CHAPITRE m

l'une sur l'autre.

Problème de M. Beltrami : déterminer tontes les sui^faccs qui peuvent être représentées sur le plan de telle manière que les gcodésiqucs correspondent aux droites du plan. — Solution directe et com'plcte de ce problème : les surfaces à courbure constante sont les seules qui puissent être représentées de cette manière sur le plan. -— Problème de M. Dini : déteiMîiiner tous les couples de surfaces tels que l'on puisse établir entre deux surfaces de chaque couple une correspondance dans laquelle les géodésiques correspondent aux géodésiques. ~ Solution de M. Dini. — Théorème de M. Tissot. — L'élément linéaire des surfaces cherchées se ramène à la forme de M. Liouvillc. — Application : pi^opriété remarquable de la iransfoi^mation homographiquc. — Solution nouvelle et directe des deux Iproblèmes précédents. Si l'on cherche ù déterminer les

courbes pour lesquelles l'intégrale / f{u, v, v') du prise entre deux points

donnés est maximum ou minimum, on est conduit à une équation difîérenticlle du second ordre définissant les courbes cherchées. — Cette équation peut être considérée comme étant la plus générale du second ordre; et à chaque équation de cet ordre correspondent une infinité de fonctions /(w, t', ç'), — Détermination effective de ces fonctions quand on sait intégrer Téquation difrércntielle. — Relations avec la théorie du multiplicateur de Jacobi. — Application à l'équation v"= o et aux problèmes de MM. Beltrami et Dini,

597. Les résultais que nous avons obtenus dans le Chapitre précédent nous permettent maintenant d'aborder une question très intéressante, qui a été posée et résolue par les travaux de MM, Beltrami et Dini.

Étant donnés une sphère (S) et un plan (P), si, du centre de la sphère, on projette les différents points de cette surface sur le plan (P), on établit ainsi, entre les points de la sphère et ceux du plan, une correspondance dans laquelle à toutes les droites du plan correspondent évidemment des grands cercles de la sphère. En d'autres ternies, les deux surfaces se correspondent^ point par points de telle manière qu^à chaque ligne géodésique de Vune corresponde une ligne géodésique de C autre.

REPRÉSENTATION GÉODÉSIQUE DE DEUX SURFACES. 4l

Celte remarquable propriété a été depuis longtemps utilisée dans la théorie des Cartes géographiques. Dans l'exposé sommaire que nous avons donné des principes de celle ihéorie [I, p. i46], nous avons vu que les géomètres s'étaient surtout attachés aux modes de représentation qui conservent les angles et qui assurent la similitude des éléments infiniment petits. Mais on peut rechercher d'autres modes de représentation, et une Carte dans laquelle les lignes géodésiques de la surface seraient représentées par les droites du plan aurait ce grand avantage, signalé par Lagrange (^), que l'on pourrait aisément construire le plus court chemin entre deux points de la surface, puisque ce plus court

I chemin serait représenté par la droite qui unit sur la Carte les re-

[ préseatations de ces deux points.

Les remarques précédentes ont donc conduit M. Beltrami à se

, poser le problème suivant (^) :

\ Étant donnée une surface, peut-on la représenter sur le plan

de telle manière que les lignes géodésiques de la surface cor^ respondent aux diffét^entes droites du plan?

(*) Lagrangk, Sur la construction des Cartes géographiques {Nouveaux Mémoires de t* Académie de Berlin, 1770, cL Œuvres complètes^ t. IV, p. 638). Voici le passage auquel nous faisons allusion :

« Si l'œil est dans le centre du globe, la projection se nomme centrale, et elle u la propriété que tous les grands cercles se trouvent représentés par des lignes droites, mais les petits cercles le sont par des cercles ou par des ellipses suivant que leur plan est parallèle ou non au plan de projection. On se sert quelquefois de cette projection pour les mappemondes, et l'on y suppose ordinairement que le plan do projection est parallèle à l'équatcur, moyennant quoi tous les cercles de latitude deviennent des cercles de mappemonde; mais elle n'est guère usitée pour les Cartes particulières qui nei^eprésentent qu'une partie de la surface de la Terre; elle l'est davantage pour les Cartes célestes; et c'est, en général, à cette projection que se réduit toute la gnomonique, les lignes horaires d'un cadran quelconque n'étant autre chose que les projections centrales des cercles horaires de la sphère.

