégrale. Leipzig, 1882.
LES PARAMETRES DIFFÉRENTIELS,
deux, facteurs
^,.=:r/E./«+îi-±|^
H désignant comme d'habitude le radical y/EG — F-. Une fonction complexe ù du point (^^j r) de la surface sera celle qui satisfera à l'équation
(45 ) dû = M /"/Ë du -h ^-yj^ ^A;
par conséquent, si Ton désigne par x le facteur réel ou imaginaire qui fait de l'expression
v/li du H — — ^p
une différentielle exacte, et si l'on pose
(46; y- (/Ëda-i -=— dv \ = dx-i- idy,
on voit que ù sera une fonction de la variable complexe x -}- iy. Si, dans Téquation précédente, on change i en — z et si Ton désigne par y! la fonction conjuguée de x, on aura
(47) y!(sjKdu-\ — — d9\ = dx—idy,
et, en multipliant membre à membre les équations précédentes, on trouvera
(48) ds-^— r-^'
Cette équation nous montre que ^ et y sont deux fonctions isothermes conjuguées. On le voit donc, dès que la surface est rapportée à un système isotherme, la définition d'une fonction complexe sur la surface devient identique à celle que l'on prend pour point de départ dans la représentation de la variable complexe sur le plan. En d'autres termes, dès que l'on connaît une représentation conforme de la surface sur le plan, les fonctions complexes du point de la surface sont identiques aux fonctions complexes du point correspondant dans le plan.
Réciproquement, supposons que Ton ait obtenu par un procédé quelconque une fonction ù
satisfaisant à l'équation (45). En changeant i en —■ i dans cette équation et désignant par ù^ l'imaginaire conjuguée de Q, on aura
(49) <^û'=]\r(/Ef/wH -jzz- d<^\
et, par suite,
( 5o ) da dO! = MM' ds^ = c/P^ -f- dQ} .
Ainsi la connaissance d'une fonction complexe, d'ailleurs quelconque, permettra d'effectuer la représentation conforme de Ja surface sur le plan.
11 résulte immédiatement de la formule (3o) que, si l'on connaît deux fonctions complexes sur deux surfaces diflerentes, on réalisera une représentation conforme des surfaces l'une sur l'autre en faisant correspondre les points pour lesquels les fonctions ont la même valeur, c^r, si l'on désigne par ds' Fclément linéaire de la seconde surface et par N, W les quantités analogues à M, M', on aura, pour les éléments correspondants,
MM' ^^2 =, NN' ds''^ = do. da\
ce qui démontre la proposition. Ce résultat, qui a été signalé particulièrement par M. Klein, comprend en particulier, ou plutôt présente sous une forme nouvelle ceux qui ont été déjà donnés (Livre II, Ghap. III).
681. Il nous reste maintenant à mettre en évidence les rapports de la théorie précédente avec les invariants. Pour cela, nous allons chercher les équations qui définissent les fonctions complexes, quandle système de coordonnées est quelconque. L'équation {{d) nous donne
du ^ ' dp ^ '
et rélimination de M conduit à l'équation
LKS PARAMETRES DIFFERENTIELS. 213
qui caractérise les fonctions complexes. On peut encore Técrire sous la forme équivalente
11 résulte immédiatement de ces équations que la fonction ù satisfait à l'équation
Réciproquement, si une fonction Q a son premier invariant nul, elle satisfait, soit à l'équation (5 1), soit à celle qu'on en déduit par le chang^ement de signe de H; en d'antres termes, elle est fonction de l'une des variables déjà employées x + iy, x — iy.
On vérifiera également, par un calcul facile, que Q satisfait à l'équation
Étudions maintenant la relation entre la partie réelle P et la partie imaginaire Q de Q.
L'équation (53) développée
o=AQ=AP — AQ4-2iA(P, Q) nous donne
AP = AQ, A(P, Q) = o.
Ces relations entre les invariants de P et de Q montrent que les courbes obtenues en égalant à des constantes la partie réelle et la partie imaginaire de ù se coupent à angle droit. Ce résultat pouvait êlre prévu: il est une conséquence de l'équation (5o). D'autre part, si, dans les équations (5i) et (Sa), nous séparons les parties réelles et les parties imaginaires, nous obtiendrons les deux systèmes équivalents
du
F àV - H du
H dv
ôq
G ()P " n du'
F dV
H dç'
lu
E dq ~ H (^t> '
F dq H du
dp
F ^Q " ^ dv'
G dq H du
2l4 LIVRE VII. — CHAPITRE I.
L'élimination de P entre les deux premières équations ou de entre les deux dernières nous montre que P et Q sont des solutio de Péquation
(5;) AaO^o,
ce qui d'ailleurs résultait déjà de l'équation (54).
Réciproquement, toutes les fois que Ton connaîtra une soluli quelconque 9 = Q de l'équation (07), les formules (56) no permettront de déterminer par une quadrature une fonction P, qui donnera une fonction complexe Q == P -f- ïQ du points la surface. On peut donc énoncer la proposition suivante: j solution réelle la plus générale de V équation (5^) est four n par la partie réelle ou par la partie imaginaire dhuie foncti complexe du point sur la surface* Par suite, si l'élément linéai peut être ramené à la forme
la solution la plus générale de l'équation (07) est
C'est d'ailleurs ce que l'on reconnaît immédiatement en pro tant des propriétés d'invariance de l'équation (i5) et l'écriva avec les variables x^ y; car elle prend alors la forme simple
682. M. Beltrami a montré comment on peut rattacher à théorie la proposition que nous devons à Gauss relativement à courbure totale. Soient, conformément aux notations employé plus haut, X et x' deux facteurs qui fassent des expressions
yJ^Ëdu^^-±l^d,
des différentielles exactes d{x-^iy) et d{x — iy). Les factei
