Examinons maintenant l'hypothèse
En opérant comme précédemment; on trouvera les conditions
0(1)1) dl ù(ùl)
Oy ôj" ùjc '
jui donnent
(*) Voir les Mémoires (itijà cités de ïiour et de M. Massieu. Il convient de renarqucr <îue M. Massicu a négligé la seconde hypothèse (ai.:i, c^^o) que mous allons étudier.
Y, Yi désignant deux fonctions arbitraires de y. L'élément linéaire aura donc pour expression ( ^ )
(21) ds^=^i(a;Y'-\-'Yi)dxdy,
et l'intégrale du second degré sera
(21) p^^^^pq^lC.
On tire de là
et, par suite,
Tel est le second cas dans lequel il y a une intégrale du second degré. Mais il convient de i*emarquer que la surface correspondante est, en général, imaginaire.
On peut, en effet, supposer ici que les coordonnées symétriques ^ etjK sont imaginaires conjuguées. Pour que Télémcnt linéaire soit réel, il faut qu'il ne change pas quand on y remplace toutes les imaginaires par leurs conjuguées. Si donc Yo, YJ désignent les fonctions imaginaires conjuguées de Y, Y^, il faudra que Ton ait
^YM-Yi=7X',H-XÎ.
Il suit de là que le premier membre doit être bilinéaire par rapport à ^ et à^. On a donc
A r^ axy H- bx -h ^oJK -H /f,
et la condition qu'il s'agit de vérifier exige que a^ h soient réels et 6, 60 imaginaires conjugués. J3es transformations simples permettent de ramener la valeur de \ aux deux types suivants
Xrr^a2(a?7-Hi),
(») Cette expression de rélcment s'est présenltio à M. Lie dans l'étutle d'un problème résolu par M. Dini et sur lequel nous reviendrons au Chapitre suivant.
a étant une constante réelle. Les éléments linéaires correspondants
(25) ds^=z ,\a'^{xy-^i)dxdy
appartiennent Tun et Vautre à des surfaces applicables sur des surfaces de révolution. On le reconnaît immédiatement en effectuant dans la première formule la substitution
X =i u-\' tV, y ^ u — iç^
etj dans la seconde, la substitution
X = !/£»'*', y rr ue-i^.
Remarquons-le, d'ailleurs, alors même que l'élément linéaire défini par la formule (i>. i) appartient à une surface réelle, la valeur correspondante (a3) de la solution 6 demeure imaginaire, comme on s'en assure aisément en y substituant les valeurs de Y et de Y^ qui correspondent aux deux formes (^i) et ('=^5).
595. Les recherches précédentes conduisent aisément au résultat suivant :
Vêlement linéaire d'une surface étant mis sous la/orme la plus générale
(a6) ds^ == E du"^-^ y^.F du d\^ -h G d^^^,
soit
(ay) AO = ^/)2-h o.fpq ^- ^q"^ — \
V équation aux déri^^ées partielles dont dépend la détermination des lignes géodésicjues. S'il existe une intégrale du second degré
il pourra se présenter deux cas distincts.
Lorsque les premiers membres des équations (aj) et (a8) n'ont pas de facteur linéaire commun de la forme <x.p + j3y, Vêlement linéaire de la surf ace est réductible à la forme de Liounlle
^^5=(Ui-Vi)(^WÎH-^/pî)^
D. --lïl. 3
et les fonctions Ui, Y^ sont, à des facteurs constants près, les j^acines de V équation du second degré en k
(29) {f-kfY-{e'^ke){g^^kg) = o,
que Von obtient en exprimant que la combinaison linéaire
{e'--ke)p'^^l{f^kf)pq^{g'^kg)q'^
des premiers membres des équations (ù.y) et (28) est un carré parfait.
On pourra donc, sans aucune intégration, ramener Vêlement linéaire à son expression réduite. Il suffira, de choisir pour variables indépendantes des fonctions quelconques des deux racines de V équation (ag) (^ ),
Si les premiers membres des équations {'A'j) et ('i8) ont un facteur commun, Vêlement linéaire est réductible à Informe (21).
