CHAPITRE IL
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL l HEGONNAITRE SI DEUX SURFACES SONT APPLICABLES l'unE SUR l'aUTRE.
Deux surfaces pour lesquelles la courbure totale est constante et a la même valeur sont toujours applicables l'une sur l'autre; mais on ne sait réaliser cette application des deux surfaces l'une sur l'autre que dans le cas où la courbure totale est nulle. — Si l'on savait déterminer les géodésiques des deux surfaces, on pourrait réaliser l'application; mais la détermination de ces géodésiques dépend de l'intégration d'une équation de Riccati. — Méthode permettant de reconnaître si deux surfaces à courbure variable sont applicables l'une sur l'autre. — Cas général. — Emploi des paramètres différentiels. — Cas particulier où les courbes sur lesquelles la courbure totale conserve une même valeur sont parallèles les unes aux autres. -- Cas plus spécial encore où ces courbes forment en outre une famille isotherme; les surfaces sont alors applicables sur des surfaces de révolution. — Étude de deux problèmes particuliers; recherche des surfaces réglées qui sont applicables sur des surfaces de révolution ; recherche des surfaces gauches qui sont applicables sur une autre surface réglée sans que les génératrices rectilignes soient des courbes correspondantes sur les deux surfaces.
683. La théorie des paramètres difiPéren liais permet de résoudre simplement la question suivante :
Reconnaître si deux surfaces sont applicables l'une sur Vautre ou si deux formes de Vêlement linéaire sont équivalentes.
Voici la solution que nous donnerons de cette importante question.
Commençons par considérer le cas exceptionnel où la première surface (S) a une courbure constante; d'après le théorème de Gauss, la seconde surface (S^) ne pourra être applicable sur la première que si elle a une courbure constante, égale à celle de la première. Supposons que cette condition, qui est nécessaire, soit remplie : nous allons montrer que les deux surfaces seront applicables Tune sur l'autre.
En effet, considérons, sur une surface à courbure conslante •— i
SOLUTION DUN PROBLÈME FONDAMENTAL. -^Iq
un système de coordonnées formé par les lignes géodésiques qui passent par un point fixe quelconque de la surface et leurs trajectoires orthogonales. Nous avons vu (n° S99) que Ton aura pour l'élément linéaire la forme réduite
Si, au contraire, la courbure est négative et égale à -\, on trouvera de même
Enfin, si la courbure était nulle, on aurait, pour le même système de coordonnées,
(3) ds""-^ du^'-^riC-d^^^-.
Ces trois formes réduites nous permettent de résoudre complètement la question proposée. Étant données deux surfaces (S), (S'), de même courbure totale, nous allons démontrer qu'elles sont applicables l'une surl'autre, et cela d'une infinité de manières.
Prenons un point quelconque M sur (S) et faisons-lui correspondre un point quelconque M' de (2'). Cela posé, à un point P de (S) ne peut correspondre sur (S') qu'un point P^ dont la distance géodésique à M' égale la longueur de la ligne géodésique PM. Je prends un point quelconque P^ satisfaisant à cette condition et je dis qu'on peut, de deux manières différentes, appliquer les deux surfaces l'une sur l'autre de telle sorte qu'à M et P correspondent respectivement M' et P'.
En effet, rapportons les deux surfaces aux systèmes de coordonnées polaires dont les pôles sont M et M'. En écrivant que les arcs correspondants sont égaux, on sera conduit à une équation
011 cp(w) désigne l'une des fonctions u, sinz^, — -^ — qui figurent
dans les formules (i), (2), (3). Si M doit correspondre à M', on devra avoir aux points correspondants u = liy et, par suite, l'équation précédente deviendra
ch^-^d9''^
l'IO LIVRE VII. — GIIA.PÏTRE II.
on, en intégrant,
ç dz ç' = const.
Soient ?^07 ^o ^es coordonnées du point P; a'^, r'^ celles de F. En écrivant que P et P' se correspondent, on détermine la valeur de la constante, etTéquation entre ç et p' devient
Il Y a deux solutions, correspondantes au double signe du second membre.
