Soit, en conséquence

{il) /(p) = Z-i-/?ip -h /lp2^-jop3^- <7p*.

En portant les valeurs de R et de R^ dans l'expression delà courbure, on trouvera

Il suffira donc, pour avoir la solution de la question proposée, de faire

c'est-à-dire de prendre pour/(p) un polynôme du troisième degré seulement. Mais alors l'élément linéaire prendra la forme

qui convient aux surfaces du second degré (n*^ 504). De plus,

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 'iSo

l'équation différentielle

\/W) ^fiPiY

qui, d'après les formules (34), définit les deux familles de courbes V = const., p'= const.,

est précisément celle des lignes asymptotiques, c'est-à-dire des génératrices rectilignes de la surface. Ainsi :

Toutes les fois que deux surfaces réglées sont applicables Vune sur l'autre sans que leurs génératrices coïncident, elles sont applicables sur une même surface du second degré de telle manière que leurs génératrices rectilignes correspondent respectivement aux deux systèmes de génératrices rectilignes de cette suif ace.

On peut, il est vrai, adresser une objection à l'analyse précédente. En prenant A et B pour variables indépendantes, nous avons exclu le cas où l'une de ces fonctions se réduirait à une constante. Mais l'examen de ce cas spécial n'offre aucune difficulté et n'infirme en i^ien la proposition précédente. Si A, par exemple, se réduit à une constante, la forme (3i) de l'élément linéaire est celle qui convient aux surfaces de révolution. Les deux surfaces réglées qui sont applicables l'une sur l'autre auront donc leur élément linéaii^e défini par l'une des formules (27). Nous laissons au lecteur le soin d'examiner en détail ce cas particulier qui le conduira seulement aux surfaces applicables sur les surfaces de révolution du second degré.

697, Nous donnerons plus loin une démonstration nouvelle et plus simple de la proposition que nous venons d'établir et qui est due à M, 0. Bonnet (^). Si nous avons rapporté la précédente, c'est qu'elle conduit à un résultat qui nous paraît mériter d'être signalé. Nous avons vu que, si Ton prend pour R et R^ les valeurs

(») On en trouvera deux démonstrations différentes dans le Mémoire sur les surfaces applicables de M. 0. Bonnet {Journal de l'École Polytechnique , XLII" Cahier, p. 44 et suiv,; 1867).

les plus générales

(43) ^ = -y-' ^^- Pi '

/(p) étant le polynôme défini par l'équation (42), la courbure est une fonction de pp< donnée par l'équation (43). Si l'on prend les valeurs de w, (^, u'j v' définies par les équations (34), l'clément linéaire de la surface pourra être ramené à l'une des formes

ds^- du""^ g^dv"^ 1 ds^^dul^^-^g'^d^'^ \ * ^^

D'après l'expression même de la courbure et la formule (43), la fonction g-^ exprimée en a et ç, devra satisfaire à l'équation

et de même, considérée comme dépendante de u^ et de f', elle satisfera à l'équation

L'équation (46), par exemple, s'intègre aisément cl nous donne ^2 =: V cos u /— ^ + Vi sin u /— ■ </ -H Vg, V, Vo V2 étant des fonctions de <,' assujetties à vérifier la relation

On peut évidemment, en remplaçant v par une fonction de r, supprimer cette dernière condition; de sorte que l'on est conduit à considérer des surfaces dont l'élcmenl linéaire est exprimé par la formule générale

(48) d$'^=^ c^a2-i-(VcosaM-+- Vi sitiaa-H V2) dv-^

Q\x a désigne une constante quelconque et V, V, , V2 des fonctions arbitraires de ç.

Cette forme de l'élément linéaire, que nous rencontrons pour la première fois, comprend co-mme cas particulier celle qui con-

SOLUTION d'un problème FONDAMENTAL. 241

vient aux surfaces réglées. 11 suffit, pour le reconnaître, de développer suivant les puissances de u et de faire tendre a vers zéro, en supposant que les trois premiers coefficients (de w^ ^^, et u-) demeurent des fonctions finies et déterminées de v. Si Ton a, entre les fonctions V, la relation

on retrouve rélémcnt linéaire d'une surface à courbure constante; car on peut exprimer l'élément linéaire comme il suit

ds^ =-. diû- -- (Va oos ^' -h V4 sin ^ y d^,

V3 et V', désignant des fonctions de ^. Ainsi, de même que les surfaces i^églécs peuvent se réduire aux surfaces développables, dont la courbure totale est nulle, les surfaces dont l'élément linéaire est défini par la formule (48) comprennent comme cas particulier celles dont la courbure totale est constante.

L'analogie se complète encore par la proposition que nous rencontrons ici : paxuni ces surfaces nouvelles, il y en a une qui admet on quelque sorte un double mode de génération, c'est-à-dire dont Télémenl linéaire est réductible de deux manières différentes à la forme (4^)- C'est celle dont l'élément linéaire, exprimé en fonction des variables p et p^, est défini par l'équation (44) oii Ton supposera que /(p) désigne maintenant un polynôme du quatrième degré.

11 y aurait sans doute intérêt à trouver, en termes finis, les équations d'une ou de plusieurs surfaces admettant l'élément linéaire (4^); i^^^is nous aurons à revenir sur cette question, pour la considérer à un tout autre point de vue, dans l'étude de la géométrie non euclidienne.

D.-IIJ. t^