Il est aisé de vérifier tous ces résultats avec les variables indépendantes que nous avons choisies; et comme ils sont, par leur nature même, indépendants du choix de ces variables, ils sont ainsi établis dans toute leur généralité.
Si l'on a pu obtenir deux intégrales distinctes du second degré
e>2 H 'ifpq -H g'q'^. e" p^ -+■ %f'pq -H g" q^,
il est clair qu'on pourra les combiner linéairement et en déduire la nouvelle intégrale
k désignant une constante quelconque. A chaque valeur de A' correspondra une réduction déterminée de l'élément linéaire à lu forme de M. Liouville. Ainsi :
Lorsque Vêlement linéaire d^une surface est réductible de deux manières distinctes à la forme de M, Liouville^ il est réductible à cette forme dhuie infuiité de manières différentes.
(0 Cette conclusion serait toutefois en défaut si Tune des racines se réduisait à une constante; dans ce cas, Tune des fonctions U„ V^ se réduirait à une constante et la surface correspondante serait applicable sur une surface de révolution.
Ainsi se trouve expliqué le résultat que nous avions indiqué au n^ 413 et sur lequel nous devions revenir. Nous avions, au n^ 417, proposé de rechercher les surfaces dont l'élément linéaire est réductible de deux manières dififérentes à la forme de Liouville.
On voit que cette question peut être considérée comme identique à la suivante : Rechercher toutes les surfaces, ou plutôt tous les éléments linéaires^ pour lesquels le problème des lignes géodesiques admet deux intégrales distinctes du second degré (^). Dans le Mémoire que nous avons déjà cité [II, p. ai 8] M. Lie a fait connaître un certain nombre de solutions de cette question auxquelles on pourra ajouter celle que nous avons déjà donnée au n"* 417. Nous nous contenterons de rechercher ici toutes les formes de l'élément linéaii^e pour lesquelles le problème des lignes géode siques admet deux intégrales, Tune du premier, l'autre du second degré.
596. Toutes les fois qu'il y a une intégrale du premier degré, la surface est applicable sur une surface de révolution. On peut donc écrire soïi élément linéaire sous la forme
L'équation aux dérivées partielles à intégrer deviendra ici
L'intégrale du premier degré sera
et il y a à exprimer qu'il existe une intégrale du second degré
distincte du carré q^ de l'intégrale linéaire. Pour la commodité des calculs qui suivront, posons
(*) Dans ce cas, il suffit d'appliquer les méthodes du n» 591 pour reconaaitre que l'équation en terme-s finis des lignes géodésiques sera du second degri par rapport aux deux conslantes arbitraires.
L'équation de condition
(A, (p) = o nous donnera alors
(Je df dg A
En égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de ^, on obtient le système
de
Ou à\>
du ùv
que Ton peut intégrer sans difficulté en suivant l'ordre des équations. On trouve ainsi
V, Vi, Va désignant des fonctions arbitraires de v. En portant les valeurs de /et de g dans la dernière équation (Sii), on est conduit à la relation
(33) V'(aU''2H-U'U''')-HV'''U'2U''---ViU'''---2V'iU'U''H-2V'2U''=:=o,
qui doit avoir lieu identiquement.
Si Ton donne à p une valeur numérique quelconque, un obtiendra une relation de la forme
(34) a{2W^^ VU") -H bU"" U"h- cV"'^ dV'U^-h eU"=: o,
où a, è, c, d, e seront des constantes, et qui sera une équation différentielle propre à déterminer XJ . On verra aisément que la fonction U ne peut, si Ton écarte un cas tout à fait exceptionnel qui conduirait aux surfaces à courbure constante, satisfaire à une autre
équation de même forme où les constantes a, &, c, rf, e prendraient d'autres valeurs. Il faudra donc que, pour chaque valeur particulière donnée à ^, l'équation (33) soit identique à la précédente. On devra donc avoir, pour toute valeur de ç^,
^^^^ a ~ b " c " cl " e '
et ces équations serviront à déterminer les fonctions V, V^, Vo.