Considérons, par exemple, deux sphères égales et deux arcs de grand cercle égaux MP, WP^ pris respectivement sur ces deux surfaces. On peut amener les sphères à coïncider de manière que M', P' soient respectivement en M et P. Alors on peut établir la correspondance entre les deux surfaces, soit en regardant comme homologues les points de deux surfaces qui sont maintenant confondus, soit en faisant correspondre à l'un de ces points sonsvmétrique par rapport à Parc MP. Telle est ici l'interprétation géométrique des deux solutions précédentes.
68i. Nous venons de démontrer que deux surfaces à courbures constantes et égales sont applicables Tune sur l'autre, et d'une infinité de manières; mais il ne résulte pas de là que l'on puisse toujours réaliser l'application et établir les équations qui relient les deux points correspondants. Pour être effectivement appliquée, la méthode que nous avons suivie exige évidemment que l'on connaisse les lignes géodésiques sur les deux surfaces données. Nous sommes donc conduits à nous proposer la question sui-
vante :
Etant donnée une surface à courbure constante^ peut-on déterminer ses lignes géodésiques?
Dans le cas où la courbure totale est nulle, la réponse à cette question n'est pas douteuse. Étant donné l'élément linéaire d'une surface développable, on peut toujours, par de simples quadratures, le ramener à la forme
dx^-j-dy^.
Par suite, l'équation des géodésiques, qui est une relation
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 221
linéaire entre x et 7, s'obtiendra dans tous les cas par de simples quadratures.
Soit, en effet,
cls^ = E diL^-^ 2F du <^p -f- G <^p2
un élément linéaire pour lequel la courbure totale, définie par la formule (58) du Chapitre précédent, est égale à zéro. Il résulte de la signification même de cet invariant et de la méthode que nous avons suivie au n"* 682 que Ton pourra ramener l'élément linéaire précédent à la forme
et, par suite, il existera une fonction \ telle que les deux expressions
\lUtdu^^-^d.^
soient, Tune et l'autre, des différentielles exactes rf(^+y/*) et di^x — iy\ Si nous écrivons les conditions d'intégrabilité, nous aurons les équations de condition
à^ ^ du ^E
ôv x '~ du X v/Ë
Remplaçons dans ces équations 1 par e'> et résolvons par rapport aux dérivées de [Ji; nous aurons
\'âû~' Û du 'lEH du aH dt^ '
^^^ ]à^__J àG F^^
[ dv ~ Q.E du 2EH dv'
11 suffit de se rappeler que la courbure totale est nulle et de comparer à l'équation (58) du Chapitre précédent pour reconnaître qu'il existe effectivement une fonction p. satisfaisant à ces deux équations. Cette fonction une fois déterminée par une quadrature,
on portera la valeur ^'> de \ dans les expressions (5) et Tintég tion de ces différentielles fera connaître se -{- iy et x — ijr. H si fira donc de trois quadratures effectuées sur des différentielles deux variables pour ramener l'élément linéaire à la forme (4) i par suite, pour trouver les lignes géodésiques.
685. Passons aux surfaces à courbure constante et, pour Ci^ les idées, supposons que la courbure soit positive et égale à (pour une surface à courbure négative, il suffira de changer a asj — I dans les résultats que nous allons obtenir). Conservo toutes les notations du Livre V (Chap. I); il est clair que, surface ou l'élément linéaire étant donné, si Ton détermine po chaque point la position du trièdre (ï) par rapport aux lign coordonnées, on aura, en chaque point de la surface, les transi tions ^, \x, •/],7i< et, par suite, les rotations r et /•< (n" 48i). Ces s quantités ne changent pas lorsqu'on déforme la surface; par co séquent, si l'on veut l'appliquer sur une sphère (S) de rayon ( elles auront les mêmes valeurs aux points cori^espondants de (î et de (S). Mais, pour le point de (S), les deux rajons decourbu principaux sont égaux à a et, de plus, les directions principal sont indéterminées. Il faut donc que les deux équations (lo) [I p. 352], qui définissent les directions principales, soient idenl quement vérifiées quand on j fait p = (7. On obtient ainsi h équations
Il -h aq^ =0; 7)1 — api = o,
qui déterminent/?, q,pi, q\ ; de sorte que Ton connaît toutes le rotations et les translations du trièdre (T). La détermination el fective du mouvement de ce trièdre et, par suite, l'application d la surface (S) sur la sphère (S) dépendent donc, d'après les prir cipes exposés au Livre I, de l'intégration d'une équation de Rie cati. Or, lorsque cette application des deux surfaces l'une su l'autre sera effectuée, on connaîtra évidemment les lignes géode siques de (S); elles correspondront aux grands cercles de (S] Ainsi :
La détermination des géodésiques d'une surface à courbur
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 223
totale constante et différente de zéro dépend de l'intégration d'une équation de Riccatû
686, Supposons maintenant que les deux surfaces (2),(2<) soient, l'une et l'autre, à courbure variable; soient u^ ç les coordonnées qui déterminent un point de (S), u^ ç^ celles qui déterminent un point de (S,). Pour que les deux surfaces soient applicables Tune sur l'autre, il faudra que l'on puisse déterminer pour ^^ et p des fonctions de ?/<, (^^ donnant identiquement
E û?m2-h 1? dud<^-\'(^d<^^^ El dii\ -i- 2Fi du^ d^^ 4- Gi dv\,
et cette équation nous montre tout de suite que utl p doivent être des fonctions indépendantes-, car, si u était fonction de p, le second membre serait un carré parfait.
