LES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS

les pins généraux ayant la même propriété seront respectivement

© et ^ désignant des fonctions quelconques; de sorte que si Ton veut ramener ds^ à la forme

la valeur la plus générale de \ sera

Par conséquent, pou7' tous les systèmes de coordonnées et pour toutes les valeurs possibles de x et de x', la fonction

A2 log — = = A2 logv'y.y-'

aura toujours la même valeur. Nous obtenons ainsi un inçariant : on peut le calculer comme il suit.

La fonction x doit satisfaire à l'équation

dv ~ " du ^g qui donne

^ ()logx ^ d\o^y. ^ ^.^ ()logx /g à F -^ JH i ^^ (?p au du "^^ ^ ()u ^g 2 £?f

P •rr

En multipliant par —^ — j on aura de même

f)logx ^ aiogx c?log>c F — m ^ F--tH F — m dE ô9 du ~ ^ c^p "^ y/g <^w y^Ë 2E <?P *

En se servant de ces deux relations pour calculer A2 logx, on obtient immédiatement ce résultat

i d ( .^logx F — i\\ ^E F — m à F -f- iW \ A2logx~g^^ ^—^-^ ^^^ ^^ jj^^ oiM ^E ;

I c) /. (Jlogx \/Ê <) F H- m L ^^

B.ô^\ du '^E du /g 2H dt^y'

2t6 LIVRE Vir. — CHAPITRE I.

OÙ X s'élimine de lui-même. Si l'on change i en — ?, x en y! et que Ton ajoute Féquation obtenue à la précédente, on trouve, en divisant par 2 et en réduisant,

I , ,— , \ d [ \ àÇ, . .^ ,

I c)G . F à^\ EH dç)

^tT "~ ËH ^w

•^H ^P VH (^w H

D'après la manière même dont nous l'avons obtenu, cet invariant doit s'annuler dans le cas où l'élément linéaire est réductible à la forme

et dans ce cas seulement. D'ailleurs, on reconnaîtra aisément, en le comparant à la formule (16) [II, p. 364], qu'il est identique à la courbure totale. Mais on peut aussi établir ce dernier résultat directement en le déduisant des pi^opriétés mêmes d'invariance que nous avons signalées.

Supposons, en effet, que l'on veuille calculer la valeur de l'invariant pour un point M. Prenons pour axes des x el des y les tangentes principales en ce point. Si R et R^ sont les rajons de courbure principaux en ce point, l'équation de la surface dans le voisinage de M sera

, On aura, en choisissant x et j comme coordonnées curvilignes d'un point de la surface,

(60) E = :H-gH-..., F=^+..., G = x-Hg......

Si l'on porte ces valeurs de E, F, G dans la formule (58) et si

l'on remarque que, pour x ^y^^o^ j^ est la seule des dérivées

premières et secondes de E, F, G qui ne soit pas nulle, on trouvera, pour le point M,

(^>o Aoiog^;^=ji-.

LRS PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS. 217

Tel est le résultat établi par M. Beltrami. Les considérations par lesquelles on le démontre ne diffèrent pas essentiellement de celles que M. O. Bonnet a développées dans le Mémoire sur la théorie des surfaces applicables j inséré auXLP Cahier du Journal de l'École Polytechnique.

2l8 LIVRE VII. — CHAPITRE II.