CHAPITRE IL
Méthodes rdgulièreb pour la clélerminaLion des géodcsiqucs. — L'équation différentielle du second ordre des géodésiques remplacée par un système canonique. -— Usage que l'on peut faire d'une ou de deux intégrales de ce système. - Intégrales homogènes. — Intégrale du premier degré : elle caractérise les surfaces applicables sur les surfaces de révolution. — Intégrale du second degré. — Il y a deux formes distinctes de l'élément linéaire pour lesquelles on trouve une iiitégrale du second degré. Pour la première et la plus importante, l'élément linéaire est réductible à la forme de M. Liouvillc. — Détermination de tous les cas dans lesquels il y a à la fois une intégrale du premier et une intégrale du second degré.
S90. L'arlilice que nous avons employé dans le Chapitx^e précédent et qui nous a fait connaître les lignes géodésiques pour la forme spéciale de rélément linéaire considérée par M. Liouville a permis à Jacobi de donner une solution élégante des problèmes les plus importants de la Dynamique du point matériel; mais il semble difficile de l'étendre ou de le généraliser. Il faut donc revenir à la théorie générale et indiquer les méthodes régulières qui permettent de déterminer une solution, contenant une constante arbitraire, de l'équation
(i) Ae==K
Étant donnée une équation aux dérivées partielles
la recherche d'une intégrale complète de cette équation se ramène, comme on sait, à la détermination d'une fonction «f(w, p, /?, q) telle que l'équation (f>.) et la suivante
où C désigne une constante arbitraire, soient compatibles, c'està-dire qu'elles fournissent des valeurs de/? et de y satisfaisant à la
condition
àp dq
à^ ou
pourtoutesles valeurs de C. D'après cela, si Ton calcule, au moyen des équations (2) et (3), les valeurs des deux dérivées qui entrent dans la relation précédente, on trouvera la condition
qui ne contient plus C et devra avoir lieu, par conséquent, pour toutes les valeurs de u, r, /?, q qui satisfont uniquement u l'équation (2).
Dans le cas spécial qui nous occupe, nous sommes donc conduits à déterminer une fonction cp satisfaisant à l'équation linéaire
(5) (A, cp).-=o,
pour tous les systèmes de valeurs de u, r, /?, q liées par l'équation (i).
L'intégration complète de cette équation linéaire (S) se ramené, comme on sait, à celle du système suivant d'équations diirérentielles
àp dq Ou Ov
qui définit ce que l'on appelle les caractrristiqti(*H de ré<iuatîoïi aux dérivées partielles (i).
Ce système admet évidemment imo. première intégrait^, A, dont la valeur constante doit ici être prise égale ù k Si l'on on connaît une autre intégrale cp, on pourra achever la solution dti prohlènje et déterminer par de simples quadratures les géodéhî<jues de la surface. Mais il est nécessaire de donner quel<{u<*s développements sur ce point essentiel.
Si l'on combine l'une des équations (6)
du
àp
àq
avec Téquation de condition
on en déduira les valeurs suivantes de p et de ç
,-, du —dQ ^ du ^ di>
et il suffira de porter ces valeurs dans une autre des équations (6);, par exemple dans la sxiivante
~^dp
Oq
du
pour en déduire une équation du second ordre entre u et p. Cette équation du second ordre, qui tient lieu du système (6), sera précisément celle des lignes géodésiques. U est aisé de le vérifier presque immédiatement par le calcul direct; mais on peut aussi le reconnaître par un i^aisonnement a yo/vori.
En effet, si, dans le système (6), on remplace p e^g par les dérivées partielles d'une solution quelconque de l'équation aux dérivées partielles (i), on sait, d'après les propriétés générales des équations aux dérivées partielles du premier ordre, que ce système se réduira à la seule équation (7). Or cette équation définit, on le vérifie aisément, les trajectoires orthogonales des courbes 9 = const.. et ces trajectoires sont, comme on l'a vu, des lignes géodésiques.
Au reste, on ai^rive à la même conclusion si Fon traite le problème des lignes géodésiques comme une question de Mécanique. En employant la méthode et les variables d'Hamilton [II, p. 481], on est conduit, pour définir la ligne géodésique, à un système canonique qui donne immédiatement les équations (6).
Ainsi, on peut considérer le système (6) comme tenant lieu de l'équation difi'éi^entielle du second ordre des lignes géodésiques pourvu que l'on y regarde/? et <7 comme des inconnues auxiliaires,
qui sont d'ailleurs définies en fonction de u^ <^, 7- par les formules (8). Ce point étant établi, examinons les différents cas qui peuvent se présenter.