L'application des méthodes générales conduirait pour u ^l v k trois équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le problème posé, envisagé sous ce point de vue, consisterait donc à reconnaître si ces ti^ois équations peuvent être vérifiées par un ou plusieurs systèmes de valeurs de u et de p.
Mais les propositions que nous avons établies précédemment vont nous permettre de reconnaître par de simples éliminations si les deux surfaces (S), (Si) sont applicables Tune sur l'autre. Nous savons d'abord qu'aux points correspondants des deux surfaces les courbures totales doivent être égales. Si nous .désignons, par conséquent, par cp(z/, <;) et <yi(w«, ^k) les expressions de la courbure totale, formées respectivement avec les éléments des surfaces (S), (Si), nous devrons avoir l'équation
(7) ?(^j t') = ?i(wi, Pi).
D'autre part, s'il existe une transformation de coordonnées permettant de passer de l'élément linéaire de la surface (S) à celui de la surface (S< ), tout invariant de la fonction cp, formé avec l'élément linéaire de (S), devra être égal à l'invariant correspondant de <f)i formé avec l'élément linéaire de (Si). Cette remarque nous permet de former une suite illimitée de relations entre w, (^, w^, t^i, qui seront toutes nécessaires.
Le principe suivant va nous aider à nous reconnaître au milieu
de toutes ces relations et d'écrire seulement celles qu'il est indispensable de considérer.
Soient
(8) (p(M, p; = cpi(wi, Pi), ^(u, ç) =4>i(mi, ç^)
deux quelconques d'entre elles, que l'on choisira de manière à satisfaire à cette unique condition que les deux fonctions cp et i soient indépendantes. Alors il devra en êti^e de même des fonctions e^i el^ii sans cela, les surfaces ne pourraient être applicables l'une sur l'autre. Dans ces conditions, les équations précédentes résolues par exemple par rapport à ^^ et à ç, définiront une ou plusieurs correspondances distinctes entre les points des deux surfaces (S), (S, ). I] est donc nécessaire, d'après la théorie même des invariants, que l'un au moins des systèmes ainsi obtenus de valeurs de II et de ^ vérifie les trois équations
(9) Acp = Aicp„ A(cp, ^»;)=:Ai(cpi, d^i), A-]; = Ai(tl;i),
où l'indice supérieur i indique les paramètres différentiels formés avec l'élément linéaire de (S,). Mais nous allons montrer que, si la condition précédente est nécessaire, elle est aussi suffisante. En eCFe't, puisque les fonctions o) et A sont indépendantes, nous pouvons déterminer un point de la première surface par les valeurs qu'y prennent cp et A, et, d'après la formule donnée plus haut, l'élément linéaire de cette surface (S) aura pour expression
, ^ A6 d'^'- — 2 A(cD, d-) do d'b -h Ao d'b2 Acp Atp — A2((p, 6)
De même, l'élément linéaire de (S,) sera réductible à la forme
^^^, ^ Al.!;, do\ - 2 \^(^,,'i>,)d'j^, ^/'%-t- Aiçpi d'}^l '' AicpiAi^i-(Ai(cpi, ^0)^
et, par suite, la correspondance établie par les cinq équations (8) et (9) nous donnera
ds'-= dsl.
