FORMULES DE GAUSS

les relations

1 du '

du

2 dv '

d'où Ton pourra tirer les valeurs de A, B, C. En les portant dans la première des équations (34), on aura

dit^ V a du du 2 (?P / du

\ du 2 dv 2 du ) dç '

Par des calculs analogues, on obtiendra deux autres équations qui permettront de constituer le système suivant :

\ du^ *>. du \ du d9 1 \du % dv j \ àv Ou^

\ dv^ \di? 'i du J \ du dv / 'i d^ \ di> du]

Si l'on remplace c par sa valeur tirée de l'équation (33), les formules précédentes ne contiendront plus que les dérivées de x. On obtiendrait des relations analogues en remplaçant ;î: et c par y et c^ ou par 5 -et c".

703. Nous ne nous arrêterons pas à la discussion complète du système précédent, qui est entièrement dû à Gauss. Il serait aisé de prouver que les équations (36) admettent une intégrale contenant trois constantes arbitraii'cs; mais nous répéterions, sous une forme différente, une discussion déjà faite au Livre T. Nous remarquerons, seulement, que le système précédent aurait pu conduire immédiatement à l'équation du second ordre qui définit les surfaces admettant l'élément linéaire donné.

Nous pouvons, en effet, déduire des formules (36) les valeurs