AT
AB'' = o, B'2-.BB"— — =0, B'G'-BG''=o.
Il j a deux cas à distinguer suivant que A est nul ou différent de zéro :
1° Supposons A = o; nous aurons, en tenant compte de la relation (21),
B = i, Q"— 0, G = niQ -H n,
SOLUTION d'un problème FOND A.MENTAL. 233
m et n désignant des constantes. On a donc
2° Soit maintenant A^^ o; il vient
B" =0, B = Tnp -h 71,
p„__2m2 (mv-^n)^ i
A A A Donc
692. Il nous reste maintenant à examiner les solutions de l'équation (aS) pour lesquelles A' serait différent de zéro. II est aisé de voir qu'il n'y en a aucune.
En effet, si A' n'est pas nul, le second membre de la relation
(23) ne le sera pas non plus; par suite, il devra être divisible par le trinôme A.' u^ -\- 2B^ u ■+- Q , Il faudra donc que les deux équations
A,ï*2^2Bf^-f-G = 0, A'w2+Q,B'w-f-G'=o
aient au moins une racine commune. On pourra donc égaler à zéro leur résultant, ce qui donnera la relation
(24) (AC'-hCA'~-2BB')2-4(B2--AC)(B'2-A'C') = o. Mais, si Ton différentie l'équation (at), on a
(25) AG'+GA'-2BB'=o,
de sorte que la condition précédente prend la forme simple
Il faudra donc que A'u'-i- ^B^u-^-G soit un carré parfait-, mais alors A?^ + B, devant, d'après l'équation (28), diviser
(A'îfc4-B0(A'w2H-aB'w-h.G')2,
admettra nécessairement la racine unique du trinôme
A'MîH-aB'M-f-G';
et, par suite, les deux équations
Ar^-hB = 0, A'u^'\-2B'u-^C'=^o
p34 livre vu. — • GHAPIXaE II.
devront avoir une racine commune. Or cela est impossible tant que A' n'est pas nul; car l'élimination de u conduit à la condition
d'où l'on peut faire disparaître B^ au moyen de l'équation (aS), et l'on arrive ainsi à la relation
(B2 AG)A'=o ou A'= o, qui est en contradiction avec notre point de départ.
693. Donc les seules solutions de la question posée sont celles que nous avons indiquées en premier lieu et qui correspondent aux trois formes suivantes de l'élément linéaire
(a6) \ ds^ = dit^- ~'r rA( z^ -h- mv H- /i)- -H ~ d^-,
\ ds^ = du^ 4- (2 iu '\- mv -V-n) ch^.
Ces formes peuvent elles-mêmes être simplifiées et, en distinguant tous les cas, on trouve les expressions réduites
f d$^'- du^--\-udi>^-,
] ds^ = dii^ -h ( u^ -f- a2 ) <r/p2,
^^"^ J ds''==du'2-h[(u'+-ai^y'\-b^]di>^,
l ds^- = du^ -~h(U'\-a^p) dç^.
La première correspond aux surfaces de xx»volution dont le méridien est défini par l'équation
-=^Js/?'-r>^'-d?,
p étant la distance à l'axe et s la distance a un plan perpendiculaire à l'axe. Elles sont engendrées par la révolution de la développée d'une chaînette autour de la base de cette courbe.
Parmi les surfaces de révolution en nombre infini (n*' 76) qui correspondent aux autres expressions réduites (^7) se trouvent l'alysséide pour la deuxième forme (n° 66), les ellipsoïdes et les hyperboloïdes de révolution pour la troisième, le paraboloïde de révolution pour la quatrième. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier tous ces résultais.
Quant aux surfaces réglées qui admettent les formes précédentes
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 235
de l'élément linéaire, on les déterminera par une méthode générale aue nous ferons connaître plus loin. Nous nous contenterons, pour le moment, de remarquer que la première et la dernière des formes précédentes ne peuvent correspondre qu'à des surfaces dont les génératrices rectilignes sont imaginaires.
694. Proposons-nous maintenant de reconnaître s'il existe des surfaces gauches applicables sur des surfaces gauches sans que les crénératrices rectilignes des deux surfaces se correspondent, ce qui revient à rechercher si Ton peut résoudre l'équation
où a &, c désignent des fonctions de r et a^, 6<, c^ des fonctions de \>' sans supposer que (^' soit une fonction de ç'.
