ÉQUATION DBS SURFACES APPLICABLES, ETC
Il nous reste maintenant à examiner si toute solution de cette équation fournira une solution du problème, c'est-à-dire fera connaître une surface admettant l'élément linéaire donné.
Il semble au premier abord que la i^éponse doive être absolument affirmative. Nous avons exprimé, en effet, que la surface dontTélément linéaire a pour expression
(5) ds"^^ '^du''--\- 'x¥ diidv-^ Gdv^— dz^-
a sa courbure nulle. Or nous avons vu que, dans ce cas, on peut ramener l'élément linéaire à la forme
dx^-^dy^
et, par conséquent, constituer une solution du pi^oblème proposé. Mais la méthode suivie au n** 68i suppose essentiellement que Félément linéaire (5) n'est pas un carré parfait; et, d'autre part, il est aisé de reconnaître que l'invariant de Gauss s'annule quand cet élément linéaire devient un carré parfait, c'est-à-dire lorsqu'on a
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
IJ équation différentielle du second ordre (3) admet toutes les intégrales de V équation du premier ordre
dont dépend le problème des lignes géodésiques. Mais toute intégrale de Véquation (3) qui ne satisfait pas à Véquation précédente donne une solution du problème^ c^ est-à-àire une surface admettant Vêlement linéaire donné,
Bour avait déjà remarqué (^), sans donner la raison de ce fait, que les solutions de l'équation (6) appartiennent à Téquation (3). D'autre part, M. Weingarten, qui, dans un travail très récent (^), a repris la méthode précédente, a remarqué qu'alors même que E, F, G et ^ seraient réels, la surface correspondante peut bien être
(') Journal de V École Polytechnique^ XXXIX* Cahier, p. i5. (*) Weingarten (J.)» XJeher die Théorie der aufeinander abwickelbaren Oberjlachen. Berlin; 1884.
imaginaire. En effet, la solution z peut être telle que le second membre de la formule (5) soit décomposable en deux facteurs linéaires réels. Alors, si Ton ne veut employer que des fonctions réelles, il sera réductible seulement à la forme
Mais cette remarque n'a évidemment d'intérêt que si Ton se préoccupe de la distinction entre les quantités réelles et imaginaires, distinction qui est secondaire dans une telle question.
Dans le travail déjà cité, j'ai remarqué que la même méthode permettrait de former l'équation dont dépend la distance du point de la surface à un point fixe de l'espace. En effet, si l'on emploie des coordonnées polaires, l'équation à résoudre sera
clr^^ r'2 sin^e df-^i- r^ c?62 = E du^-\-2F du dv ~\- G c?p2 ou encore
En exprimant que le premier membre est le carré de l'élément linéaire d'une surface de courbure totale égale à i, on obtiendra une équation du second ordre à laquelle satisfera r. Nous la formerons plus loin.
705. Nous allons maintenant faire connaître d'autres méthodes qui conduiraient également à l'équation (4). Imaginons, par exemple, que Ton rapporte la surface à un trièdre (T) et reprenons le système de formules employé au Livre V (Tableau I, p. 382).
Si nous désignons par x^ y, z les coordonnées par rapport au trièdre (T) d'un point fixe A de l'espace, les projections du déplacement de ce point données par les formules (B) devront être toutes nulles. On aura donc
(8) ^ 7)14- 7-137— /?i<s-+-^ =0, dz
j y, èX
) ày Y^rx -pz +^ = 0,
ÉQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC. aS"
Oa sait que ç, vi, S,, r^, /• et r^ dépendent exclusivement de l'élément linéaire, tandis que />, q^ p^, q^ varient lorsque la surface se déforme d'une manière quelconque. Posons
désignera la moitié du carré de la distance du point fixe A au point considéré M de la surface. Nous allons former l'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait p. Pour cela nous ajouterons les équations de chacun des groupes (7) et (8) après les avoirmultipliées respectivement par x^y^ z^ ce qui donnera les deux équations
. t^p w dp
(10) ?^H-^r^- 5^^ =0' ^i^-i-'nir-H j^- =0.
Au moyen des formules (9) et (10) nous pourrons exprimer x, y, :: en fonction des dérivées de p et des coefficients de l'élément linéaire. Si maintenant nous tirons des équations (7) et (8) les valeurs de /?, q^i p\i q\, nous aurons
/ ôy ùy
^ pz -:=rcc-\- --^ -\-ri, p^z=:^nx^T — --r-riu
ces valeurs, substituées dans la formule ùr d/\
nous donneront la relation
Il suffira de remplacer x^y^ z par leurs valeurs tirées des équations (9) et (ïo); on obtiendra ainsi une équation qui contiendra seulement p et ses dérivées des deux premiers ordres combinées avec Ç, 7), i, , Tii , Vj i\ et leurs dérivées, quantités qui, comme nous l'avons déjà remarqué, dépendent exclusivement des coefficients de l'élément linéaire donné. Si l'on introduit successivement les hypothèses qui correspondent aux différents systèmes de formules D.--I1I. 17
258 LIVRE VII. — CHAPITRE ï V.
que nous avons développées au Livre V [II, p. 384, 385, 387], on aura, dans chaque cas, Féquation aux dérivées partielles dont dépend la variable p.
706. On peut employer une méthode analogue pour former Féquation à laquelle satisfait, non plus p, mais une des coordonnées rectangulaires du point de la surface cherchée rapportée à des axes fixes.
Si «, ô, c; a', h\ ... désignent les cosinus directeurs qui déterminent la position du trièdre(T) invariablement lié à la surface, et si x^ r, z sont maintenant les coordonnées du point de la surface, c'est-à-dire du sommet du trièdre, par rapport à des axes fixes^ on a, comme l'on sait (n<* §03),
de sorte que a, b peuvent s'exprimer en fonction des dérivées de x. Écrivons les équations
Nous en déduisons
/ db db
et si nous portons ces expressions de /?, q^ jOj, q^ dans l'équation
(17) Ti>^l^ ^P9i-m^
il viendra
Il suffît de remplacer a et 6 par leurs valeurs tirées des relations (i3)