» Au reste, des Cartes géographiques construites d'après cette projection auraient le grand avantage que tous les lieux de la Terre qui sont situés dans un même grand cercle du globe se trouveraient placés en ligne droite dans la Carte, en sorte que, pour avoir le plus court chemin d'un lieu de la Terre à l'autre, il n'y aurait qu'à joindre ces deux lieux dans la Carte par une ligne droite. »

(*) Beltrami (E. ), lîisolusione del Problema: a lïiportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee relie » {Annali di Matematica pura edapplicata pubblicati da B. Tortolini, t. VII, p. i85; ï866).

Soient ^ et 7 les coordonnées rectilignes, rectangulaires ou obliques, d'un point du plan, et soient 1, [x les coordonnées curvilignes du point correspondant de la surface. Ecrivons les formules

(i) a:; = (i{l,ix), y = v{l,^),

qui établissent la correspondance entre les points du plan et ceux de la surface. A toute droite du plan, définie par l'équation

ace -h by -h c = o,

correspondra une courbe de la surface définie de même par la relation

Il faudra que cette équation représente une ligne géodésique et, par suite, qu'en y regardant-? comme des constantes arbitraires, elle donne l'intégrale générale de l'équation différentielle du second ordre des lignes géodésiques. Le problème de M. Beltrami se ramène donc immédiatement au suivant :

Rechercher si l'équation générale des lignes géodésiques peut être mise sous la for me

{2) a6 -H ôç^H- c = o,

a^ b, c désignant des constantes arbitraires et ^^9 des fonctions des coordonnées curvilignes \ [ji.

S98. Pour résoudre cette question, nous remarquerons que l'équation

P = COÏlSt.

définit, d'après les hypothèses précédentes, une famille de lignes géodésiques.

Rapportons les points de la surface au système de cooi'données défini par ces lignes géodésiques et leurs trajectoires orthogonales. On aura, pour l'élément linéaire, l'expression suivante

(3) <^52= ^W«-hG2c?p2,

et 9 deviendra une certaine fonction F(?/, p) de u et de 9, En appliquant la formule (8) (n^ 514), on trouvera l'équation diflféren-

tielle suivante des lignes géodésiques

^^ C àu C d^ du

D'autre part, si l'on élimine les deux constantes -? - entre l'équation (2) et ses deux premières dérivées, on trouvera

P'iCj'iJ'iS, t désignant, suivant l'usage, les dérivées de F(j:/, t^). Cette équation différentielle, admettant pour intégrale générale l'équation (2), sera nécessairement identique à l'équation (4). On aura donc

^ p C âu^ /j ~~ C Oi^ ^ /? "" du*

Les deux premières conditions s'intègrent aisément et nous

donnent

U et V désignant des fonctions arbitraires de u et de ç respectivement. Pour la commodité des calculs, nous changerons la notation

et nous écrirons

pC'=y-,, P'C=JJl-

On déduit de là

(<>) /^=Ip' ^=vâ'

et, par suite, V< désignant une nouvelle fonction de p.

En portant cette valeur de 9 dans la troisième équation (5), on trouve la condition

yn rdu,-yn ^1 .

Cette relation entre des fonctions de u et des fonctions de v devant avoir lieu identiquement, différentions-la par rapport à u.

Nous aurons

U2 ~ v-i vu/ '

ou encore

Les deux membres de cette équation doivent évidemment être constants. On aura donc

h désignant une constante quelconque. La seconde équation s'intègre sans difficulté. On peut l'écrire, en effet, comme il suit

u; /U'Y au; u vu;"^ u** '

ce qui donne, en intégrant et en désignant par k une constante nouvelle,

(uj ^-ui-^^^'

On déduit de là par dérivation

U'' = /.U. Or, si Ton fait usage de la formule (i>-4) [H? ^\^^]

HIV ~" C (ht'i '

qui fait connaître la courbure totale de la surface, on trouve, en y remplaçant par sa valeur tirée de la seconde équation (fi),