LES FORMULES BE GÀUSS

Étude du commencement du Mémoire de Gauss. — Introduction des déterminants D, D', D". — Expression de DD"— D'^ en fonction des coefficients qui entrent dans l'élément linéaire et de leurs dérivées. — Relations dinerentielles entre D, D', D" et les coefficients de l'élément linéaire. — Rapprochement avec les formules de M. Codazzi. — Équations diflerenticlles des lignes asymptotiques, des lignes de courbure, équation aux rayons do courbure principaux écrites au moyen des quantités D, D', D", ~ Équations aux dérivées partielles du second ordre auxquelles satisfont les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface, lorsqu'on connaît D, D', D". — Équation aux dérivées partielles qui détermine les surfaces admettant un élément linéaire donné. — Les caractéristiques de cette équation sont les lignes asymptotiques de la surface.

698. Après avoir indiqué les méthodes qui pcrmcilent de reconnaître si deux surfaces données sont applicables l'une sur l'autre, nous allons étudier une question non moins importante, et nous nous proposerons de déterminer toutes les surfaces ayant un élément linéaire donné ou applicables sur une surface donnée. Cette question, mise au concours en iSSg par l'Académie des Sciences, a été l'objet de nombreux et importants travaux que nous avons déjà cités (^). Il est curieux toutefois de remarquer qu'une étude attentive du Mémoire de Gauss devait conduire presque immédiatement et sans effort a l'équation aux dérivées partielles du second ordre des surfaces applicables sur une surface donnée. Nous allons étudier avec les détails nécessaires la belle

(') BouR(E.), Théorie de la déformation des sur/aces {Journal de l'École Poîytqchnique, XXXIX* Cahier, 1862).

Bonnet (C), Mémoire sur la théorie des surfaces oppUcahles sur une surface donnée {Journal de l'École Polytechnique, XLI" et XLH* Cahier, i865).

Codazzi (D.), Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les autres, envoyé au Concours ouvert sur cette question, en 1S59, par r Académie des Sciences, déjà cité et analysé [II, p. 3 G9].