CHAPITRE V
ÉTUDE DE l'équation AUX DÉIUVÉE.S PAUTIELLES DONT DÉPEND LE PROBLÈME DE LA DÉFORMATION.
Notions préliminaires sur les équations du second ordre qui sont linéaires par rapport à r, s, t, i^t — s^. — Problème de Caucliy. — Définition précise des caractéristiques. — Théorie géométrique de l'intégration, reposant sur les propriétés des caractéristiques. — Application à quelques exemples simples. — Étude particulière de Téquation dont dépend le problème de la déformation.
— On peut énoncer ici le problème de Cauchy sous la forme suivante : Déformer la surface de telle manière qu'une courbe tracée sur elle prenne une forme donnée à l'avance. — Propriété remarquable des asymptotiques. — Problèmes divers. — Déformer une surface de telle manière qu'elle puisse s'inscrire dans une développable donnée, suivant une courbe donnée. -— Nouvelles manières de poser le problème de la déformation. — Équations simultanées auxquelles doivent satisfaire les paramètres des deux familles d'asymptotiques. — Démonstration de diverses propositions sur les asymptotiques et les surfaces gauches.
— Équations simultanées auxquelles satisfont les coordonnées curvilignes, considérées comme fonctions des paramètreh des deux familles d'asymptotiques. -- Application à un cas particulier.
709. Nous avons déjà indiqué que les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles dont dépend le problème de la déformation sont les lignes asymptotiques de la surface cherchée. Avant de donner une démonstration nouvelle de ce résultat et d'en faire ressortir la signification et les conséquences, nous entrerons dans quelques considérations générales sur les courbes auxquelles on a donné le nom de caractéristiques. Cette étude préliminaire nous paraît d'autant plus nécessaire que Monge, il faut bien le reconnaître, n'a jamais donné une théorie satisfaisante de ses méthodes d'intégration.
Bornons-nous, pour plus de netteté, à une équation de la forme
(0 A(/'i-"jf2)^Br-+.?.G5-4-B'j:^D = o,
où A, B, C, D, B' sont des fonctions quelconques de^, r, ;;,/?, q-, et considérons x^y^ ,z comme les coordonnées d'un point de l'es-
pace. Pour trouver toutes les solutions possibles de l'équation proposée, il est clair que l'on peut se contenter de chercher toutes les surfaces, satisfaisant à l'équation (i), assujetties à la condition de passer par une courbe donnée et d'admettre en chaque point de cette courbe un plan tangent déterminé.
Si l'on se déplace le long de cette courbe, x^ y^ z^ jd, q sont des fonctions connues d'un paramètre variable et la différentiation nous donne les relations
( i ) dz^ p dx-^ q dy\
( dp —rdx-^s dy^ [ dq — s dx -rt dy.
Les deux équations (3) ne nous permettent pas de déterminer les valeurs des trois dérivées /•, 5, t au point considéré de la courbe; mais, si l'on en tirer et t en fonction de s pour les porter dans l'équation (i), celle-ci prend la forme
où Ton a
{ M = k{dp dx -^ dq dy) -r B dy^--^^' dx^— iddx dy, ( h =^ kdp dq — }i dp dy -^W dq dx H- D c?^? dy.
Par conséquent, si M n'est pas nul, l'équation (4) détermine s et les équations (3) font ensuite connaître r et t.
Le même raisonnement, appliqué aux dérivées d'ordre supérieur, nous montre que les valeurs de toutes ces dérivées peuvent toujours être déterminées en chaque point de la courbe. On voit donc que, si l'on suppose la fonction ^ développée par la série de Taylor, on aura tous les coefficients de ce développement, pour\u toutefois que les valeurs initiales ^Tq, y^ de x et de y se rapportent à un point de la courbe (G). Cauchj a considéré ce développement, et il a montré que, sous certaines conditions de continuité qu'il est inutile d'énoncer ici, il sera convergent et définira une intégrale de l'équation proposée, intégrale qui satisfera aux conditions énoncées. C'est dans ce sens que nous dirons que la condition de passer par une courbe donnée et d'être inscrite suivant cette courbe à une*développable donnée définit une intégrale de l'équation aux dérivées partielles.
ÉQUATION XVK DÉRtVÉES PARTIELLES, ETC. uG5
710. Mais les raisonnements qui précèdent supposent essentiellement que Féqualion (4) fournit pour s une valeur qui n'est ni infinie ni indéterminée.
Écartons la considération de ce qui arrive en des points isolés. Si M est nul en tous les points de la courbe sans que L le soit, le problème proposé sera évidemmcut impossible, au moins si l'on se borne aux surfaces qui n'ont pas la courbe (C) pour ligne singulière. Au contraire, si M et L sont nuls, l'un et l'autre, en chaque point de la courbe (C), il est impossible de déterminer s et Ton reconnaît de mcîme, en passant aux dérivées d'ordre supérieur, que, dans chacun des o?rlres considérés successiçement, une des dérivées peut cire prise arbitrairement.
Nous donnerons le nom de caractéristique à V assemblage formé par une courbe et la. dé^eloppable qui la contient, toutes Les fois que les fonctions d\tne seule variable qui déterminent cet assemblage satisfont aux deux conditions
Sur toute intégrale il y a une infinité de caractéristiques. En effet, si l'on se déplace sur une intégrale, on aura toujours l'équation {/\) comme conséquence des équations (i), (a), (3), et, si Ton choisit pour les déplacements les directions qui satisfont à l'unique condition M=:o, l'équation (4) donnera également L = o.