Nous admettrons, comme précédemment, que l'on ait choisi r et / de telle manière que l'on ait
Alors l'équation relative à la courbure nous montre qu'aux points correspondants, on doit avoir
et notre équation (28) devient
Elle admet une première solution
du=:±du', dv-±dç\ Mais alors les génératrices rectilignes se correspondent dans les deux surfaces. Cherchons donc d'autres solutions. Écrivons l'équation sous la forme
g^{dv + d^')(,dv - dv') = {da-^du'Kdu'- du).
Comme le signe de^ importe peu, on peut toujours supposer qu'il y a proportionnalité entre les deux premiers facteurs de chaque membre et poser, sans diminuer la généralité, g(dç-^dv')^ l(du-hdu'), ^(^clv — dv') =,~-{du- du').
Introduisons les variables nouvelles
on aura
dv -H ^t;'= ^ dcL, d^ — dv = --T- d^.
Les seconds membres devant être des différentielles exactes, on pourra poser
A étant une fonction de a et B une fonction de fi. On déduit de là
^ du= dx -^- f/p, du'— dcc — c/|3, ^ ^^ ^ , dT. d^ , , d% d^
et, par suite, en choisissant a et |3 comme variables indépendantes
On retrouve ainsi, comme il fallait s'y attendre, la forme de l'élément linéaire considérée par M. Liouville.
Pour la commodité des calculs qui suivront, nous allons changer de notations. Posons
( ^ = P; B = pi,
R et Ri étant des fonctions qui dépendent respectivement de p et de Pi. Il viendra
(33) r^^-9Pu
j»=M*-M*- "■-'fv'h-fs/^,'"-
1 J /PR J /pi Ri J /pH J v/piHi
SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 287
elles fonctions inconnues devront être telles que l'on ait (36) — ?Pi = au^'h2bu -hc-ai u'^-hiby u'-h d,
a, 6, c et (r?!, 6^, Cj étant des fonctions de v et de p' assujetties à la condition de vérifier les relations (29).
69S. On pourrait déterminer les fonctions R et R< par la condition que nous venons d'énoncer; mais il vaut mieux remarquer que la courbure totale de la surface, calculée avec la forme primitive (28) de rélémcnt linéaire, a pour expression
On peut aussi la calculer au moyen de la forme nouvelle (35) Je l'élém^jnt linéaire, et l'on trouve alors, en appliquant par exemple la formule (8) [11, p. 385],
Si l'on égale les doux expressions de A, on aura réqualionfonc-
lionncllc
'ip-piï'^ (p — pi)- (PPi)^
qui suffira, nous allons le reconnaître, à la détermination des fonctions R et Rj ; mais, au lieu de résoudre la question ainsi posée, nous la généraliserons un peu et nous rechercherons si la valeur de la courbux^e peut être une fonction quelconque du produit ppi. Nous serons ainsi conduits à Téquation
qui comprend la précédente comme cas particulier. Pour la résoudre, nous allons la cliffércntler totalement en supposant que le produit ppi demeure constant, c'est-à-dire que Ton a
rip dpi ^
T "^ pi
On trouve ainsi, en différentiant l'équation (4o) et en rem-
plaçant dp, <^p^ par p et — p, respectivement.
( ~-6(R-Ri)Cp-i-pi)H-2R'(2p-Hpi)(p-pi)
^^'^ \ +2R;(2pi4-p)(p-pi)-i-(R';pi-irp)(p^Pi)2=o.
Prenons la dérivée deux fois par rapporta p et deux fois par rapport à p^ ; nous trouverons
pR^'4-4R"'=piRÏ'-H4R'i.
Par suite les deux membres de cette égalité doivent avoir une même valeur constante, et, si nous remarquons que le premier est la dérivée quatrième de pR, nous voj'ons que Ton doit avoir
/désignant un polynôme du quatrième degré à coefficients constants. L'équation de condition (40? ^^ 1'*^^^ ^^^^ P = Pi? montre immédiatement que Ton aura de même
PiRi--=/(Pi).
et elle est d'ailleurs vérifiée, on s'en assure aisément, sans qu'il soit nécessaire d'imposer aucune condition aux coelficicnts dc/(p).