Comme la dérivée U'' fîgm^e seule dans Texpi^ession de l'élément linéaire, on pourra toujours ajouter une constante à U^ et disposer de cette constante de manière à annuler le coefficient c dans l'équation (34); alors les relations (35) nous donneront
et, par suite,
Ainsi on peut toujours, sans diminuer la généralité, întroduii'e l'hypothèse
L'équation (34) devient alors
(36) a{iW' -^-X^'U" ) -^ blV^W •+• eW r.
Posons
Alors les équations (35) qui détei^ninent V et Va prendront la forme
— t\ni — 2 71
et, en intégrant une première fois, on pourra les remplacer par les suivantes
(39) V"-h4/^^V=:o, V2 = -aAiV.
On s'assure aisément qu'il est permis, toutes les fois que m n'est pas nul, de négliger les constantes introduites par les intégrations; les conserver, ce serait ajouter à l'intégrale cherchée une fonction
A(/?2-HU"^2)»i,B^2^
où A et B désignent deux constantes, et qui peut être négligée.
L'équation en U deviendra maintenant
En multipliant par U' et intégrant les deux membres, nous trouvons
nil désignant une nouvelle constante. Remplaçons U'' par -j-? nous aurons du et, par suite,
Il suffit de joindre cette équation à la précédente pour obtenir l'expression de U'' en fonction de u.
L'intégrale cherchée du second degré sera
V^2 \]'V'pq H-. (y\}"^ Y" ~ -h Va) q\
OU, en remplaçant V^ et Va par leurs valeurs,
(42) Vp^- Xi'Ypq H- (VU'^- iîmVU'2— 2 /iV)^^,
la fonction V étant une solution de l'équation
<43) y" = ~^4mV.
Mais ici se présente un résultat tout à fait inattendu. En prenant successivement
V = eît'V^^ et V = ô-'**'^-^,
on obtient non plus une, mais deux intégrales du second degré
(44) e^^^^^^p^s/~m\5'qy^^^q^'^,
(45) e-^^^—^^{p H- /Zr^U'^)V ^.ysj, auxquelles on peut joindre le carré
de l'intégrale linéaire. Il y a donc ici trois intégrales distinctes du second degré.
L'équation des lignes géodésiques se déterminera aisément; il suffira d'appliquer ici les remarques du xïP 591. Le système (6)
INTÉGRALES DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ. Sg
admet les quatre intégrales
qui sont d'ailleurs en nonabre trop grand d'une unité. Et, en effet, on reconnaît que l'on peut éliminer entre elles ii^ ç, /?, g et que les constantes G, C, G' doivent être liées par la relation
(46) G'G"=(r — 2/iG)2^4mm^G^
Si Ton élimine ensuite p et g, on sera conduit à l'équation en termes finis
Q'^-n^^'TJTi^ C"e2ç'N/^== 2 4G(7?iU'2-H n),
qui représentera les lignes géodésiques.
Il est clair que les surfaces remarquables dont l'élément linéaire est défini par les formules (24) et (aS) appartiennent à la classe que nous venons de déterminer (^).
(') La CfucsLion que nous venons d'étudier a été résolue d'une autre manière par M. L. Haffy dans un travail récemment public (voir Comptes rendus, t. CVIII, p. 493» mars 1889, et Bulletin des Sciences mathématiques^ t. XIIÏ, 2* série). M. BafTy prend l'élément linéaire de la surface cherchée sous la forme
c/^a = 4 % dcc dy
et il trouve que X doit avoir l'une des valeurs suivantes
où p et Q désignent des constantes arbitraires et t la somme œ-k-y*
Un calcul auquel le lecteur suppléera aisément permet de reconnaître que cette élégante solution concorde avec celle que nous avions obtenue tout d'abord et qui se trouve développée dans le texte.
4o LIVRE VI. — CHAPITRE HI.
