LIVRE VII. — CHAPITRE III. — LES FORMULES DE GAUSS

de D, D', D^' et calculer DD^'— D^^^ ce qui donne

(DD"-D'2)c2H2 l :^ rH2ii£.i ^/rx--~F— Wi ^/'e — -F— 'iT

\ [ diidi? 2 dv \ ^ du dv ) % du \ ôv àu)\

j "l^^du^ ' 1 àu\ du dçj \du 'id^j\dç d^l\

Y dv- \dv 2duJ\ du dç J i dv \ di? ^"/J'

En remplaçant c- par sa valeur i — A^r, tirée de l'équation (33), et DD^^ — D'- par son expression déduite de la formule (^i), on aura une équation ne contenant plus que les dérivées de x et les coefficients de Télément linéaire. C'est l'équation aux dérivées partielles du second ordre dont V intégration donnerait la solution complète du problème proposé. Nous l'obtiendrons par bien d'autres méthodes plus précises. Mentionnons, dès à présent, une propriété qui ressort assez simplement des raisonnements précédents.

Si Ton appelle selon l'usage r, s^ t les dérivées secondes de x^ l'équation différentielle des caractéristiques de l'équation précédente, écrite sous la forme <ï>(r, 5, t) = o, sera

~- «p2 cludv -i- ^- du^ = 0.

dr ds dt

Les formules (36) nous montrent immédiatement que cette équation peut s'écrire

< 38 ) Ddu^^-r-iD' du d^ 4- D'' d^^- = o.

Donc les caractéristiques de V équation aux dérivées partielles (37) sont les lignes asymptotiq ues de la surface.

LIVRE VU. — CHAPITRE IV. — EQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC. '253