ÉQUATION DES SURFACES APPLICABLES, ETC

pour obteuir l'équation du second ordre à laquelle satisfait :a?, et l'on voit de plus que toute intégrale de l'équation (i8), pour laquelle on n'aura pas

permettra de déterminer a, b^p, y,/>i, Çi et par conséquent donnera une solution bien déterminée du pi'oblème proposé.

707. Enfin j'indiquerai une dernière méthode fondée sur la considération des paramètres différentiels.

Conservons les notations du n'* 679; nous avons vu que, si l'on pose

les premiers invariants de p ont les expressions suivantes

|A,p:^p(i-Hj},)-h2,

'^^ - R2^Il'2

11 résulte d'ailleurs de la définition de P, Q, Q^ que l'on a

(20) .2P = P2-1-Q2-HQ'2.

Ces diverses équations vont nous permettre d'établir une relation entre RR' et les invariants différentiels de p. On en déduit, en effet,

A(p,P)[A,p-2]-~.PAP--P^^^

ou, en tenant compte de l'équation (20),

Ao A(p, P)[A2p--'2]=~-PAP^P^.

Si l'on remplace P par sa valeur tirée de la première équation (19), ce qui donne

a(p, v/:îp^~'Âp)[A2p — a] = - y/'ip - Ap A(/âp"~ ^)- V'^P — ^P gg/ ' et si l'on développe les calculs, on est conduit à la relation cher-

ti6o LIVRE VII. — CHAPITRE IV.

chée

(21) 4Ap(A2p--ij-^AAp — 2A2pA(p, Ap)-4-4Ap^^^-? = o.

Il suffira maintenant de remplacer RR'par sa valeur en fonction des coefficients de l'élément linéaire pour obtenir l'équation du second ordre à laquelle satisfait p.

Nous rencontrons ici un fait curieux et qui avait été déjà annoncé. Lorsqu'on fait des applications de l'équation (21), lorsqu'on la calcule dans des cas particuliers, on trouve qu'elle contient toujours en facteur Ap. En d'autres termes, le quotient

A Ap — 9. Aop ACp, Ap^

,..) <9) = -^ 4Ap

est toujours entier. C'est une fonction homogène et du second degré par rapport aux dérivées premières et secondes de p. Pour avoir l'équation aux dérivées partielles débarrassée de tout facteur otranger, il faut donc introduire ce nouvel invariant, et elle prend alors la forme simple

r-23) A2P — l-r-cr(p)4-2^^^ = 0.

Il est aisé maintenant d'en déduire l'équation à laquelle satisfait une fonction linéaire quelconque des coordonnées x, y, z. En effet, l'équation précédente admet la solution

et cela, quelles que soient les constantes a, 6, c. Si nous prenons les ternies de degré supérieur en a^ 6, e, qui sont du second degré, leur ensemble sera donc égal à zéro. Posons, pour abréger,

(*>4) cp = a5?-x- ôj/- 4-cx;;

nous aurons ainsi

a2-h624-c2^Aro) ^(^)-^ Rff ^ = ^-

Telle est l'équation à laquelle satisfera o.

Si l'on fait

ÉQUATION DES SURFACES Al>PHCABtES, ETC. S)6l

9 deviendra égal à x^ et il restera réquation

Mais, si Ton suppose que cp soit une de ces fonctions pour lesquelles on a

si, par exemple, on prend

cp = .r -4- iy, il viendra l'équation

qui est homogène et plus simple que la précédente.' Nous allons maintenant développer ces équations en employant diCTérents sptèmes de coordonnées.

708. Dans le cas des coordonnées symétriques, on a (Is^ = 4 \^ du dv ;

réquation (4) devient ici

àudç

Elle coïncide, aux notations près, avec celle qui a été donnée par Bour (^).

SI Ton garde sculemonr, dans l'équation précédente, les termes du second degré, on obtient la suivante

qui n'est autre que l'équation (i^6), écrite en coordonnées symétriques, et qui a été donnée par M. Bonnet (2).

Si l'on suppose que l'une des familles coordonnées soit formée de géodésiques, il faudra prendre

ds^-^dur-'^Q^^d^'^,

(*) Journal de V École Polytechnique, XXXIV Cahier, p. i5. C) Journal de V École Polytechnique, XLII» Cahier, p 3.