Notre proposition est donc établie; elle permet, on va le voir, de résoudre simplement la question proposée.
687. Reprenons en effet l'équation (7), à laquelle nous adjoin-
SOLUTION d'un problême FONDAMENTAL. 225
drons la suivante
Si A'f n'est pas une fonction de o, A* cp^ ne sera pas une fonction de <pi ; autrement les deux surfaces ne pourraient être applicables Tune sur Tautre; A'^ et A^ cp^ pourront donc jouer le rôle des fonctions que nous avons appelées plus haut à et ai. Le système des équations (8) et (9) se réduira ici au suivant
) Acp = Aicpi, ^'"^^ j A(cp, Ao) = Ai(çi,Aicpi),
\ AAcp = Al Ai©i,
et il suffira que les deux dernières équations soient des conséquences des deux premières pour que les surfaces (S), (S^ ) soient applicables Tune sur l'autre.
Notre raisonnement ne suppose en rien, on le voit, que o soit la courbure totale et il s'appliquerait sans modification si l'on savait a pi^iori que deux fonctions quelconques o(w, (?), (p^ (î^^, P|) doivent prendre la même valeur aux points correspondants des deux surfaces. Le théorème de Gauss n'intervient dans cette analyse que pour nous faire connaître une fonction invariante. Le fait que cette fonction est la courbure ne joue qu'un rôle secondaire dans nos raisonnements; mais il n'en est plus ainsi, et la signification de ç reprend une grande importance, dans les cas particuliers que nous avons écartés et que nous allons maintenant examiner.
688. Supposons que, pour la surface (S), Ay soit une fonction de (p, F((f); il en sera de même pour l'autre, et l'on devra avoir
évidemment
Aicpi=F(cpi),
sans quoi les deux surfaces ne seraient pas applicables l'une sur l'autre. Nous supposerons cette première condition satisfaite.
L'équation
Aç) = F((ï>)
exprime que les lignes sur lesquelles la courbure totale est la
même forment une famille de courbes parallèles. Nous avons
D.— III. i5
déjà rencoalré au n° 671 les surfaces jouissant de cette propriété et nous avons même donné la forme de Télément linéaire lorsqu'on prend un système de coordonnées formé de ces courbes parallèles et de leurs trajectoires orthogonales. Il nous suffira de remarquer ici que l'élément linéaire est de la forme bien connue
où Ton a (n« 672)
dtn
(il) û?M=-pL.-
On peut établir entre les invariants de la surface une relation qui nous sera utile. Si l'élément linéaire d'une surface est ramené à la forme
on a
i dC \ I £)2C
et de là on déduit
(I2) A(W, AâZi) =— cp — (A2W)2.
Cette équation est tout à fait générale. Mais, si nous supposons maintenant que la surface soit une de celles que nous voulons étudier et que les courbes de paramètre u soient celles sur lesquelles la courbure <p demeure constante, A<p deviendra une fonction de «p ; w sera aussi une fonction de cp, définie par l'équation (i i), et la relation (12) se transformera dans la suivante
qui convient aux surfaces dont nous nous occupons et ne contient d'ailleurs qu'en apparence des intégrales et des radicaux.
Revenons aux deux surfaces (S), (S^). Nous savons qu'aux points correspondants on doit avoir
. ( ?(w, p)= c?i(wi, Pi),
( ^¥(w, ^) = AicpilMi, (^1);
mais ces deux relations, en vertu des hypothèses actuelles, se ramènent à une seule. Nous obtiendrons une équation nouvelle en
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 22^
exprimant que les invariants du second ordre sont égaux, c'està-dire que l'on a
Pour la simplicité des raisonnements, nous écrirons cette équation sous la forme équivalente
do ^ 1 /* d'^i et nous lui adjoindrons la suivante
Cela posé, si nous supposons que Ao j-lz ne soit pas une fonction de cp et que A^ / -—4= ne soit pas une fonction de C5| , les deux
équations (i4) [qui se réduisent à une seule] et l'équation (i5) définissent une ou plusieurs correspondances entre les points de deux surfaces. Si Tune de ces correspondances entraîne comme conséquence l'équation (i6), les deux surfaces seront applicables l'une sur l'autre.