591. Supposons d'abord que Pou connaisse deux intégrales distinctes o el*h du système (6).
L'élimination de /? et de 5^ entre les équations
cp =: G, 4; - G', A - ï
donnera l'équation en termes finis, contenant les deux constantes arbitraires G, C, des lignes géodésiques. Gela résulte immédiatement de ce que les trois relations précédentes donnent trois intégrales du sjstcme (6).
Si l'on a déterminé une seule intégrale <p, on pourra achever de deux manières différentes la solution du problème proposé. Ou bien on déterminera/» et q par les équations
A r=: I, Cp r= G,
et Ton effectuera ensuite la quadrature
= / (/? <^w -H q ch)\ les lignes géodésiques seront alors définies par l'équation
ou G' désignera une seconde constante. Ou bien on remplacera dans l'équation
p et q par leurs expressions (8) en -r:? -r-» ce qui donnera une intégrale première de l'équation des lignes géodésiques, dont on déterminera ensuite un facteur en appliquant le th('or<»me de jacobi
[II, p. 43.].
On ne sait pas intégrer d'une manière générale ré<|tiati<)n linéaire (5). Mais on a obtenu des résultats du plus haut inlérôt en se donnant a priori certaines fornuîs gén(*rales do l'intégrale ^ que l'on suppose connue, et en se proposant de déterminer l'élément linéaire par la condition que ces formi»s puissent conduire à une solution complète du problème proposé.
Remarquons d'abord qu'en faisant usage de l'équation (1) on pourra toujours rendre la fonction cp homogène par rapport aux deux variables /? et ^. Cette transformation est très avantageuse; car alors l'équation de condition (5) aura également son premier membre homogène par rapport aux mêmes variai)les. Cette équa-
tion sera ainsi réduite à ne contenir que les trois variables u^ r, ~?
qui peuvent être regardées comme indépendantes; et, par suite, elle devra avoir lieu identiquement.
Ainsi nous sommes ramenés à la détermination des intégrales homogènes par rapport à y? et à 5^ qui satisfont identiquement à Téquation (5). Il est utile de remarquer que les intégrales de cette nature conservent leur homogénéité et leur degré quand on effectue un changement quelconque de coordonnées.
392. Nous commencerons par les intégrales algébriques et entières (')j et nous étudierons en premier lieu le cas où la fonction «p est du premier degré. Supposons que la surface ait été rapportée à des coordonnées symétriques. Alors l'élément linéaire sera défini
parla formule
o?«f 2 = [^\dx dy.
L'équation (i) deviendra ici
et Ton aura
(10) ^^ ap-^^-hq,
a et tétant des fonctions inconnues de ;r et dey. La condition (5) nous donnera
q { Oa ùh\ p [ ùa ùh \ apq
apq à\ hpq d\ __
ùx X2 dy
(0 Jt^û JccLcur l'OCOunaUra airiéinunt que toute intégrale algébrique et entière, non homogène, conduit {\ deux întéf^rulort distinctes que l'on obtient en séparant les termes de dcj^ré pair par rapport ^ p oX k q des termes de degré impair. Chacune de ces deux: intégrales donnera ensuite, par remploi de l'équation AO = 1, une iniégrulc rationnelle et homogène du même degré.
Bans une Note Sur les intégrales algébriques des problèmes de Dynamique insérée, en tHSC, au tome CUl des Comptes rendus^ M. G. Kœnigs a montré que, s'il existe des intégrales algébriques quelconques, il y aura nécessairement des intégrales rationnelles, entières ou fractionnaires. L'étude des cas où il y a des intégrales algébriques irrationnelles se ramène donc à celle des questions que nous allons examiner dans le texte.
28 LIVRE VI. — CHAPITRE tl.
et, pour qu'elle soit identiquement vérifiée, il faudra que Ton ait
ou encore
X et Y dépendant respectivement des seules variables x et y.
Or la forme de l'élément linéaire subsiste quand on y effectue une substitution
^ = çp(,27i), y-^iyO'
On reconnaîtra aisément qu'en efiectuant ce changement on peut toujours ramener les fonctions X, Y à avoir l'une des valeurs constantes o ou i.
On n'a donc que les deux hypothèses suivantes a examiner :
La première nous donne
ouj en intégrant,
L'élément linéaire prend la forme (i3) ds'^ = 4/(:r —y) dx dy.
