LES FORMULES DE GAUSS
méthode de Gauss; il nous suffira d'ajouter quelques relations nouvelles pour obtenir un ensemble tout à fait équivalent aux formules de M. Codazzi.
Considérons la surface dont l'élément linéaire est défini par la relation
(Q ds^ — E du-^-^ '2F du dç + dv-.
A Texemplc de Lamé, -désignons par le signe S une somme étendue à trois termes jouant le même rôle par rapport aux trois axes coordonnés. Si x^ y^ z sont les coordonnées rectangulaires du point {u, r) de la surface, nous aurons
et ces trois équations définissent complètement les relations qui existent entre les coordonnées rectangulaires et les coordonnées curvilignes d'un point quelconque de la surface.
Introduisons les cosinus dii^ectcurs de la normale en ce point. Si Ton pose, pour abréger,
on aura, en désignant par c, d, d' ces cosinus,
et aussi
Sdr O àx
Eu (JiflcL'onlianl successivement ces deux, dernières relations, on trouve
ô ôli dû ^ " O' ô-il^ ' O dp d« O au à, llemplaçons dans les seconds membres c, c', c" par leurs valeurs
2j4 LIVRE VU. — OHArlTRE 111.
tirées des formules (4) et posons, pour abréger,
du'-
du'-
àx dû
du
ùz du
dx
ôy
dz
dudv
duOç
Ou Oi
dx du
dy Ou
dz Ou
dx
dy
Oz
Ox Ou
dy Ou
ùz du
dx Oç
ày
dç
ùz
Nous pourrons écrire
i Qàc dx ^B ndc ùx \y
\\^dûdïc~'^ II' \^ Ov Ov ' " """ 'IJ 1 n de dx ^ n de dx ^ ^ D' ( O i)w ^ ~" U^ c^^ "^ if*
Ces relations vont nous permettre de détenu im^r les dérivées premières de c, c'j c'^ en fonction des dérivées premières dc^',j^, z et de D, D^ D^
Remarquons d'abord qu'en tenant compte de Tidentité
on peut poser
de , de' „ de" Ou Ou Ou
de dx Ox
Ou Ou Oi'
de' dv dv
(Ou Ou Oi^
de" dz dz
Ou Ou Oi>
m et n étant deux coefficients à déterminer. On pourra de même, en introduisant deux inconnues nouvelles, écrire
de Oif
,dx ,dx Ou Oç
de' , dy
rày
Oç Ox 0^
de" , dz , Oz Ov Ou Ov
Si Ton substitue ces valeurs des dérivées de Cj c'^ c" dans les
LES FORMULES DE GAUSS. o'^
équations (7), on trouve les relations
-^mE -i-nF =0, g- +;nF -h TiG =0,
qui feront connaître /?z, /z, m', n^. On obtient ainsi les valeurs FD'— GD FD~ED'