En effet, en vertu de l'identité (i3), les équations (i4) et (lo) entraînent la suivante
et enfin l'identité, démontrée au n" 673,
e2(cp, A2)H-A2(cp, A2) = AcpAA2, qui a lieu pour les deux surfaces, nous donnera de même
do
J \/Acp V /Aicpi
La correspondance établie est donc telle que les deux fonctions cp, A2 sont égales, ainsi que leurs trois invariants du premier ordre; par suite, les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, en vertu du principe général que nous avons établi tout d'abord.
689. Il nous reste à examiner ua dernier cas, c'est celui où, no seulementAcp,maisAo Ty?-. serait une fonction de cp. Comn on a
il est clair que cela revient à supposer A^cp fonction de cp.
Si ce cas exceptionnel se présente pour Tune des surfaces, devra aussi se présenter pour l'autre, et l'expression de Ao cp en fon tion de cp ne saurait être différente pour les deux surfaces. Noi allons montrer que ces conditions sont suffisantes : si, pour deu surfaces différentes, Aacp et Acp sont des fonctions de cp et si les ei pressions de ces deux fonctions sont les mêmes, les deux surface sont applicables l'une sur l'autre et d'une infinité de manière Soit, en effet, (S) l'une des deux surfaces. En posant
^V i/Ac5
et rapportant la surface au même système de coordonm'îcs qu précédemment, on aura pour l'élément linéaire
ds^= dii^-'\-0^dç^-.
Si Q désigne une fonction quelconque, Tcxpression générale c Ajû devient ici
i d (^da\ \ ô / i âa\
En prenant donc Q = cp, on trouvera
±àC d^ d^ ^ ^^ '^ Q du du du du
ou, en tenant compte de la relation entre cp et u^ ce qui donne
JL I <^Acp ,T ^C, '"^ l d^
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 229
En intégrant et remplaçant du par --4, on obtient la valeur sui-
vante de C
/Acp
OÙ V désigne une fonction quelconque de v. Substituons cette valeur de G dans Télément linéaire et remplaçons Y dç par dç^ nous obtiendrons définitivement
(17) ds^=^^ ^(;2.
^ ^ ' Ao Acp
Cette formule démontre immédiatement la proposition que nous avions en vue. Gomme elle dépend exclusivement des expressions de Acp, AoÇ) en fonction de y, elle sera évidemment la même pour les deux surfaces considérées, et Tapplication se trouvera réalisée parles formules
( o = cpi,
( <; = =h Pj -H a,
a désignant une constante arbitraire. Les deux surfaces sont alors applicables l'une sur l'autre d'une infinité de manières, ce que l'on n'aura aucune peine à s'expliquer si l'on remarque que l'élément linéaire donné par la formule (17) est celui qui convient aux surfaces de révolution.
Pour établir la correspondance entre les deux surfaces, il suffira de ramener leur élément linéaire à la forme (17), et il est aisé de reconnaître que cette réduction exige une quadrature pour chaque surface. En effet, si l'on tire de l'équation (17) la valeur de dç, on trouvera
et le second membre, ne contenant que des quantités connues ou des invariants, pourra être obtenu sans difficulté quelles que soient les coordonnées choisies, par conséquent, ç sera donné par une quadrature.
23o LIVRE VU. — CHAPITRE II.
690. La discussion que nous venons de terminer montre qu'il y a seulement deux classes de surfaces pour lesquelles l'application peut se faire d'une infinité de manières : ce sont les surfaces à courbure constante et les surfaces applicables sur les surfaces de révolution. Les unes et les autres sont évidemment applicables sur elles-mêmes d'une infinité de manières. L'analyse précédente montre d'ailleurs d'une manière évidente qu'elles sont les seules jouissant de cette propriété. Toutefois rindétcrmination n'est pas la même dans les deux cas : pour les surfaces à courbure constante, le mouvement de déformation dans lequel la surface glisse sur ellemême peut amener un point quelconque en tout autre point de la surface; au contraire, dans le cas des surfaces à courbure variable applicables sur des surfaces de révolution, chaque point de la surface pourra seulement glisser le long do la courbe lieu des points pour lesquels la courbure totale demeure invariable.
