CHAPITRE IV

ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DES SURFACES APPLICABLES SUR UNE SURFACE DONNÉE.

Méthode directe permettant d'obtenir immédiatement l'équation aux dérivées partielles dont dépend la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée. ~ Remarque de Bour sur une intégrale première de cette équation — Autres méthodes conduisant à la môme équation. — Emploi des paramètres différentiels de M. Beltrami. — Développement de l'équation lorsqu'on choisit différents systèmes de coordonnées. Coordonnées symétriques. — Courbes parallèles et leurs trajectoires orthogonales. — Cas où la surface est définie par son équation en coordonnées rcctilignes

704. Nous allons indiquer mainlenant différentes méthodes qui permettent de foi^mer Féquation aux dérivées partielles des surfaces applicables sur une surface donnée. Une des plus directes est celle que nous avons donnée en 1872 dans notre Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques.

Le problème posé peut s'énoncer comme il suit : E, F, G étant des fonctions données de u et de p, trouver toutes les fonctions x^Yi z de u et de ^ qui satisfont identiquement à V équation (i) dx-^ -h dy^ -+- ^^2 =:= E dii^ n- %^ diid^^Qx d^'-,

oîi du et dv peuvent être pris arbitrairement.

Écrivons Fégalîté précédente sous la forme (•;t) dx'^-\- dy^ == E ^z^2^- 2F dudç-^Qx dç^-—dz'~.

Le premier membre représente le carré de Télément linéaire du plan et, par conséquent, la surface dont l'élément linéaire a pour carré

E diû^ 9.Fdu dv -h G dv'^— (^du-^^ di^Y

devra avoir sa courbure nulle. En écrivant cette condition, on obtiendra une équation aux dérivées partielles pour -g. Nous allons former cette équation, et nous verrons qu'elle est du second ordre. Désignons, pour abréger, par /?, q^ r, 5, t les dérivées premières et secondes de z par rapport à w et à (^, et, pour exprimer que la courbure est nulle, servons-nous de la formule (ai) du

iij4 LIVRE VII. — CHAPITRE IV.

Chapitre précédent, où nous remplacerons E, F, G respectivement par E — p^^ Y—pq^ G — q^. Nous aurons Féquation

^ d'-F c?2E o'-G , , , àF.

hué. %P'- ^du^ ' ^^- 4-^ ^,

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