La seconde hypothèse donne
L'élément linéaire correspondant
ds^r=:^rj^fx{x)d:)Gdy
se ramène à celui d'une surface développablo par substitution à x de la variable
^x^kÇfxi.'^')dx.
On peut donc laisser de côté cette seconde forme de l'élément inéaire, qui devient un cas particulier de la première (i3).
Quant à celle-ci, on démontre aisément qu'elle caractéinse les lurfaces applicables sur une surface de révolution. Posons, en effet,
îlle prendra la forme
i4) ds'-::=zv^{^ii){du'^-^dv>^'), OÙ ^(ii)^—f{ii),
:e qui établit le résultat annoncé. Nous pouvons donc énoncer e théorème suivant, qui est dû à M. Massieu (*).
Les sur/aces de nh^olutlon et celles qui résultent de leur déformation sont les seules pour lesquelles Véquation différentielle des lignes géodésiques admette une intégrale première
,. , . . , ^ (la dv
linéaire et homogène en -,-? -y
Quand Félément linéaire est écrit sous la forme (i4), Féquation devient
Fintégrale linéaire est alors
(') Mabsiku (F.), Sur las intdgralcs al^^ébrifjues des problèmes de Mécanique, Thèse prcscnico ù la KacuUô dos Sciences de Paris; Paris, i8Gi, Dans ce travail, l'aulcur s'occupe d'une manière fçéucralc des problèmes de Mécanique dans lesquels il y a une l'onction des l'orccs; et, suivant la voie ouverte par M. J. Bertrand dans un })eau Mémoire inséré en ï857 au Journal de LiouviUe, il recherche les întéî2;rales alf^ébriqucs par rapport aux vitesses,
M. Massieu, après avoir présenté (fuelquos résultats sur la question envisagée dans toute sa f;énéralité, étudie plus spécialement le mouvement d'un point sur une surface et il définit tous les cas dans lestiucls il y a une intégi'ale du premier ou du second degré par rapport aux vitesses. Il suffit de supposer nulle la fonction des forces pour que ces résultats deviennent immédiatement applicables au problème des lignes j^éodésiques. On pourra consulter aussi le Mémoire de Bour Sur l'intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre {Journal de l* École Polytechnique) XXXIX" Cahier, p. 149; i86a), où les résultats de M. Massieu se trouvent rappelés. X-iC Chapitre V de ce Mémoire contient une étude sur l'intégration de l'équation générale des lignes géodésiques que nous aurons à citer plus loin.
3o LIVRE VI. — CHAPITRE II.
On a
j Ô = G (^ -h f\/^iu) - G'-î du.
et l'on retrouve ainsi, avec de légers changements de notation, le résultat fourni par la première méthode (n^* 580).
593. Nous allons maintenant étudier de la xnémc manière le cas où il y a une intégrale «p du second degré par rapport à /? et à <jr. Posons
La condition (5) nous donnera ici
Égalons à zéro les coefficients des diverses puissances de/; et de q. Nous aurons d'abord, en prenant les ooeflicients dc<y'' et do />'*,
les deux équations
ùc ùa
dx ~" ùy """ qui nous donnent
En raisonnant comme dans le cas précédent, ou verra <pie, si Ton a choisi convenablement les coordonnécis .r, r, on peut toujours supposer, soit
c - ï , a " x^ soit
Commençons par examiner la première hypothèse, lin prenant les coefficients de /?gr- et àc p'^q dans l'équation de condition n8\ on sera conduit aux deux relations
à{h\) ^ ùjh\) àl
INTÉGRALES DU PUEMIER ET DU SECOND DEGRÉ. 3l
ui s'intègrent aisément et donnent
et/i désignant deux fonctions arbitraires.
On aura donc pour l'élément linéaire l'expression
19) ds'-^^i[f{x-^y)-\~A{X'^y)]dxdy, t l'intégrale ç deviendra
20) 7>2^ q''-\- ~-^"'^- \A{^—y) -/(^-H.r)j = G. Le changement de notations défini par les formules
amène l'élément linéaire à la forme de M. Liouvillc et montre ussi que la solution dont les dérivées sont déGnies par l'équaion précédente jointe à l'équation (9) est précisément celle que lous avons employée au n" 583.
Ainsi les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme le M. Liouvillc constituent une première classe pour laquelle le )roblèmc des lignes géodésiques admet une intégrale homogène ït du second degré par rapport à /? et à g' (* )•