Comme l'équation M = o est du second degré en -^5 i^ y ^j ^'^
général, deux familles distinctes de caractéristiques. On peut du reste séparer nettement ces deux familles et obtenir leurs équations sous une forme simple en opérant de la manière suivante; X désignant une arbitraire quelconque, on a
= AL -^- XM r^ (A dp H- B' dx -h 1 dy)(X dq^Bdy-\-\ dr) — ( V^^9.(^\ -i- BB'— AD) docdy.
Si donc on prend successivement pour \ les deux i^acines \\ et \ de l'équation
(7) X2-^-^GX-hBB'~AD=^o, on sera conduit aux deux équations
( A dp H- B' dx -f- li dy){k dq-^-^dy -i- Xi dx) ~ 0. [kdp -^Wdx-\-\^dy){kdq'\-ïidy'\-\^dx) = o,
.2f)G LIVRE VU. — CHAPITRE V.
qui se décomposent elles-mêmes en d'autres plus simples. En associant convenablement les facteurs obtenus et en ajoutant l'équation évidente
dz~p dx -T- q dy^
on sera conduit aux deux systèmes suivants
/ dz —p dx — q dy ^o, ( 8 ) ) A r//? -I- B' dx ^,-\idy — o,
/ kdq -^B dy -r-^ dx ^ o;
/ dz -- p dx — q dy = o, (9) ^. kdp-r-W dx-^\^dy ^0,
\ X dq -^ "B dy -^'ki dx =:^ o,
qui définissent les deux familles de caractéristiques. On voit que ces deux familles seront distinctes tant que les deux racines \ et 1^2 seront inégales.
7H. En résumé, le problème qui consiste à déterminer une intégrale de l'équation (i) tangente suivant une courbe donnée (C) à une développable donnée (A ) est, en général, pleinement déterminé et admet une solution unique à moins que l'assemblage formé par la courbe (C) et la développable (A) qui la contient ne satisfasse aux équations (6) ou à l'un des systèmes (8), (9).
On peut évidemment présenter ce résultat sous une autre forme en disant que les caractéristiques sont les seules courbes suivant lesquelles deux intégrales différentes puissent être tangentes ou osculatrices. Ainsi :
Si deux intégrales de V équation (i) sont tangentes suivant une courbe, cette courbe est une caractéristique ; en lui adjoignant les plans tangents, on obtient un assemblage qui satisfait aux équations (6) ou à Vun des systèmes (8), (9).
Il résulte également des remarques précédentes que, si une surface quelconque est engendrée par des caractéristiques, c'està-dire s'il est possible de trouver sur cette surface une famille de courbes se succédant suivant une loi continue et qui, associées aux plans tangents, satisfassent chacune aux équations (8) ou (9), ou, ce qui est la même chose, aux équations (6), cette sur-
ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PAUTII2LLKS, ETC. ^G"
face donne une intégrale de l'équation (i). En effet, on peut toujours remonter de l'équation (6) à l'équation. (4), puis, en remplaçant dp et dq par leurs valeurs, à l'équation (i). Cette équation sera vérifiée en tous les points par lesquels passera une caractéristique, c'est-à-dire dans toute Tétendue de la surface.
712. Bien que ce qui concerne l'intégration de l'équation aux dérivées partielles soit étranger au sujet que nous voulons étudier plus loin, nous allons en dire quelques mots pour montrer avec quelle facilité les résultats connus se déduisent des considérations précédentes.
Supposons que l'un des systèmes (8) et (g), le système (8) par exemple, présente une combinaison intégrable
(ji(dz —pdx— q dy)-{-iOi{Kdp'i-W dx-^ 1^ dy)
-H a)2( A dq -7- B dy ~T- X^ dx) =: <icp.
Nous allons montrer que toutes les intégrales de V équation
du premier ordre
cp = const.,
satisferont à V équation proposée. En effet, pour toute intégrale I de l'équation précédente, les trois équations (8) se réduiront à deux. Il sera donc possible de satisfaire à ces deux équations en prenant des valeurs convenables pour les rapports de dx^ dy^ dz et, par suite, de déterminer, sur l'intégrale I, une famille de courbes pour lesquelles auront lieu les trois équations (8).
La surface 1, contenant une famille de caractéristiques, sera nécessairement une intégrale de l'équation proposée. Cette conclusion ne pourrait souffrir d'exception que si, pour l'intégrale I, un au moins des facteurs co se présentait sous une forme indéterminée.
Inversement, si toutes les solutions de l'équation
(lo) ?(^, r,-»/'» 7):= const.
sont des intégrales de l'équation (i), l'un des deux systèmes (8) et (9) admettra la combinaison intégrable rfcp. En effet, les caractéristiques de l'équation (10) sont définies par le système
^•^ — -^ — ' ' ^P ~ - - dq dz
^^*) lï<r "" "55" "" dc5 ^cp "" Oo Cep â^ dcp.
dp ôq ùx^ ^ Oz ày ^ Oz ^ dp ^ ôq
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Comme on sait qu'il existe une infinité d'intégrales de l'équation (lo), et par conséquent de l'équation (i), qui sont tangentes les unes aux autres suivant chacune de ces caractéristiques, on voit que les valeurs de dx^ dy^ dp^ . . - tirées des équations précédentes devront satisfaire à l'un des systèmes (8) et (9). On a ainsi pour o l'un ou l'autre des deux systèmes
/do do\ do do