Signalons cette conséquence que les surfaces hélicoïdcs ou de révolution ne peuvent être applicables les unes sur les autres que si les hélices ou les parallèles sont des courbes correspondantes sur les surfaces que l'on considère. Par conséquent^ les résultats des n°^ 73 à 79 nous donnent bien tous les hélicoïdcs et toutes les surfaces de révolution qui correspondent à une forme donnée de l'élément linéaire (^).
691. Nous allons indiquer différentes applications de la méthode précédente. Cherchons d'abord s'il existe des surfaces réglées applicables sur des surfaces de révolution. Nous savons (n" 80) que l'élément linéaire d'une surface réglée rapportée à ses génératrices rectilignes etàleurs trajectoires orthogonales cstdc la forme
A, B, G étant des fonctions de p. On peut évidemment choisir la
(*) On consultera, sur le problènne que nous venons de résoudre:
MiNDma(F.), Wie sich entscheiden lâsst ob zivci gegebene Flâchen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkiingen uber die Flàchen mit unverànderlichen Krummungsmaassen {Journal de Crelle, t. XIX, 1889 ).
LiouviLLE (J.), Notes de la 5» édition de V Application de V Analyse à la Géométrie de Momn (Notes IV et V); i85o.
Bonnet (0.), Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée {Journal de l'École Polytechnique, XLI» Cahier, iB63).
Bertrand (J.), Traité de Calcul différentiel et intégral, t. I.
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. aSt
fonction ^ de telle manière que l'on ait (2i) AC^B2=i.
Le seul cas d'exception est celui où le coefficient de dç^ est un carré parfait. Mors la surface est développable et la solution de la question posée devient évidente : toutes les surfaces développables sont applicables sur le cône de révolution.
En tenant compte de la relation (21), on aura
Or on sait que, pour toutes les surfaces de révolution^ les lignes sur lesquelles la courbure est constante sont parallèles les unes aux autres. Cette propriété, à la vérité, appartient encore à d'autres surfaces, mais elle nous suffira pleinement dans ce qui va suivre.
On devra donc avoir l'équation
qui caractérise (n" 672) les familles de courbes parallèles et qui devient ici
4(AwH-B)2-i-^^ ^^ i- =/(^^),
A', B', O désignant les dérivées de A, B, G. Si nous remarquons qu'en vertu de la relation (21), on a
(Am-HB)2=:A^2 i,
on voit que nous pourrons donner à l'équation précédente la
forme
(A'î^2-i-2B'M-hG')2 = /(^)-4A^*.
Pour éliminer /(^), nous allons différentier en supposant que g reste constante, ce qui donne la relation
a(A'w2-h2B'w~HG')(A'MH-B')r/M ^ [(A' w2-H 2 B'w H- COCA" ^2+ o.B"u 4- G'') H- 2 A'^*l dv = 0.
Mais, g devant demeurer constante, les rapports de du et de d^ sont définis par l'équation
2^ ^^ == = 2( Aw -h B) ^w-h (A^w2^ aB'M H- G') di>,
qui donne
2 du — dv
A'M24 2B'w-t-G' Aw-f-B
On aura ainsi, en remplaçant dans l'équation précédente du^ rfp par les quantités qui leur sont proportionnelles,
(A'w2 4- aB'if + G')[(A' w H- B0(A'z^2+ aB'z* h- G')
— (Aw -H B)( A"m2 -^ 2B" w -h G")] = aAXAM-i-B)(AM2-H2Bw4-G)2.
Cette relation doit avoir lieu identiquement. Si nous égalons les coefficients de la plus haute puissance de u dans les deux membres, nous trouvons
A'(A'^ — AA"~-aA3)=:o.
Commençons par examiner l'hypothèse
A' = o, c'est-à-dire A = const.
Alors la relation (28) prend la forme
(2B'm-hG')[2B'2m4-B'G'— (Az*-hB)(2B"w-f.G")] = o.
On peut vérifier cette équation soit en annulant le premier facteur, soit en annulant le second. Dans le premier cas, on a
et à cette solution correspond la forme suivante de l'élément linéaire
ds"^^ du'^ -^ {au'^'^ %ba ^ c) dv^,
OÙ a, 6, c sont trois constantes quelconques. Mais, si Ton suppose que le second facteur soit nul, oii aura
